Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itgss3.1 |
|- ( ph -> A C_ B ) |
2 |
|
itgss3.2 |
|- ( ph -> B C_ RR ) |
3 |
|
itgss3.3 |
|- ( ph -> ( vol* ` ( B \ A ) ) = 0 ) |
4 |
|
itgss3.4 |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. CC ) |
5 |
|
nfcv |
|- F/_ y if ( x e. A , C , 0 ) |
6 |
|
nfv |
|- F/ x y e. A |
7 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ x [_ y / x ]_ C |
8 |
|
nfcv |
|- F/_ x 0 |
9 |
6 7 8
|
nfif |
|- F/_ x if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) |
10 |
|
eleq1w |
|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) ) |
11 |
|
csbeq1a |
|- ( x = y -> C = [_ y / x ]_ C ) |
12 |
10 11
|
ifbieq1d |
|- ( x = y -> if ( x e. A , C , 0 ) = if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) |
13 |
5 9 12
|
cbvmpt |
|- ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) |
14 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> A C_ B ) |
15 |
|
nfcv |
|- F/_ y C |
16 |
15 7 11
|
cbvmpt |
|- ( x e. A |-> C ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ C ) |
17 |
|
iftrue |
|- ( y e. A -> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) = [_ y / x ]_ C ) |
18 |
17
|
mpteq2ia |
|- ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ C ) |
19 |
16 18
|
eqtr4i |
|- ( x e. A |-> C ) = ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) |
20 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) |
21 |
19 20
|
eqeltrrid |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 ) |
22 |
|
iblmbf |
|- ( ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 -> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. MblFn ) |
23 |
21 22
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. MblFn ) |
24 |
1
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. B ) |
25 |
24 4
|
syldan |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC ) |
26 |
25
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A --> CC ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( x e. A |-> C ) : A --> CC ) |
28 |
19
|
feq1i |
|- ( ( x e. A |-> C ) : A --> CC <-> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : A --> CC ) |
29 |
27 28
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : A --> CC ) |
30 |
29
|
fvmptelrn |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) /\ y e. A ) -> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) e. CC ) |
31 |
23 30
|
mbfdm2 |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> A e. dom vol ) |
32 |
|
undif |
|- ( A C_ B <-> ( A u. ( B \ A ) ) = B ) |
33 |
1 32
|
sylib |
|- ( ph -> ( A u. ( B \ A ) ) = B ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A e. dom vol ) -> ( A u. ( B \ A ) ) = B ) |
35 |
|
id |
|- ( A e. dom vol -> A e. dom vol ) |
36 |
2
|
ssdifssd |
|- ( ph -> ( B \ A ) C_ RR ) |
37 |
|
nulmbl |
|- ( ( ( B \ A ) C_ RR /\ ( vol* ` ( B \ A ) ) = 0 ) -> ( B \ A ) e. dom vol ) |
38 |
36 3 37
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( B \ A ) e. dom vol ) |
39 |
|
unmbl |
|- ( ( A e. dom vol /\ ( B \ A ) e. dom vol ) -> ( A u. ( B \ A ) ) e. dom vol ) |
40 |
35 38 39
|
syl2anr |
|- ( ( ph /\ A e. dom vol ) -> ( A u. ( B \ A ) ) e. dom vol ) |
41 |
34 40
|
eqeltrrd |
|- ( ( ph /\ A e. dom vol ) -> B e. dom vol ) |
42 |
31 41
|
syldan |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> B e. dom vol ) |
43 |
|
eldifn |
|- ( y e. ( B \ A ) -> -. y e. A ) |
44 |
43
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) /\ y e. ( B \ A ) ) -> -. y e. A ) |
45 |
44
|
iffalsed |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) /\ y e. ( B \ A ) ) -> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) = 0 ) |
46 |
14 42 30 45 21
|
iblss2 |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 ) |
47 |
13 46
|
eqeltrid |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) |
48 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = C ) |
49 |
48
|
mpteq2ia |
|- ( x e. A |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( x e. A |-> C ) |
50 |
5 9 12
|
cbvmpt |
|- ( x e. A |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) |
51 |
49 50
|
eqtr3i |
|- ( x e. A |-> C ) = ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) |
52 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> A C_ B ) |
53 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) |
54 |
13 53
|
eqeltrrid |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 ) |
55 |
|
iblmbf |
|- ( ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. MblFn ) |
56 |
54 55
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. MblFn ) |
57 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
58 |
|
ifcl |
|- ( ( C e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. CC ) |
59 |
4 57 58
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. CC ) |
60 |
59
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) : B --> CC ) |
61 |
13
|
feq1i |
|- ( ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) : B --> CC <-> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : B --> CC ) |
62 |
60 61
|
sylib |
|- ( ph -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : B --> CC ) |
63 |
62
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : B --> CC ) |
64 |
63
|
fvmptelrn |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) /\ y e. B ) -> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) e. CC ) |
65 |
56 64
|
mbfdm2 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> B e. dom vol ) |
66 |
|
dfss4 |
|- ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) |
67 |
1 66
|
sylib |
|- ( ph -> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ph /\ B e. dom vol ) -> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) |
69 |
|
id |
|- ( B e. dom vol -> B e. dom vol ) |
70 |
|
difmbl |
|- ( ( B e. dom vol /\ ( B \ A ) e. dom vol ) -> ( B \ ( B \ A ) ) e. dom vol ) |
71 |
69 38 70
|
syl2anr |
|- ( ( ph /\ B e. dom vol ) -> ( B \ ( B \ A ) ) e. dom vol ) |
72 |
68 71
|
eqeltrrd |
|- ( ( ph /\ B e. dom vol ) -> A e. dom vol ) |
73 |
65 72
|
syldan |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> A e. dom vol ) |
74 |
52 73 64 54
|
iblss |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 ) |
75 |
51 74
|
eqeltrid |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) |
76 |
47 75
|
impbida |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) ) |
77 |
67
|
eleq2d |
|- ( ph -> ( x e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> x e. A ) ) |
78 |
77
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ x e. ( B \ ( B \ A ) ) ) -> x e. A ) |
79 |
78 48
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. ( B \ ( B \ A ) ) ) -> if ( x e. A , C , 0 ) = C ) |
80 |
59 4 36 3 79
|
itgeqa |
|- ( ph -> ( ( ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> C ) e. L^1 ) /\ S. B if ( x e. A , C , 0 ) _d x = S. B C _d x ) ) |
81 |
80
|
simpld |
|- ( ph -> ( ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> C ) e. L^1 ) ) |
82 |
76 81
|
bitrd |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> C ) e. L^1 ) ) |
83 |
|
itgss2 |
|- ( A C_ B -> S. A C _d x = S. B if ( x e. A , C , 0 ) _d x ) |
84 |
1 83
|
syl |
|- ( ph -> S. A C _d x = S. B if ( x e. A , C , 0 ) _d x ) |
85 |
80
|
simprd |
|- ( ph -> S. B if ( x e. A , C , 0 ) _d x = S. B C _d x ) |
86 |
84 85
|
eqtrd |
|- ( ph -> S. A C _d x = S. B C _d x ) |
87 |
82 86
|
jca |
|- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> C ) e. L^1 ) /\ S. A C _d x = S. B C _d x ) ) |