Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nfsbc1v |
|- F/ y [. ( f ` x ) / y ]. ph |
2 |
|
sbceq1a |
|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) |
3 |
1 2
|
ac6gf |
|- ( ( A e. M /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) |
4 |
|
fdm |
|- ( f : A --> B -> dom f = A ) |
5 |
|
vex |
|- f e. _V |
6 |
5
|
dmex |
|- dom f e. _V |
7 |
4 6
|
eqeltrrdi |
|- ( f : A --> B -> A e. _V ) |
8 |
|
ffn |
|- ( f : A --> B -> f Fn A ) |
9 |
|
fnrndomg |
|- ( A e. _V -> ( f Fn A -> ran f ~<_ A ) ) |
10 |
7 8 9
|
sylc |
|- ( f : A --> B -> ran f ~<_ A ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ran f ~<_ A ) |
12 |
|
frn |
|- ( f : A --> B -> ran f C_ B ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ran f C_ B ) |
14 |
|
nfv |
|- F/ x f : A --> B |
15 |
|
nfra1 |
|- F/ x A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph |
16 |
14 15
|
nfan |
|- F/ x ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) |
17 |
|
ffun |
|- ( f : A --> B -> Fun f ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> Fun f ) |
19 |
4
|
eleq2d |
|- ( f : A --> B -> ( x e. dom f <-> x e. A ) ) |
20 |
19
|
biimpar |
|- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom f ) |
21 |
|
fvelrn |
|- ( ( Fun f /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. ran f ) |
22 |
18 20 21
|
syl2anc |
|- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ran f ) |
23 |
22
|
adantlr |
|- ( ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ran f ) |
24 |
|
rspa |
|- ( ( A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph /\ x e. A ) -> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) |
25 |
24
|
adantll |
|- ( ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) /\ x e. A ) -> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) |
26 |
|
rspesbca |
|- ( ( ( f ` x ) e. ran f /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> E. y e. ran f ph ) |
27 |
23 25 26
|
syl2anc |
|- ( ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) /\ x e. A ) -> E. y e. ran f ph ) |
28 |
27
|
ex |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( x e. A -> E. y e. ran f ph ) ) |
29 |
16 28
|
ralrimi |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> A. x e. A E. y e. ran f ph ) |
30 |
|
nfv |
|- F/ y f : A --> B |
31 |
|
nfcv |
|- F/_ y A |
32 |
31 1
|
nfralw |
|- F/ y A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph |
33 |
30 32
|
nfan |
|- F/ y ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) |
34 |
|
fvelrnb |
|- ( f Fn A -> ( y e. ran f <-> E. x e. A ( f ` x ) = y ) ) |
35 |
8 34
|
syl |
|- ( f : A --> B -> ( y e. ran f <-> E. x e. A ( f ` x ) = y ) ) |
36 |
35
|
adantr |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( y e. ran f <-> E. x e. A ( f ` x ) = y ) ) |
37 |
|
rsp |
|- ( A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph -> ( x e. A -> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) |
38 |
37
|
adantl |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( x e. A -> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) |
39 |
2
|
eqcoms |
|- ( ( f ` x ) = y -> ( ph <-> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) |
40 |
39
|
biimprcd |
|- ( [. ( f ` x ) / y ]. ph -> ( ( f ` x ) = y -> ph ) ) |
41 |
38 40
|
syl6 |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( x e. A -> ( ( f ` x ) = y -> ph ) ) ) |
42 |
16 41
|
reximdai |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = y -> E. x e. A ph ) ) |
43 |
36 42
|
sylbid |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( y e. ran f -> E. x e. A ph ) ) |
44 |
33 43
|
ralrimi |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> A. y e. ran f E. x e. A ph ) |
45 |
5
|
rnex |
|- ran f e. _V |
46 |
|
breq1 |
|- ( c = ran f -> ( c ~<_ A <-> ran f ~<_ A ) ) |
47 |
|
sseq1 |
|- ( c = ran f -> ( c C_ B <-> ran f C_ B ) ) |
48 |
46 47
|
anbi12d |
|- ( c = ran f -> ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) <-> ( ran f ~<_ A /\ ran f C_ B ) ) ) |
49 |
|
rexeq |
|- ( c = ran f -> ( E. y e. c ph <-> E. y e. ran f ph ) ) |
50 |
49
|
ralbidv |
|- ( c = ran f -> ( A. x e. A E. y e. c ph <-> A. x e. A E. y e. ran f ph ) ) |
51 |
|
raleq |
|- ( c = ran f -> ( A. y e. c E. x e. A ph <-> A. y e. ran f E. x e. A ph ) ) |
52 |
50 51
|
anbi12d |
|- ( c = ran f -> ( ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) <-> ( A. x e. A E. y e. ran f ph /\ A. y e. ran f E. x e. A ph ) ) ) |
53 |
48 52
|
anbi12d |
|- ( c = ran f -> ( ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) <-> ( ( ran f ~<_ A /\ ran f C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. ran f ph /\ A. y e. ran f E. x e. A ph ) ) ) ) |
54 |
45 53
|
spcev |
|- ( ( ( ran f ~<_ A /\ ran f C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. ran f ph /\ A. y e. ran f E. x e. A ph ) ) -> E. c ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) ) |
55 |
11 13 29 44 54
|
syl22anc |
|- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> E. c ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) ) |
56 |
55
|
exlimiv |
|- ( E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> E. c ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) ) |
57 |
3 56
|
syl |
|- ( ( A e. M /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. c ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) ) |