Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isbasisrelowl.1 |
|- I = ( [,) " ( RR X. RR ) ) |
2 |
|
simplr1 |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> c e. RR ) |
3 |
|
simplr2 |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> d e. RR ) |
4 |
|
nfv |
|- F/ z a e. RR |
5 |
|
nfv |
|- F/ z b e. RR |
6 |
|
nfrab1 |
|- F/_ z { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } |
7 |
6
|
nfeq2 |
|- F/ z x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } |
8 |
4 5 7
|
nf3an |
|- F/ z ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) |
9 |
|
nfv |
|- F/ z c e. RR |
10 |
|
nfv |
|- F/ z d e. RR |
11 |
|
nfrab1 |
|- F/_ z { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } |
12 |
11
|
nfeq2 |
|- F/ z y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } |
13 |
9 10 12
|
nf3an |
|- F/ z ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) |
14 |
8 13
|
nfan |
|- F/ z ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) |
15 |
|
nfv |
|- F/ z ( a <_ c /\ d <_ b ) |
16 |
14 15
|
nfan |
|- F/ z ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) |
17 |
|
nfcv |
|- F/_ z ( x i^i y ) |
18 |
|
simp3 |
|- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) -> x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) |
19 |
|
simp3 |
|- ( ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) -> y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) |
20 |
|
elin |
|- ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. x /\ z e. y ) ) |
21 |
|
eleq2 |
|- ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } -> ( z e. x <-> z e. { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) ) |
22 |
|
rabid |
|- ( z e. { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } <-> ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) ) |
23 |
21 22
|
bitrdi |
|- ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } -> ( z e. x <-> ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) ) ) |
24 |
23
|
anbi1d |
|- ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } -> ( ( z e. x /\ z e. y ) <-> ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ z e. y ) ) ) |
25 |
20 24
|
syl5bb |
|- ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ z e. y ) ) ) |
26 |
|
eleq2 |
|- ( y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } -> ( z e. y <-> z e. { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) |
27 |
|
rabid |
|- ( z e. { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } <-> ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) |
28 |
26 27
|
bitrdi |
|- ( y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } -> ( z e. y <-> ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) |
29 |
28
|
anbi2d |
|- ( y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } -> ( ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ z e. y ) <-> ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) ) |
30 |
25 29
|
sylan9bb |
|- ( ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) ) |
31 |
|
an4 |
|- ( ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) <-> ( ( z e. RR /\ z e. RR ) /\ ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) |
32 |
|
anidm |
|- ( ( z e. RR /\ z e. RR ) <-> z e. RR ) |
33 |
32
|
anbi1i |
|- ( ( ( z e. RR /\ z e. RR ) /\ ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) |
34 |
31 33
|
bitri |
|- ( ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) |
35 |
|
an4 |
|- ( ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) <-> ( ( a <_ z /\ c <_ z ) /\ ( z < d /\ z < b ) ) ) |
36 |
|
an42 |
|- ( ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) <-> ( ( a <_ z /\ c <_ z ) /\ ( z < d /\ z < b ) ) ) |
37 |
36
|
bicomi |
|- ( ( ( a <_ z /\ c <_ z ) /\ ( z < d /\ z < b ) ) <-> ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) |
38 |
35 37
|
bitri |
|- ( ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) <-> ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) |
39 |
38
|
bicomi |
|- ( ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) <-> ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) |
40 |
39
|
anbi2i |
|- ( ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) |
41 |
34 40
|
bitri |
|- ( ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) |
42 |
30 41
|
bitrdi |
|- ( ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) ) |
43 |
18 19 42
|
syl2an |
|- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
adantr |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) ) |
45 |
|
simpl |
|- ( ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) -> z e. RR ) |
46 |
|
simprrl |
|- ( ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) -> c <_ z ) |
47 |
|
simprlr |
|- ( ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) -> z < d ) |
48 |
45 46 47
|
jca32 |
|- ( ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) -> ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) |
49 |
44 48
|
syl6bi |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) -> ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) |
50 |
|
3simpa |
|- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) -> ( a e. RR /\ b e. RR ) ) |
51 |
|
3simpa |
|- ( ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) -> ( c e. RR /\ d e. RR ) ) |
52 |
50 51
|
anim12i |
|- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) -> ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) ) |
53 |
|
letr |
