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Theorem grothprim

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom ax-groth expanded into set theory primitives using 163 symbols (allowing the defined symbols /\ , \/ , <-> , and E. ). An open problem is whether a shorter equivalent exists (when expanded to primitives). (Contributed by NM, 16-Apr-2007)

Ref Expression
Assertion grothprim 
|- E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axgroth4 
 |-  E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )
2 3anass 
 |-  ( ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) ) )
3 dfss2 
 |-  ( w C_ z <-> A. u ( u e. w -> u e. z ) )
4 elin 
 |-  ( w e. ( y i^i v ) <-> ( w e. y /\ w e. v ) )
5 3 4 imbi12i 
 |-  ( ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
6 5 albii 
 |-  ( A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
7 6 rexbii 
 |-  ( E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> E. v e. y A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
8 df-rex 
 |-  ( E. v e. y A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) <-> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
9 7 8 bitri 
 |-  ( E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
10 9 ralbii 
 |-  ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. z e. y E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
11 df-ral 
 |-  ( A. z e. y E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) <-> A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) )
12 10 11 bitri 
 |-  ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) )
13 dfss2 
 |-  ( z C_ y <-> A. w ( w e. z -> w e. y ) )
14 vex 
 |-  y e. _V
15 14 difexi 
 |-  ( y \ z ) e. _V
16 vex 
 |-  z e. _V
17 disjdifr 
 |-  ( ( y \ z ) i^i z ) = (/)
18 15 16 17 brdom6disj 
 |-  ( ( y \ z ) ~<_ z <-> E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) )
19 18 orbi1i 
 |-  ( ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) <-> ( E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
20 19.44v 
 |-  ( E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) <-> ( E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
21 19 20 bitr4i 
 |-  ( ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) <-> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
22 13 21 imbi12i 
 |-  ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. y ) -> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
23 19.35 
 |-  ( E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. y ) -> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
24 22 23 bitr4i 
 |-  ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
25 grothprimlem 
 |-  ( { v , u } e. w <-> E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) )
26 25 mobii 
 |-  ( E* u { v , u } e. w <-> E* u E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) )
27 df-mo 
 |-  ( E* u E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) <-> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
28 26 27 bitri 
 |-  ( E* u { v , u } e. w <-> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
29 28 ralbii 
 |-  ( A. v e. z E* u { v , u } e. w <-> A. v e. z E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
30 df-ral 
 |-  ( A. v e. z E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) <-> A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) )
31 29 30 bitri 
 |-  ( A. v e. z E* u { v , u } e. w <-> A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) )
32 df-ral 
 |-  ( A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w <-> A. v ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) )
33 eldif 
 |-  ( v e. ( y \ z ) <-> ( v e. y /\ -. v e. z ) )
34 grothprimlem 
 |-  ( { u , v } e. w <-> E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) )
35 34 rexbii 
 |-  ( E. u e. z { u , v } e. w <-> E. u e. z E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) )
36 df-rex 
 |-  ( E. u e. z E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) <-> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) )
37 35 36 bitri 
 |-  ( E. u e. z { u , v } e. w <-> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) )
38 33 37 imbi12i 
 |-  ( ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( ( v e. y /\ -. v e. z ) -> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) )
39 pm5.6 
 |-  ( ( ( v e. y /\ -. v e. z ) -> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) <-> ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
40 38 39 bitri 
 |-  ( ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
41 40 albii 
 |-  ( A. v ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
42 32 41 bitri 
 |-  ( A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w <-> A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
43 31 42 anbi12i 
 |-  ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
44 19.26 
 |-  ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) <-> ( A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
45 43 44 bitr4i 
 |-  ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) <-> A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
46 45 orbi1i 
 |-  ( ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) <-> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) )
47 46 imbi2i 
 |-  ( ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
48 47 exbii 
 |-  ( E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
49 24 48 bitri 
 |-  ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
50 49 albii 
 |-  ( A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
51 12 50 anbi12i 
 |-  ( ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
52 19.26 
 |-  ( A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) <-> ( A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
53 51 52 bitr4i 
 |-  ( ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
54 53 anbi2i 
 |-  ( ( x e. y /\ ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
55 2 54 bitri 
 |-  ( ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
56 55 exbii 
 |-  ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
57 1 56 mpbi 
 |-  E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )