Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
halfre |
|- ( 1 / 2 ) e. RR |
2 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
3 |
|
rpre |
|- ( y e. RR+ -> y e. RR ) |
4 |
|
resubcl |
|- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 1 - y ) e. RR ) |
5 |
2 3 4
|
sylancr |
|- ( y e. RR+ -> ( 1 - y ) e. RR ) |
6 |
|
ifcl |
|- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( 1 - y ) e. RR ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR ) |
7 |
1 5 6
|
sylancr |
|- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR ) |
8 |
|
0red |
|- ( y e. RR+ -> 0 e. RR ) |
9 |
1
|
a1i |
|- ( y e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR ) |
10 |
|
halfgt0 |
|- 0 < ( 1 / 2 ) |
11 |
10
|
a1i |
|- ( y e. RR+ -> 0 < ( 1 / 2 ) ) |
12 |
|
max2 |
|- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 1 / 2 ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) |
13 |
5 1 12
|
sylancl |
|- ( y e. RR+ -> ( 1 / 2 ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) |
14 |
8 9 7 11 13
|
ltletrd |
|- ( y e. RR+ -> 0 < if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) |
15 |
7 14
|
elrpd |
|- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR+ ) |
16 |
15
|
rpsqrtcld |
|- ( y e. RR+ -> ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) e. RR+ ) |
17 |
|
halflt1 |
|- ( 1 / 2 ) < 1 |
18 |
|
ltsubrp |
|- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR+ ) -> ( 1 - y ) < 1 ) |
19 |
2 18
|
mpan |
|- ( y e. RR+ -> ( 1 - y ) < 1 ) |
20 |
|
breq1 |
|- ( ( 1 / 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) -> ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 ) ) |
21 |
|
breq1 |
|- ( ( 1 - y ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) -> ( ( 1 - y ) < 1 <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 ) ) |
22 |
20 21
|
ifboth |
|- ( ( ( 1 / 2 ) < 1 /\ ( 1 - y ) < 1 ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 ) |
23 |
17 19 22
|
sylancr |
|- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 ) |
24 |
15
|
rpge0d |
|- ( y e. RR+ -> 0 <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) |
25 |
2
|
a1i |
|- ( y e. RR+ -> 1 e. RR ) |
26 |
|
0le1 |
|- 0 <_ 1 |
27 |
26
|
a1i |
|- ( y e. RR+ -> 0 <_ 1 ) |
28 |
7 24 25 27
|
sqrtltd |
|- ( y e. RR+ -> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < 1 <-> ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < ( sqrt ` 1 ) ) ) |
29 |
23 28
|
mpbid |
|- ( y e. RR+ -> ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < ( sqrt ` 1 ) ) |
30 |
|
sqrt1 |
|- ( sqrt ` 1 ) = 1 |
31 |
29 30
|
breqtrdi |
|- ( y e. RR+ -> ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) < 1 ) |
32 |
16 31
|
chtppilimlem2 |
|- ( y e. RR+ -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) ) |
33 |
5
|
adantr |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( 1 - y ) e. RR ) |
34 |
|
max1 |
|- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) |
35 |
33 1 34
|
sylancl |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) |
36 |
7
|
adantr |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR ) |
37 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
38 |
|
elicopnf |
|- ( 2 e. RR -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 2 <_ x ) ) ) |
39 |
37 38
|
ax-mp |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 2 <_ x ) ) |
40 |
39
|
simplbi |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. RR ) |
41 |
|
chtcl |
|- ( x e. RR -> ( theta ` x ) e. RR ) |
42 |
40 41
|
syl |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) e. RR ) |
43 |
|
ppinncl |
|- ( ( x e. RR /\ 2 <_ x ) -> ( ppi ` x ) e. NN ) |
44 |
39 43
|
sylbi |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ppi ` x ) e. NN ) |
45 |
44
|
nnrpd |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ppi ` x ) e. RR+ ) |
46 |
2
|
a1i |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 e. RR ) |
47 |
37
|
a1i |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 2 e. RR ) |
48 |
|
1lt2 |
|- 1 < 2 |
49 |
48
|
a1i |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 < 2 ) |
50 |
39
|
simprbi |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 2 <_ x ) |
51 |
46 47 40 49 50
|
ltletrd |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 1 < x ) |
52 |
40 51
|
rplogcld |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( log ` x ) e. RR+ ) |
53 |
45 52
|
rpmulcld |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR+ ) |
54 |
42 53
|
rerpdivcld |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR ) |
55 |
54
|
adantl |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR ) |
56 |
|
lelttr |
|- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR /\ ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ) |
57 |
33 36 55 56
|
syl3anc |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( 1 - y ) <_ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) /\ if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ) |
58 |
35 57
|
mpand |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) -> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ) |
