Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fsuppmapnn0fiub.u |
|- U = U_ f e. M ( f supp Z ) |
2 |
|
fsuppmapnn0fiub.s |
|- S = sup ( U , RR , < ) |
3 |
|
nfv |
|- F/ f ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) |
4 |
|
nfra1 |
|- F/ f A. f e. M f finSupp Z |
5 |
|
nfv |
|- F/ f U =/= (/) |
6 |
4 5
|
nfan |
|- F/ f ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) |
7 |
3 6
|
nfan |
|- F/ f ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) |
8 |
|
suppssdm |
|- ( f supp Z ) C_ dom f |
9 |
|
ssel2 |
|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> f e. ( R ^m NN0 ) ) |
10 |
|
elmapfn |
|- ( f e. ( R ^m NN0 ) -> f Fn NN0 ) |
11 |
|
fndm |
|- ( f Fn NN0 -> dom f = NN0 ) |
12 |
|
eqimss |
|- ( dom f = NN0 -> dom f C_ NN0 ) |
13 |
11 12
|
syl |
|- ( f Fn NN0 -> dom f C_ NN0 ) |
14 |
9 10 13
|
3syl |
|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 ) |
15 |
14
|
3ad2antl1 |
|- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 ) |
16 |
8 15
|
sstrid |
|- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ NN0 ) |
17 |
16
|
sseld |
|- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. NN0 ) ) |
18 |
17
|
adantlr |
|- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. NN0 ) ) |
19 |
18
|
imp |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. NN0 ) |
20 |
1 2
|
fsuppmapnn0fiublem |
|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> S e. NN0 ) ) |
21 |
20
|
imp |
|- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> S e. NN0 ) |
22 |
21
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> S e. NN0 ) |
23 |
9 10 11
|
3syl |
|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 ) |
24 |
23
|
ex |
|- ( M C_ ( R ^m NN0 ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) ) |
25 |
24
|
3ad2ant1 |
|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) ) |
26 |
25
|
adantr |
|- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) ) |
27 |
26
|
imp |
|- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 ) |
28 |
|
nn0ssre |
|- NN0 C_ RR |
29 |
27 28
|
eqsstrdi |
|- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f C_ RR ) |
30 |
8 29
|
sstrid |
|- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ RR ) |
31 |
30
|
ex |
|- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ RR ) ) |
32 |
7 31
|
ralrimi |
|- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR ) |
33 |
32
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR ) |
34 |
|
iunss |
|- ( U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR ) |
35 |
33 34
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR ) |
36 |
1 35
|
eqsstrid |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U C_ RR ) |
37 |
|
simp2 |
|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> M e. Fin ) |
38 |
|
id |
|- ( f finSupp Z -> f finSupp Z ) |
39 |
38
|
fsuppimpd |
|- ( f finSupp Z -> ( f supp Z ) e. Fin ) |
40 |
39
|
ralimi |
|- ( A. f e. M f finSupp Z -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) |
41 |
40
|
adantr |
|- ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) |
42 |
37 41
|
anim12i |
|- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) ) |
43 |
42
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) ) |
44 |
|
iunfi |
|- ( ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) |
45 |
43 44
|
syl |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) |
46 |
1 45
|
eqeltrid |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U e. Fin ) |
47 |
|
rspe |
|- ( ( f e. M /\ x e. ( f supp Z ) ) -> E. f e. M x e. ( f supp Z ) ) |
48 |
|
eliun |
|- ( x e. U_ f e. M ( f supp Z ) <-> E. f e. M x e. ( f supp Z ) ) |
49 |
47 48
|
sylibr |
|- ( ( f e. M /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. U_ f e. M ( f supp Z ) ) |
50 |
49 1
|
eleqtrrdi |
|- ( ( f e. M /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. U ) |
51 |
50
|
adantll |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. U ) |
52 |
2
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> S = sup ( U , RR , < ) ) |
53 |
36 46 51 52
|
supfirege |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x <_ S ) |
54 |
|
elfz2nn0 |
|- ( x e. ( 0 ... S ) <-> ( x e. NN0 /\ S e. NN0 /\ x <_ S ) ) |
55 |
19 22 53 54
|
syl3anbrc |
|- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. ( 0 ... S ) ) |
56 |
55
|
ex |
|- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. ( 0 ... S ) ) ) |
57 |
56
|
ssrdv |
|- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) |
58 |
57
|
ex |
|- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) ) |
59 |
7 58
|
ralrimi |
|- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) |
60 |
59
|
ex |
|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) ) |