Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
logcl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC ) |
2 |
1
|
3adant3 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( log ` A ) e. CC ) |
3 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
4 |
|
halfpire |
|- ( _pi / 2 ) e. RR |
5 |
4
|
recni |
|- ( _pi / 2 ) e. CC |
6 |
3 5
|
mulcli |
|- ( _i x. ( _pi / 2 ) ) e. CC |
7 |
|
efadd |
|- ( ( ( log ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( _pi / 2 ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) = ( ( exp ` ( log ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) ) |
8 |
2 6 7
|
sylancl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( exp ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) = ( ( exp ` ( log ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) ) |
9 |
|
eflog |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` A ) ) = A ) |
10 |
9
|
3adant3 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( exp ` ( log ` A ) ) = A ) |
11 |
|
efhalfpi |
|- ( exp ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) = _i |
12 |
11
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( exp ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) = _i ) |
13 |
10 12
|
oveq12d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( exp ` ( log ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) = ( A x. _i ) ) |
14 |
|
simp1 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> A e. CC ) |
15 |
|
mulcom |
|- ( ( A e. CC /\ _i e. CC ) -> ( A x. _i ) = ( _i x. A ) ) |
16 |
14 3 15
|
sylancl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( A x. _i ) = ( _i x. A ) ) |
17 |
8 13 16
|
3eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( exp ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) = ( _i x. A ) ) |
18 |
17
|
fveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( log ` ( exp ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) ) = ( log ` ( _i x. A ) ) ) |
19 |
|
addcl |
|- ( ( ( log ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( _pi / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) e. CC ) |
20 |
2 6 19
|
sylancl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) e. CC ) |
21 |
|
pire |
|- _pi e. RR |
22 |
21
|
renegcli |
|- -u _pi e. RR |
23 |
22
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> -u _pi e. RR ) |
24 |
2
|
imcld |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) |
25 |
|
readdcl |
|- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( _pi / 2 ) ) e. RR ) |
26 |
24 4 25
|
sylancl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( _pi / 2 ) ) e. RR ) |
27 |
|
logimcl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u _pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ _pi ) ) |
28 |
27
|
3adant3 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( -u _pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ _pi ) ) |
29 |
28
|
simpld |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> -u _pi < ( Im ` ( log ` A ) ) ) |
30 |
|
pirp |
|- _pi e. RR+ |
31 |
|
rphalfcl |
|- ( _pi e. RR+ -> ( _pi / 2 ) e. RR+ ) |
32 |
30 31
|
ax-mp |
|- ( _pi / 2 ) e. RR+ |
33 |
|
ltaddrp |
|- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR+ ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) < ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( _pi / 2 ) ) ) |
34 |
24 32 33
|
sylancl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) < ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( _pi / 2 ) ) ) |
35 |
23 24 26 29 34
|
lttrd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> -u _pi < ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( _pi / 2 ) ) ) |
36 |
|
imadd |
|- ( ( ( log ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( _pi / 2 ) ) e. CC ) -> ( Im ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( Im ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) ) |
37 |
2 6 36
|
sylancl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( Im ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) ) |
38 |
|
reim |
|- ( ( _pi / 2 ) e. CC -> ( Re ` ( _pi / 2 ) ) = ( Im ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) |
39 |
5 38
|
ax-mp |
|- ( Re ` ( _pi / 2 ) ) = ( Im ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) |
40 |
|
rere |
|- ( ( _pi / 2 ) e. RR -> ( Re ` ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) ) |
41 |
4 40
|
ax-mp |
|- ( Re ` ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) |
42 |
39 41
|
eqtr3i |
|- ( Im ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) = ( _pi / 2 ) |
43 |
42
|
oveq2i |
|- ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( Im ` ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( _pi / 2 ) ) |
44 |
37 43
|
eqtrdi |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( _pi / 2 ) ) ) |
45 |
35 44
|
breqtrrd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> -u _pi < ( Im ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) ) |
46 |
|
argrege0 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( _pi / 2 ) [,] ( _pi / 2 ) ) ) |
47 |
4
|
renegcli |
|- -u ( _pi / 2 ) e. RR |
48 |
47 4
|
elicc2i |
|- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( _pi / 2 ) [,] ( _pi / 2 ) ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u ( _pi / 2 ) <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi / 2 ) ) ) |
49 |
48
|
simp3bi |
|- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( _pi / 2 ) [,] ( _pi / 2 ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi / 2 ) ) |
50 |
46 49
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi / 2 ) ) |
51 |
21
|
recni |
|- _pi e. CC |
52 |
|
pidiv2halves |
|- ( ( _pi / 2 ) + ( _pi / 2 ) ) = _pi |
53 |
51 5 5 52
|
subaddrii |
|- ( _pi - ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) |
54 |
50 53
|
breqtrrdi |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi - ( _pi / 2 ) ) ) |
55 |
4
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( _pi / 2 ) e. RR ) |
56 |
21
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> _pi e. RR ) |
57 |
|
leaddsub |
|- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR /\ _pi e. RR ) -> ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( _pi / 2 ) ) <_ _pi <-> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi - ( _pi / 2 ) ) ) ) |
58 |
24 55 56 57
|
syl3anc |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( _pi / 2 ) ) <_ _pi <-> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi - ( _pi / 2 ) ) ) ) |
59 |
54 58
|
mpbird |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) + ( _pi / 2 ) ) <_ _pi ) |
60 |
44 59
|
eqbrtrd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) <_ _pi ) |
61 |
|
ellogrn |
|- ( ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) e. ran log <-> ( ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) e. CC /\ -u _pi < ( Im ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) <_ _pi ) ) |
62 |
20 45 60 61
|
syl3anbrc |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) e. ran log ) |
63 |
|
logef |
|- ( ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) e. ran log -> ( log ` ( exp ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) ) = ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) |
64 |
62 63
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( log ` ( exp ` ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) ) = ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) |
65 |
18 64
|
eqtr3d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( log ` ( _i x. A ) ) = ( ( log ` A ) + ( _i x. ( _pi / 2 ) ) ) ) |