Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfon2lem4.1 |
|- A e. _V |
2 |
|
dfon2lem4.2 |
|- B e. _V |
3 |
|
inss1 |
|- ( A i^i B ) C_ A |
4 |
3
|
sseli |
|- ( ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) -> ( A i^i B ) e. A ) |
5 |
|
dfon2lem3 |
|- ( A e. _V -> ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( Tr A /\ A. z e. A -. z e. z ) ) ) |
6 |
1 5
|
ax-mp |
|- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( Tr A /\ A. z e. A -. z e. z ) ) |
7 |
6
|
simprd |
|- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> A. z e. A -. z e. z ) |
8 |
|
eleq1 |
|- ( z = ( A i^i B ) -> ( z e. z <-> ( A i^i B ) e. z ) ) |
9 |
|
eleq2 |
|- ( z = ( A i^i B ) -> ( ( A i^i B ) e. z <-> ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) ) ) |
10 |
8 9
|
bitrd |
|- ( z = ( A i^i B ) -> ( z e. z <-> ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) ) ) |
11 |
10
|
notbid |
|- ( z = ( A i^i B ) -> ( -. z e. z <-> -. ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) ) ) |
12 |
11
|
rspccv |
|- ( A. z e. A -. z e. z -> ( ( A i^i B ) e. A -> -. ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) ) ) |
13 |
7 12
|
syl |
|- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( ( A i^i B ) e. A -> -. ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) ) ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> ( ( A i^i B ) e. A -> -. ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) ) ) |
15 |
4 14
|
syl5 |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> ( ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) -> -. ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) ) ) |
16 |
15
|
pm2.01d |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> -. ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) ) |
17 |
|
elin |
|- ( ( A i^i B ) e. ( A i^i B ) <-> ( ( A i^i B ) e. A /\ ( A i^i B ) e. B ) ) |
18 |
16 17
|
sylnib |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> -. ( ( A i^i B ) e. A /\ ( A i^i B ) e. B ) ) |
19 |
6
|
simpld |
|- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> Tr A ) |
20 |
|
dfon2lem3 |
|- ( B e. _V -> ( A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) -> ( Tr B /\ A. z e. B -. z e. z ) ) ) |
21 |
2 20
|
ax-mp |
|- ( A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) -> ( Tr B /\ A. z e. B -. z e. z ) ) |
22 |
21
|
simpld |
|- ( A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) -> Tr B ) |
23 |
|
trin |
|- ( ( Tr A /\ Tr B ) -> Tr ( A i^i B ) ) |
24 |
19 22 23
|
syl2an |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> Tr ( A i^i B ) ) |
25 |
1
|
inex1 |
|- ( A i^i B ) e. _V |
26 |
|
psseq1 |
|- ( x = ( A i^i B ) -> ( x C. A <-> ( A i^i B ) C. A ) ) |
27 |
|
treq |
|- ( x = ( A i^i B ) -> ( Tr x <-> Tr ( A i^i B ) ) ) |
28 |
26 27
|
anbi12d |
|- ( x = ( A i^i B ) -> ( ( x C. A /\ Tr x ) <-> ( ( A i^i B ) C. A /\ Tr ( A i^i B ) ) ) ) |
29 |
|
eleq1 |
|- ( x = ( A i^i B ) -> ( x e. A <-> ( A i^i B ) e. A ) ) |
30 |
28 29
|
imbi12d |
|- ( x = ( A i^i B ) -> ( ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) <-> ( ( ( A i^i B ) C. A /\ Tr ( A i^i B ) ) -> ( A i^i B ) e. A ) ) ) |
31 |
25 30
|
spcv |
|- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( ( ( A i^i B ) C. A /\ Tr ( A i^i B ) ) -> ( A i^i B ) e. A ) ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> ( ( ( A i^i B ) C. A /\ Tr ( A i^i B ) ) -> ( A i^i B ) e. A ) ) |