59 |
7
|
recnd |
|- ( y e. RR+ -> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. CC ) |
60 |
59
|
sqsqrtd |
|- ( y e. RR+ -> ( ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) |
61 |
60
|
adantr |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) = if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) |
62 |
61
|
oveq1d |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) = ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) |
63 |
62
|
breq1d |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) ) |
64 |
42
|
adantl |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( theta ` x ) e. RR ) |
65 |
53
|
rpregt0d |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) |
66 |
65
|
adantl |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) |
67 |
|
ltmuldiv |
|- ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) e. RR /\ ( theta ` x ) e. RR /\ ( ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) -> ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ) |
68 |
36 64 66 67
|
syl3anc |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ) |
69 |
63 68
|
bitrd |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) <-> if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ) |
70 |
|
0red |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 e. RR ) |
71 |
|
2pos |
|- 0 < 2 |
72 |
71
|
a1i |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 < 2 ) |
73 |
70 47 40 72 50
|
ltletrd |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 < x ) |
74 |
40 73
|
elrpd |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. RR+ ) |
75 |
|
chtleppi |
|- ( x e. RR+ -> ( theta ` x ) <_ ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) |
76 |
74 75
|
syl |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) <_ ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) |
77 |
53
|
rpcnd |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) e. CC ) |
78 |
77
|
mulid1d |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) = ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) |
79 |
76 78
|
breqtrrd |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) <_ ( ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) ) |
80 |
42 46 53
|
ledivmuld |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) <_ 1 <-> ( theta ` x ) <_ ( ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) x. 1 ) ) ) |
81 |
79 80
|
mpbird |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) <_ 1 ) |
82 |
54 46 81
|
abssuble0d |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ) |
83 |
82
|
breq1d |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y ) ) |
84 |
83
|
adantl |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y ) ) |
85 |
2
|
a1i |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR ) |
86 |
3
|
adantr |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> y e. RR ) |
87 |
|
ltsub23 |
|- ( ( 1 e. RR /\ ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ) |
88 |
85 55 86 87
|
syl3anc |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ) |
89 |
84 88
|
bitrd |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y <-> ( 1 - y ) < ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ) |
90 |
58 69 89
|
3imtr4d |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( ( ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) |
91 |
90
|
imim2d |
|- ( ( y e. RR+ /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( z <_ x -> ( ( ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) ) |
92 |
91
|
ralimdva |
|- ( y e. RR+ -> ( A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) ) |
93 |
92
|
reximdv |
|- ( y e. RR+ -> ( E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( ( ( sqrt ` if ( ( 1 - y ) <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 / 2 ) , ( 1 - y ) ) ) ^ 2 ) x. ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) < ( theta ` x ) ) -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) ) |
94 |
32 93
|
mpd |
|- ( y e. RR+ -> E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) |
95 |
94
|
rgen |
|- A. y e. RR+ E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) |
96 |
54
|
recnd |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC ) |
97 |
96
|
adantl |
|- ( ( T. /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC ) |
98 |
97
|
ralrimiva |
|- ( T. -> A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC ) |
99 |
40
|
ssriv |
|- ( 2 [,) +oo ) C_ RR |
100 |
99
|
a1i |
|- ( T. -> ( 2 [,) +oo ) C_ RR ) |
101 |
|
1cnd |
|- ( T. -> 1 e. CC ) |
102 |
98 100 101
|
rlim2 |
|- ( T. -> ( ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~>r 1 <-> A. y e. RR+ E. z e. RR A. x e. ( 2 [,) +oo ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - 1 ) ) < y ) ) ) |
103 |
95 102
|
mpbiri |
|- ( T. -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~>r 1 ) |
104 |
103
|
mptru |
|- ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / ( ( ppi ` x ) x. ( log ` x ) ) ) ) ~~>r 1 |