Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
porpss |
|- [C.] Po ~P A |
2 |
|
cnvpo |
|- ( [C.] Po ~P A <-> `' [C.] Po ~P A ) |
3 |
1 2
|
mpbi |
|- `' [C.] Po ~P A |
4 |
|
pwfi |
|- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin ) |
5 |
4
|
biimpi |
|- ( A e. Fin -> ~P A e. Fin ) |
6 |
|
frfi |
|- ( ( `' [C.] Po ~P A /\ ~P A e. Fin ) -> `' [C.] Fr ~P A ) |
7 |
3 5 6
|
sylancr |
|- ( A e. Fin -> `' [C.] Fr ~P A ) |
8 |
|
inss2 |
|- ( Fin i^i ~P A ) C_ ~P A |
9 |
|
pwexg |
|- ( A e. V -> ~P A e. _V ) |
10 |
|
ssexg |
|- ( ( ( Fin i^i ~P A ) C_ ~P A /\ ~P A e. _V ) -> ( Fin i^i ~P A ) e. _V ) |
11 |
8 9 10
|
sylancr |
|- ( A e. V -> ( Fin i^i ~P A ) e. _V ) |
12 |
|
0fin |
|- (/) e. Fin |
13 |
|
0elpw |
|- (/) e. ~P A |
14 |
12 13
|
elini |
|- (/) e. ( Fin i^i ~P A ) |
15 |
14
|
ne0ii |
|- ( Fin i^i ~P A ) =/= (/) |
16 |
|
fri |
|- ( ( ( ( Fin i^i ~P A ) e. _V /\ `' [C.] Fr ~P A ) /\ ( ( Fin i^i ~P A ) C_ ~P A /\ ( Fin i^i ~P A ) =/= (/) ) ) -> E. b e. ( Fin i^i ~P A ) A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [C.] b ) |
17 |
8 15 16
|
mpanr12 |
|- ( ( ( Fin i^i ~P A ) e. _V /\ `' [C.] Fr ~P A ) -> E. b e. ( Fin i^i ~P A ) A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [C.] b ) |
18 |
11 17
|
sylan |
|- ( ( A e. V /\ `' [C.] Fr ~P A ) -> E. b e. ( Fin i^i ~P A ) A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [C.] b ) |
19 |
18
|
ex |
|- ( A e. V -> ( `' [C.] Fr ~P A -> E. b e. ( Fin i^i ~P A ) A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [C.] b ) ) |
20 |
|
elinel1 |
|- ( b e. ( Fin i^i ~P A ) -> b e. Fin ) |
21 |
|
ralnex |
|- ( A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [C.] b <-> -. E. c e. ( Fin i^i ~P A ) c `' [C.] b ) |
22 |
20
|
adantr |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> b e. Fin ) |
23 |
|
snfi |
|- { d } e. Fin |
24 |
|
unfi |
|- ( ( b e. Fin /\ { d } e. Fin ) -> ( b u. { d } ) e. Fin ) |
25 |
22 23 24
|
sylancl |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> ( b u. { d } ) e. Fin ) |
26 |
|
elinel2 |
|- ( b e. ( Fin i^i ~P A ) -> b e. ~P A ) |
27 |
26
|
elpwid |
|- ( b e. ( Fin i^i ~P A ) -> b C_ A ) |
28 |
27
|
adantr |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> b C_ A ) |
29 |
|
snssi |
|- ( d e. A -> { d } C_ A ) |
30 |
29
|
ad2antrl |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> { d } C_ A ) |
31 |
28 30
|
unssd |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> ( b u. { d } ) C_ A ) |
32 |
|
vex |
|- b e. _V |
33 |
|
snex |
|- { d } e. _V |
34 |
32 33
|
unex |
|- ( b u. { d } ) e. _V |
35 |
34
|
elpw |
|- ( ( b u. { d } ) e. ~P A <-> ( b u. { d } ) C_ A ) |
36 |
31 35
|
sylibr |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> ( b u. { d } ) e. ~P A ) |
37 |
25 36
|
elind |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> ( b u. { d } ) e. ( Fin i^i ~P A ) ) |
38 |
|
disjsn |
|- ( ( b i^i { d } ) = (/) <-> -. d e. b ) |
39 |
38
|
biimpri |
|- ( -. d e. b -> ( b i^i { d } ) = (/) ) |
40 |
|
vex |
|- d e. _V |
41 |
40
|
snnz |
|- { d } =/= (/) |
42 |
|
disjpss |
|- ( ( ( b i^i { d } ) = (/) /\ { d } =/= (/) ) -> b C. ( b u. { d } ) ) |
43 |
39 41 42
|
sylancl |
|- ( -. d e. b -> b C. ( b u. { d } ) ) |
44 |
43
|
ad2antll |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> b C. ( b u. { d } ) ) |
45 |
34 32
|
brcnv |
|- ( ( b u. { d } ) `' [C.] b <-> b [C.] ( b u. { d } ) ) |
46 |
34
|
brrpss |
|- ( b [C.] ( b u. { d } ) <-> b C. ( b u. { d } ) ) |
47 |
45 46
|
bitri |
|- ( ( b u. { d } ) `' [C.] b <-> b C. ( b u. { d } ) ) |
48 |
44 47
|
sylibr |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> ( b u. { d } ) `' [C.] b ) |
49 |
|
breq1 |
|- ( c = ( b u. { d } ) -> ( c `' [C.] b <-> ( b u. { d } ) `' [C.] b ) ) |
50 |
49
|
rspcev |
|- ( ( ( b u. { d } ) e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( b u. { d } ) `' [C.] b ) -> E. c e. ( Fin i^i ~P A ) c `' [C.] b ) |
51 |
37 48 50
|
syl2anc |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ ( d e. A /\ -. d e. b ) ) -> E. c e. ( Fin i^i ~P A ) c `' [C.] b ) |
52 |
51
|
expr |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ d e. A ) -> ( -. d e. b -> E. c e. ( Fin i^i ~P A ) c `' [C.] b ) ) |
53 |
52
|
con1d |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ d e. A ) -> ( -. E. c e. ( Fin i^i ~P A ) c `' [C.] b -> d e. b ) ) |
54 |
21 53
|
syl5bi |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ d e. A ) -> ( A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [C.] b -> d e. b ) ) |
55 |
54
|
impancom |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [C.] b ) -> ( d e. A -> d e. b ) ) |
56 |
55
|
ssrdv |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [C.] b ) -> A C_ b ) |
57 |
|
ssfi |
|- ( ( b e. Fin /\ A C_ b ) -> A e. Fin ) |
58 |
20 56 57
|
syl2an2r |
|- ( ( b e. ( Fin i^i ~P A ) /\ A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [C.] b ) -> A e. Fin ) |
59 |
58
|
rexlimiva |
|- ( E. b e. ( Fin i^i ~P A ) A. c e. ( Fin i^i ~P A ) -. c `' [C.] b -> A e. Fin ) |
60 |
19 59
|
syl6 |
|- ( A e. V -> ( `' [C.] Fr ~P A -> A e. Fin ) ) |
61 |
7 60
|
impbid2 |
|- ( A e. V -> ( A e. Fin <-> `' [C.] Fr ~P A ) ) |