|- ( ( a e. RR /\ c e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( a <_ c /\ c <_ z ) -> a <_ z ) ) |
54 |
53
|
3expia |
|- ( ( a e. RR /\ c e. RR ) -> ( z e. RR -> ( ( a <_ c /\ c <_ z ) -> a <_ z ) ) ) |
55 |
54
|
exp4a |
|- ( ( a e. RR /\ c e. RR ) -> ( z e. RR -> ( a <_ c -> ( c <_ z -> a <_ z ) ) ) ) |
56 |
55
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( z e. RR -> ( a <_ c -> ( c <_ z -> a <_ z ) ) ) ) |
57 |
|
ltletr |
|- ( ( z e. RR /\ d e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( z < d /\ d <_ b ) -> z < b ) ) |
58 |
57
|
3com13 |
|- ( ( b e. RR /\ d e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( z < d /\ d <_ b ) -> z < b ) ) |
59 |
58
|
expcomd |
|- ( ( b e. RR /\ d e. RR /\ z e. RR ) -> ( d <_ b -> ( z < d -> z < b ) ) ) |
60 |
59
|
3expia |
|- ( ( b e. RR /\ d e. RR ) -> ( z e. RR -> ( d <_ b -> ( z < d -> z < b ) ) ) ) |
61 |
60
|
ad2ant2l |
|- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( z e. RR -> ( d <_ b -> ( z < d -> z < b ) ) ) ) |
62 |
56 61
|
jcad |
|- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( z e. RR -> ( ( a <_ c -> ( c <_ z -> a <_ z ) ) /\ ( d <_ b -> ( z < d -> z < b ) ) ) ) ) |
63 |
|
anim12 |
|- ( ( ( a <_ c -> ( c <_ z -> a <_ z ) ) /\ ( d <_ b -> ( z < d -> z < b ) ) ) -> ( ( a <_ c /\ d <_ b ) -> ( ( c <_ z -> a <_ z ) /\ ( z < d -> z < b ) ) ) ) |
64 |
62 63
|
syl6 |
|- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( z e. RR -> ( ( a <_ c /\ d <_ b ) -> ( ( c <_ z -> a <_ z ) /\ ( z < d -> z < b ) ) ) ) ) |
65 |
64
|
com23 |
|- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( ( a <_ c /\ d <_ b ) -> ( z e. RR -> ( ( c <_ z -> a <_ z ) /\ ( z < d -> z < b ) ) ) ) ) |
66 |
|
anim12 |
|- ( ( ( c <_ z -> a <_ z ) /\ ( z < d -> z < b ) ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( a <_ z /\ z < b ) ) ) |
67 |
65 66
|
syl8 |
|- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( ( a <_ c /\ d <_ b ) -> ( z e. RR -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( a <_ z /\ z < b ) ) ) ) ) |
68 |
67
|
imp31 |
|- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( a <_ z /\ z < b ) ) ) |
69 |
68
|
ancrd |
|- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) |
70 |
|
an42 |
|- ( ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) <-> ( ( a <_ z /\ c <_ z ) /\ ( z < b /\ z < d ) ) ) |
71 |
|
an4 |
|- ( ( ( a <_ z /\ c <_ z ) /\ ( z < b /\ z < d ) ) <-> ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) |
72 |
70 71
|
bitri |
|- ( ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) <-> ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) |
73 |
69 72
|
syl6ibr |
|- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) |
74 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> z e. RR ) |
75 |
73 74
|
jctild |
|- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) ) |
76 |
52 75
|
sylanl1 |
|- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) ) |
77 |
76
|
imp |
|- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) -> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) |
78 |
77
|
an32s |
|- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) /\ z e. RR ) -> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) |
79 |
44
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) ) |
80 |
79
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) /\ z e. RR ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) ) |
81 |
78 80
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) /\ z e. RR ) -> z e. ( x i^i y ) ) |
82 |
81
|
expl |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( ( ( c <_ z /\ z < d ) /\ z e. RR ) -> z e. ( x i^i y ) ) ) |
83 |
82
|
ancomsd |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) -> z e. ( x i^i y ) ) ) |
84 |
49 83
|
impbid |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) |
85 |
84 27
|
bitr4di |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> z e. { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) |
86 |
16 17 11 85
|
eqrd |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) |
87 |
3 86
|
jca |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( d e. RR /\ ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) |
88 |
87
|
19.8ad |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> E. d ( d e. RR /\ ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) |
89 |
|
df-rex |
|- ( E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } <-> E. d ( d e. RR /\ ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) |
90 |
88 89
|
sylibr |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) |
91 |
2 90
|
jca |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( c e. RR /\ E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) |
92 |
91
|
19.8ad |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> E. c ( c e. RR /\ E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) |
93 |
|
df-rex |
|- ( E. c e. RR E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } <-> E. c ( c e. RR /\ E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) |
94 |
92 93
|
sylibr |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> E. c e. RR E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) |
95 |
1
|
icoreelrnab |
|- ( ( x i^i y ) e. I <-> E. c e. RR E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) |
96 |
94 95
|
sylibr |
|- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( x i^i y ) e. I ) |