Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg12.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemg12.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemg12.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemg12.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemg12.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemg12.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
cdlemg12b.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
8 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
9 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL ) |
10 |
9
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. Lat ) |
11 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
12 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. T ) |
13 |
|
simp2ll |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A ) |
14 |
1 4 5 6
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A ) |
15 |
11 12 13 14
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) e. A ) |
16 |
8 4
|
atbase |
|- ( ( G ` P ) e. A -> ( G ` P ) e. ( Base ` K ) ) |
17 |
15 16
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) e. ( Base ` K ) ) |
18 |
8 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ ( G ` P ) e. A ) -> ( P .\/ ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) ) |
19 |
9 13 15 18
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) ) |
20 |
|
simp2rl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A ) |
21 |
8 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) |
22 |
9 13 20 21
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) |
23 |
1 2 4
|
hlatlej2 |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ ( G ` P ) e. A ) -> ( G ` P ) .<_ ( P .\/ ( G ` P ) ) ) |
24 |
9 13 15 23
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) .<_ ( P .\/ ( G ` P ) ) ) |
25 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
26 |
|
eqid |
|- ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) |
27 |
1 2 3 4 5 26
|
cdleme0cp |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( G ` P ) e. A ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) = ( P .\/ ( G ` P ) ) ) |
28 |
11 25 15 27
|
syl12anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) = ( P .\/ ( G ` P ) ) ) |
29 |
1 2 4
|
hlatlej1 |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> P .<_ ( P .\/ Q ) ) |
30 |
9 13 20 29
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P .<_ ( P .\/ Q ) ) |
31 |
1 2 3 4 5 6 7
|
trlval2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` G ) = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) |
32 |
11 12 25 31
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R ` G ) = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) |
33 |
|
simp3r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) |
34 |
32 33
|
eqbrtrrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) .<_ ( P .\/ Q ) ) |
35 |
8 4
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) ) |
36 |
13 35
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) ) |
37 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. H ) |
38 |
8 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
39 |
37 38
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
40 |
8 3
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) |
41 |
10 19 39 40
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) |
42 |
8 1 2
|
latjle12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) .<_ ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
43 |
10 36 41 22 42
|
syl13anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) .<_ ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
44 |
30 34 43
|
mpbi2and |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) |
45 |
28 44
|
eqbrtrrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ ( G ` P ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) |
46 |
8 1 10 17 19 22 24 45
|
lattrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) .<_ ( P .\/ Q ) ) |