Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-on |
|- On = { x | Ord x } |
2 |
|
tz7.7 |
|- ( ( Ord x /\ Tr y ) -> ( y e. x <-> ( y C_ x /\ y =/= x ) ) ) |
3 |
|
df-pss |
|- ( y C. x <-> ( y C_ x /\ y =/= x ) ) |
4 |
2 3
|
bitr4di |
|- ( ( Ord x /\ Tr y ) -> ( y e. x <-> y C. x ) ) |
5 |
4
|
exbiri |
|- ( Ord x -> ( Tr y -> ( y C. x -> y e. x ) ) ) |
6 |
5
|
com23 |
|- ( Ord x -> ( y C. x -> ( Tr y -> y e. x ) ) ) |
7 |
6
|
impd |
|- ( Ord x -> ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) |
8 |
7
|
alrimiv |
|- ( Ord x -> A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) |
9 |
|
vex |
|- x e. _V |
10 |
|
dfon2lem3 |
|- ( x e. _V -> ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( Tr x /\ A. z e. x -. z e. z ) ) ) |
11 |
9 10
|
ax-mp |
|- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( Tr x /\ A. z e. x -. z e. z ) ) |
12 |
11
|
simpld |
|- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> Tr x ) |
13 |
9
|
dfon2lem7 |
|- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( t e. x -> A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) ) ) |
14 |
13
|
ralrimiv |
|- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) ) |
15 |
|
dfon2lem9 |
|- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> _E Fr x ) |
16 |
|
psseq2 |
|- ( t = z -> ( u C. t <-> u C. z ) ) |
17 |
16
|
anbi1d |
|- ( t = z -> ( ( u C. t /\ Tr u ) <-> ( u C. z /\ Tr u ) ) ) |
18 |
|
elequ2 |
|- ( t = z -> ( u e. t <-> u e. z ) ) |
19 |
17 18
|
imbi12d |
|- ( t = z -> ( ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) ) ) |
20 |
19
|
albidv |
|- ( t = z -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. u ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) ) ) |
21 |
|
psseq1 |
|- ( u = v -> ( u C. z <-> v C. z ) ) |
22 |
|
treq |
|- ( u = v -> ( Tr u <-> Tr v ) ) |
23 |
21 22
|
anbi12d |
|- ( u = v -> ( ( u C. z /\ Tr u ) <-> ( v C. z /\ Tr v ) ) ) |
24 |
|
elequ1 |
|- ( u = v -> ( u e. z <-> v e. z ) ) |
25 |
23 24
|
imbi12d |
|- ( u = v -> ( ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) <-> ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) ) ) |
26 |
25
|
cbvalvw |
|- ( A. u ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) <-> A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) ) |
27 |
20 26
|
bitrdi |
|- ( t = z -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) ) ) |
28 |
27
|
rspccv |
|- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( z e. x -> A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) ) ) |
29 |
|
psseq2 |
|- ( t = w -> ( u C. t <-> u C. w ) ) |
30 |
29
|
anbi1d |
|- ( t = w -> ( ( u C. t /\ Tr u ) <-> ( u C. w /\ Tr u ) ) ) |
31 |
|
elequ2 |
|- ( t = w -> ( u e. t <-> u e. w ) ) |
32 |
30 31
|
imbi12d |
|- ( t = w -> ( ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) ) ) |
33 |
32
|
albidv |
|- ( t = w -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. u ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) ) ) |
34 |
|
psseq1 |
|- ( u = y -> ( u C. w <-> y C. w ) ) |
35 |
|
treq |
|- ( u = y -> ( Tr u <-> Tr y ) ) |
36 |
34 35
|
anbi12d |
|- ( u = y -> ( ( u C. w /\ Tr u ) <-> ( y C. w /\ Tr y ) ) ) |
37 |
|
elequ1 |
|- ( u = y -> ( u e. w <-> y e. w ) ) |
38 |
36 37
|
imbi12d |
|- ( u = y -> ( ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) <-> ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) ) |
39 |
38
|
cbvalvw |
|- ( A. u ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) <-> A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) |
40 |
33 39
|
bitrdi |
|- ( t = w -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) ) |
41 |
40
|
rspccv |
|- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( w e. x -> A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) ) |
42 |
28 41
|
anim12d |
|- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( ( z e. x /\ w e. x ) -> ( A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) /\ A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) ) ) |
43 |
|
vex |
|- z e. _V |
44 |
|
vex |
|- w e. _V |
45 |
43 44
|
dfon2lem5 |
|- ( ( A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) /\ A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) -> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) |
46 |
42 45
|
syl6 |
|- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( ( z e. x /\ w e. x ) -> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) ) |
47 |
46
|
ralrimivv |
|- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) |
48 |
15 47
|
jca |
|- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) ) |
49 |
14 48
|
syl |
|- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) ) |
50 |
|
dfwe2 |
|- ( _E We x <-> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) ) ) |
51 |
|
epel |
|- ( z _E w <-> z e. w ) |
52 |
|
biid |
|- ( z = w <-> z = w ) |
53 |
|
epel |
|- ( w _E z <-> w e. z ) |
54 |
51 52 53
|
3orbi123i |
|- ( ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) <-> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) |
55 |
54
|
2ralbii |
|- ( A. z e. x A. w e. x ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) <-> A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) |
56 |
55
|
anbi2i |
|- ( ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) ) <-> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) ) |
57 |
50 56
|
bitri |
|- ( _E We x <-> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) ) |
58 |
49 57
|
sylibr |
|- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> _E We x ) |
59 |
|
df-ord |
|- ( Ord x <-> ( Tr x /\ _E We x ) ) |
60 |
12 58 59
|
sylanbrc |
|- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> Ord x ) |
61 |
8 60
|
impbii |
|- ( Ord x <-> A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) ) |
62 |
61
|
abbii |
|- { x | Ord x } = { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) } |
63 |
1 62
|
eqtri |
|- On = { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) } |