Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemf1.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemf1.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemf1.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
4 |
|
cdlemf1.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
5 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL ) |
6 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A ) |
7 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U e. A ) |
8 |
|
simp2r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U .<_ W ) |
9 |
|
simp3r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> -. P .<_ W ) |
10 |
|
nbrne2 |
|- ( ( U .<_ W /\ -. P .<_ W ) -> U =/= P ) |
11 |
10
|
necomd |
|- ( ( U .<_ W /\ -. P .<_ W ) -> P =/= U ) |
12 |
8 9 11
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P =/= U ) |
13 |
1 2 3
|
hlsupr |
|- ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ U e. A ) /\ P =/= U ) -> E. q e. A ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) |
14 |
5 6 7 12 13
|
syl31anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> E. q e. A ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) |
15 |
|
simp31 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> q =/= P ) |
16 |
15
|
necomd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> P =/= q ) |
17 |
|
simp13r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> -. P .<_ W ) |
18 |
|
simp12r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> U .<_ W ) |
19 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> K e. HL ) |
20 |
19
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> K e. Lat ) |
21 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
22 |
21 3
|
atbase |
|- ( q e. A -> q e. ( Base ` K ) ) |
23 |
22
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> q e. ( Base ` K ) ) |
24 |
|
simp12l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> U e. A ) |
25 |
21 3
|
atbase |
|- ( U e. A -> U e. ( Base ` K ) ) |
26 |
24 25
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> U e. ( Base ` K ) ) |
27 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> W e. H ) |
28 |
21 4
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
29 |
27 28
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
30 |
21 1 2
|
latjle12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( q e. ( Base ` K ) /\ U e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( q .<_ W /\ U .<_ W ) <-> ( q .\/ U ) .<_ W ) ) |
31 |
20 23 26 29 30
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> ( ( q .<_ W /\ U .<_ W ) <-> ( q .\/ U ) .<_ W ) ) |
32 |
31
|
biimpd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> ( ( q .<_ W /\ U .<_ W ) -> ( q .\/ U ) .<_ W ) ) |
33 |
18 32
|
mpan2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> ( q .<_ W -> ( q .\/ U ) .<_ W ) ) |
34 |
|
simp33 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> q .<_ ( P .\/ U ) ) |
35 |
|
hlcvl |
|- ( K e. HL -> K e. CvLat ) |
36 |
19 35
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> K e. CvLat ) |
37 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> q e. A ) |
38 |
|
simp13l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> P e. A ) |
39 |
|
simp32 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> q =/= U ) |
40 |
1 2 3
|
cvlatexch2 |
|- ( ( K e. CvLat /\ ( q e. A /\ P e. A /\ U e. A ) /\ q =/= U ) -> ( q .<_ ( P .\/ U ) -> P .<_ ( q .\/ U ) ) ) |
41 |
36 37 38 24 39 40
|
syl131anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> ( q .<_ ( P .\/ U ) -> P .<_ ( q .\/ U ) ) ) |
42 |
34 41
|
mpd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> P .<_ ( q .\/ U ) ) |
43 |
21 3
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) ) |
44 |
38 43
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) ) |
45 |
21 2 3
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ q e. A /\ U e. A ) -> ( q .\/ U ) e. ( Base ` K ) ) |
46 |
19 37 24 45
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> ( q .\/ U ) e. ( Base ` K ) ) |
47 |
21 1
|
lattr |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ ( q .\/ U ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .<_ ( q .\/ U ) /\ ( q .\/ U ) .<_ W ) -> P .<_ W ) ) |
48 |
20 44 46 29 47
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> ( ( P .<_ ( q .\/ U ) /\ ( q .\/ U ) .<_ W ) -> P .<_ W ) ) |
49 |
42 48
|
mpand |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> ( ( q .\/ U ) .<_ W -> P .<_ W ) ) |
50 |
33 49
|
syld |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> ( q .<_ W -> P .<_ W ) ) |
51 |
17 50
|
mtod |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> -. q .<_ W ) |
52 |
1 2 3
|
cvlatexch1 |
|- ( ( K e. CvLat /\ ( q e. A /\ U e. A /\ P e. A ) /\ q =/= P ) -> ( q .<_ ( P .\/ U ) -> U .<_ ( P .\/ q ) ) ) |
53 |
36 37 24 38 15 52
|
syl131anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> ( q .<_ ( P .\/ U ) -> U .<_ ( P .\/ q ) ) ) |
54 |
34 53
|
mpd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> U .<_ ( P .\/ q ) ) |
55 |
16 51 54
|
3jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ q e. A /\ ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) ) -> ( P =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( P .\/ q ) ) ) |
56 |
55
|
3exp |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( q e. A -> ( ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) -> ( P =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( P .\/ q ) ) ) ) ) |
57 |
56
|
reximdvai |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( E. q e. A ( q =/= P /\ q =/= U /\ q .<_ ( P .\/ U ) ) -> E. q e. A ( P =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( P .\/ q ) ) ) ) |
58 |
14 57
|
mpd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> E. q e. A ( P =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( P .\/ q ) ) ) |