33 |
24 32
|
mpan2d |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> ( ( A i^i B ) C. A -> ( A i^i B ) e. A ) ) |
34 |
|
psseq1 |
|- ( y = ( A i^i B ) -> ( y C. B <-> ( A i^i B ) C. B ) ) |
35 |
|
treq |
|- ( y = ( A i^i B ) -> ( Tr y <-> Tr ( A i^i B ) ) ) |
36 |
34 35
|
anbi12d |
|- ( y = ( A i^i B ) -> ( ( y C. B /\ Tr y ) <-> ( ( A i^i B ) C. B /\ Tr ( A i^i B ) ) ) ) |
37 |
|
eleq1 |
|- ( y = ( A i^i B ) -> ( y e. B <-> ( A i^i B ) e. B ) ) |
38 |
36 37
|
imbi12d |
|- ( y = ( A i^i B ) -> ( ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) <-> ( ( ( A i^i B ) C. B /\ Tr ( A i^i B ) ) -> ( A i^i B ) e. B ) ) ) |
39 |
25 38
|
spcv |
|- ( A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) -> ( ( ( A i^i B ) C. B /\ Tr ( A i^i B ) ) -> ( A i^i B ) e. B ) ) |
40 |
39
|
adantl |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> ( ( ( A i^i B ) C. B /\ Tr ( A i^i B ) ) -> ( A i^i B ) e. B ) ) |
41 |
24 40
|
mpan2d |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> ( ( A i^i B ) C. B -> ( A i^i B ) e. B ) ) |
42 |
33 41
|
anim12d |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> ( ( ( A i^i B ) C. A /\ ( A i^i B ) C. B ) -> ( ( A i^i B ) e. A /\ ( A i^i B ) e. B ) ) ) |
43 |
18 42
|
mtod |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> -. ( ( A i^i B ) C. A /\ ( A i^i B ) C. B ) ) |
44 |
|
ianor |
|- ( -. ( ( A i^i B ) C. A /\ ( A i^i B ) C. B ) <-> ( -. ( A i^i B ) C. A \/ -. ( A i^i B ) C. B ) ) |
45 |
43 44
|
sylib |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> ( -. ( A i^i B ) C. A \/ -. ( A i^i B ) C. B ) ) |
46 |
|
sspss |
|- ( ( A i^i B ) C_ A <-> ( ( A i^i B ) C. A \/ ( A i^i B ) = A ) ) |
47 |
3 46
|
mpbi |
|- ( ( A i^i B ) C. A \/ ( A i^i B ) = A ) |
48 |
|
inss2 |
|- ( A i^i B ) C_ B |
49 |
|
sspss |
|- ( ( A i^i B ) C_ B <-> ( ( A i^i B ) C. B \/ ( A i^i B ) = B ) ) |
50 |
48 49
|
mpbi |
|- ( ( A i^i B ) C. B \/ ( A i^i B ) = B ) |
51 |
|
orel1 |
|- ( -. ( A i^i B ) C. A -> ( ( ( A i^i B ) C. A \/ ( A i^i B ) = A ) -> ( A i^i B ) = A ) ) |
52 |
|
orc |
|- ( ( A i^i B ) = A -> ( ( A i^i B ) = A \/ ( A i^i B ) = B ) ) |
53 |
51 52
|
syl6 |
|- ( -. ( A i^i B ) C. A -> ( ( ( A i^i B ) C. A \/ ( A i^i B ) = A ) -> ( ( A i^i B ) = A \/ ( A i^i B ) = B ) ) ) |
54 |
|
orel1 |
|- ( -. ( A i^i B ) C. B -> ( ( ( A i^i B ) C. B \/ ( A i^i B ) = B ) -> ( A i^i B ) = B ) ) |
55 |
|
olc |
|- ( ( A i^i B ) = B -> ( ( A i^i B ) = A \/ ( A i^i B ) = B ) ) |
56 |
54 55
|
syl6 |
|- ( -. ( A i^i B ) C. B -> ( ( ( A i^i B ) C. B \/ ( A i^i B ) = B ) -> ( ( A i^i B ) = A \/ ( A i^i B ) = B ) ) ) |
57 |
53 56
|
jaoa |
|- ( ( -. ( A i^i B ) C. A \/ -. ( A i^i B ) C. B ) -> ( ( ( ( A i^i B ) C. A \/ ( A i^i B ) = A ) /\ ( ( A i^i B ) C. B \/ ( A i^i B ) = B ) ) -> ( ( A i^i B ) = A \/ ( A i^i B ) = B ) ) ) |
58 |
47 50 57
|
mp2ani |
|- ( ( -. ( A i^i B ) C. A \/ -. ( A i^i B ) C. B ) -> ( ( A i^i B ) = A \/ ( A i^i B ) = B ) ) |
59 |
45 58
|
syl |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> ( ( A i^i B ) = A \/ ( A i^i B ) = B ) ) |
60 |
|
df-ss |
|- ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A ) |
61 |
|
sseqin2 |
|- ( B C_ A <-> ( A i^i B ) = B ) |
62 |
60 61
|
orbi12i |
|- ( ( A C_ B \/ B C_ A ) <-> ( ( A i^i B ) = A \/ ( A i^i B ) = B ) ) |
63 |
59 62
|
sylibr |
|- ( ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) /\ A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) ) |