Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvrcan5.b |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
dvrcan5.o |
|- U = ( Unit ` R ) |
3 |
|
dvrcan5.d |
|- ./ = ( /r ` R ) |
4 |
|
dvrcan5.t |
|- .x. = ( .r ` R ) |
5 |
1 2
|
unitss |
|- U C_ B |
6 |
|
simpr3 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> Z e. U ) |
7 |
5 6
|
sselid |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> Z e. B ) |
8 |
2 4
|
unitmulcl |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. U /\ Z e. U ) -> ( Y .x. Z ) e. U ) |
9 |
8
|
3adant3r1 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( Y .x. Z ) e. U ) |
10 |
|
eqid |
|- ( invr ` R ) = ( invr ` R ) |
11 |
1 4 2 10 3
|
dvrval |
|- ( ( Z e. B /\ ( Y .x. Z ) e. U ) -> ( Z ./ ( Y .x. Z ) ) = ( Z .x. ( ( invr ` R ) ` ( Y .x. Z ) ) ) ) |
12 |
7 9 11
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( Z ./ ( Y .x. Z ) ) = ( Z .x. ( ( invr ` R ) ` ( Y .x. Z ) ) ) ) |
13 |
|
simpl |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> R e. Ring ) |
14 |
|
eqid |
|- ( ( mulGrp ` R ) |`s U ) = ( ( mulGrp ` R ) |`s U ) |
15 |
2 14
|
unitgrp |
|- ( R e. Ring -> ( ( mulGrp ` R ) |`s U ) e. Grp ) |
16 |
13 15
|
syl |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) |`s U ) e. Grp ) |
17 |
|
simpr2 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> Y e. U ) |
18 |
2 14
|
unitgrpbas |
|- U = ( Base ` ( ( mulGrp ` R ) |`s U ) ) |
19 |
2
|
fvexi |
|- U e. _V |
20 |
|
eqid |
|- ( mulGrp ` R ) = ( mulGrp ` R ) |
21 |
20 4
|
mgpplusg |
|- .x. = ( +g ` ( mulGrp ` R ) ) |
22 |
14 21
|
ressplusg |
|- ( U e. _V -> .x. = ( +g ` ( ( mulGrp ` R ) |`s U ) ) ) |
23 |
19 22
|
ax-mp |
|- .x. = ( +g ` ( ( mulGrp ` R ) |`s U ) ) |
24 |
2 14 10
|
invrfval |
|- ( invr ` R ) = ( invg ` ( ( mulGrp ` R ) |`s U ) ) |
25 |
18 23 24
|
grpinvadd |
|- ( ( ( ( mulGrp ` R ) |`s U ) e. Grp /\ Y e. U /\ Z e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` ( Y .x. Z ) ) = ( ( ( invr ` R ) ` Z ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( mulGrp ` R ) |`s U ) e. Grp /\ Y e. U /\ Z e. U ) -> ( Z .x. ( ( invr ` R ) ` ( Y .x. Z ) ) ) = ( Z .x. ( ( ( invr ` R ) ` Z ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) ) |
27 |
16 17 6 26
|
syl3anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( Z .x. ( ( invr ` R ) ` ( Y .x. Z ) ) ) = ( Z .x. ( ( ( invr ` R ) ` Z ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) ) |
28 |
|
eqid |
|- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R ) |
29 |
2 10 4 28
|
unitrinv |
|- ( ( R e. Ring /\ Z e. U ) -> ( Z .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) = ( 1r ` R ) ) |
30 |
29
|
oveq1d |
|- ( ( R e. Ring /\ Z e. U ) -> ( ( Z .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) = ( ( 1r ` R ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) |
31 |
30
|
3ad2antr3 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( ( Z .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) = ( ( 1r ` R ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) |
32 |
2 10
|
unitinvcl |
|- ( ( R e. Ring /\ Z e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Z ) e. U ) |
33 |
32
|
3ad2antr3 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( ( invr ` R ) ` Z ) e. U ) |
34 |
5 33
|
sselid |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( ( invr ` R ) ` Z ) e. B ) |
35 |
2 10
|
unitinvcl |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. U ) |
36 |
35
|
3ad2antr2 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. U ) |
37 |
5 36
|
sselid |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B ) |
38 |
1 4
|
ringass |
|- ( ( R e. Ring /\ ( Z e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Z ) e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B ) ) -> ( ( Z .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) = ( Z .x. ( ( ( invr ` R ) ` Z ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) ) |
39 |
13 7 34 37 38
|
syl13anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( ( Z .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) = ( Z .x. ( ( ( invr ` R ) ` Z ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) ) |
40 |
1 4 28
|
ringlidm |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) = ( ( invr ` R ) ` Y ) ) |
41 |
13 37 40
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( ( 1r ` R ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) = ( ( invr ` R ) ` Y ) ) |
42 |
31 39 41
|
3eqtr3d |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( Z .x. ( ( ( invr ` R ) ` Z ) .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) = ( ( invr ` R ) ` Y ) ) |
43 |
12 27 42
|
3eqtrd |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( Z ./ ( Y .x. Z ) ) = ( ( invr ` R ) ` Y ) ) |
44 |
43
|
oveq2d |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( X .x. ( Z ./ ( Y .x. Z ) ) ) = ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) |
45 |
|
simpr1 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> X e. B ) |
46 |
1 2 3 4
|
dvrass |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ ( Y .x. Z ) e. U ) ) -> ( ( X .x. Z ) ./ ( Y .x. Z ) ) = ( X .x. ( Z ./ ( Y .x. Z ) ) ) ) |
47 |
13 45 7 9 46
|
syl13anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .x. Z ) ./ ( Y .x. Z ) ) = ( X .x. ( Z ./ ( Y .x. Z ) ) ) ) |
48 |
1 4 2 10 3
|
dvrval |
|- ( ( X e. B /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) = ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) |
49 |
45 17 48
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( X ./ Y ) = ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) ) |
50 |
44 47 49
|
3eqtr4d |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .x. Z ) ./ ( Y .x. Z ) ) = ( X ./ Y ) ) |