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Theorem cdlemh1

Description: Part of proof of Lemma H of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemh.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemh.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemh.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemh.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemh.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemh.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemh.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemh.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemh.s 
|- S = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
Assertion cdlemh1 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( S .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemh.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemh.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemh.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemh.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemh.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemh.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemh.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemh.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemh.s 
 |-  S = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
10 9 oveq1i 
 |-  ( S .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) )
11 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> K e. HL )
12 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> G e. T )
14 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> F e. T )
15 simp3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` G ) )
16 15 necomd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` F ) )
17 5 6 7 8 trlcocnvat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ F e. T ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` F ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A )
18 12 13 14 16 17 syl121anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A )
19 11 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> K e. Lat )
20 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> P e. A )
21 1 5 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
22 20 21 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> P e. B )
23 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. B )
24 12 13 23 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` G ) e. B )
25 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( R ` G ) e. B ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B )
26 19 22 24 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B )
27 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> Q e. A )
28 1 3 5 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A ) -> ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B )
29 11 27 18 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B )
30 2 3 5 hlatlej2 
 |-  ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
31 11 27 18 30 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
32 1 2 3 4 5 atmod4i1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A /\ ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B /\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B ) /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) -> ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
33 11 18 26 29 31 32 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
34 6 7 ltrncnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
35 12 14 34 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> `' F e. T )
36 3 6 7 8 trljco2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( ( R ` G ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( R ` `' F ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
37 12 13 35 36 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( R ` G ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( R ` `' F ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
38 6 7 8 trlcnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` `' F ) = ( R ` F ) )
39 12 14 38 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` `' F ) = ( R ` F ) )
40 39 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( R ` `' F ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
41 37 40 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( R ` G ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
42 41 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( P .\/ ( ( R ` G ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( P .\/ ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
43 6 7 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
44 12 13 35 43 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
45 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
46 12 44 45 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
47 1 3 latjass 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. B /\ ( R ` G ) e. B /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( P .\/ ( ( R ` G ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
48 19 22 24 46 47 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( P .\/ ( ( R ` G ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
49 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. B )
50 12 14 49 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` F ) e. B )
51 1 3 latjass 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. B /\ ( R ` F ) e. B /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( P .\/ ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
52 19 22 50 46 51 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( P .\/ ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
53 42 48 52 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
54 53 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
55 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) )
56 1 5 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. B )
57 27 56 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> Q e. B )
58 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( R ` F ) e. B ) -> ( P .\/ ( R ` F ) ) e. B )
59 19 22 50 58 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( P .\/ ( R ` F ) ) e. B )
60 1 2 3 latjlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. B /\ ( P .\/ ( R ` F ) ) e. B /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B ) ) -> ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) -> ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) .<_ ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
61 19 57 59 46 60 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) -> ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) .<_ ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
62 55 61 mpd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) .<_ ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
63 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ ( R ` F ) ) e. B /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B ) -> ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B )
64 19 59 46 63 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B )
65 1 2 4 latleeqm2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B /\ ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B ) -> ( ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) .<_ ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) <-> ( ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
66 19 29 64 65 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) .<_ ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) <-> ( ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
67 62 66 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( P .\/ ( R ` F ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
68 33 54 67 3eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
69 10 68 eqtrid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( Q .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( S .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )