Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
logcl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC ) |
2 |
1
|
3adant3 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( log ` A ) e. CC ) |
3 |
2
|
imcld |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) |
4 |
|
simp3 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( Re ` A ) ) |
5 |
|
simp1 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> A e. CC ) |
6 |
5
|
abscld |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. RR ) |
7 |
6
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. CC ) |
8 |
7
|
mul01d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 0 ) = 0 ) |
9 |
|
absrpcl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ ) |
10 |
9
|
3adant3 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) e. RR+ ) |
11 |
10
|
rpne0d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( abs ` A ) =/= 0 ) |
12 |
5 7 11
|
divcld |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( A / ( abs ` A ) ) e. CC ) |
13 |
6 12
|
remul2d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) ) |
14 |
5 7 11
|
divcan2d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) = A ) |
15 |
14
|
fveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) x. ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) ) |
16 |
13 15
|
eqtr3d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) ) |
17 |
4 8 16
|
3brtr4d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 0 ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) ) |
18 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
19 |
18
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> 0 e. RR ) |
20 |
12
|
recld |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) e. RR ) |
21 |
19 20 10
|
lemul2d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( 0 <_ ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) <-> ( ( abs ` A ) x. 0 ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) ) ) |
22 |
17 21
|
mpbird |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) |
23 |
|
efiarg |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( A / ( abs ` A ) ) ) |
24 |
23
|
3adant3 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( A / ( abs ` A ) ) ) |
25 |
24
|
fveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( Re ` ( A / ( abs ` A ) ) ) ) |
26 |
22 25
|
breqtrrd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) ) |
27 |
|
recosval |
|- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) ) |
28 |
3 27
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) ) |
29 |
26 28
|
breqtrrd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) |
30 |
|
halfpire |
|- ( _pi / 2 ) e. RR |
31 |
|
pirp |
|- _pi e. RR+ |
32 |
|
rphalfcl |
|- ( _pi e. RR+ -> ( _pi / 2 ) e. RR+ ) |
33 |
|
rpge0 |
|- ( ( _pi / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( _pi / 2 ) ) |
34 |
31 32 33
|
mp2b |
|- 0 <_ ( _pi / 2 ) |
35 |
|
pire |
|- _pi e. RR |
36 |
|
rphalflt |
|- ( _pi e. RR+ -> ( _pi / 2 ) < _pi ) |
37 |
31 36
|
ax-mp |
|- ( _pi / 2 ) < _pi |
38 |
30 35 37
|
ltleii |
|- ( _pi / 2 ) <_ _pi |
39 |
18 35
|
elicc2i |
|- ( ( _pi / 2 ) e. ( 0 [,] _pi ) <-> ( ( _pi / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( _pi / 2 ) /\ ( _pi / 2 ) <_ _pi ) ) |
40 |
30 34 38 39
|
mpbir3an |
|- ( _pi / 2 ) e. ( 0 [,] _pi ) |
41 |
3
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC ) |
42 |
41
|
abscld |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR ) |
43 |
41
|
absge0d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) |
44 |
|
logimcl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u _pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ _pi ) ) |
45 |
44
|
3adant3 |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( -u _pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ _pi ) ) |
46 |
45
|
simpld |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> -u _pi < ( Im ` ( log ` A ) ) ) |
47 |
35
|
renegcli |
|- -u _pi e. RR |
48 |
|
ltle |
|- ( ( -u _pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( -u _pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u _pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) |
49 |
47 3 48
|
sylancr |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( -u _pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u _pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) |
50 |
46 49
|
mpd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> -u _pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) |
51 |
45
|
simprd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ _pi ) |
52 |
|
absle |
|- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ _pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ _pi <-> ( -u _pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ _pi ) ) ) |
53 |
3 35 52
|
sylancl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ _pi <-> ( -u _pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ _pi ) ) ) |
54 |
50 51 53
|
mpbir2and |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ _pi ) |
55 |
18 35
|
elicc2i |
|- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] _pi ) <-> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) /\ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ _pi ) ) |
56 |
42 43 54 55
|
syl3anbrc |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] _pi ) ) |
57 |
|
cosord |
|- ( ( ( _pi / 2 ) e. ( 0 [,] _pi ) /\ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. ( 0 [,] _pi ) ) -> ( ( _pi / 2 ) < ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) < ( cos ` ( _pi / 2 ) ) ) ) |
58 |
40 56 57
|
sylancr |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( _pi / 2 ) < ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) < ( cos ` ( _pi / 2 ) ) ) ) |
59 |
|
fveq2 |
|- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) |
60 |
59
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) |
61 |
|
cosneg |
|- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC -> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) |
62 |
41 61
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) |
63 |
|
fveqeq2 |
|- ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( cos ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) |
64 |
62 63
|
syl5ibrcom |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) |
65 |
3
|
absord |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( Im ` ( log ` A ) ) \/ ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) |
66 |
60 64 65
|
mpjaod |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) |
67 |
|
coshalfpi |
|- ( cos ` ( _pi / 2 ) ) = 0 |
68 |
67
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( _pi / 2 ) ) = 0 ) |
69 |
66 68
|
breq12d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( cos ` ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) < ( cos ` ( _pi / 2 ) ) <-> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < 0 ) ) |
70 |
58 69
|
bitrd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( _pi / 2 ) < ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < 0 ) ) |
71 |
70
|
notbid |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( -. ( _pi / 2 ) < ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> -. ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < 0 ) ) |
72 |
|
lenlt |
|- ( ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( _pi / 2 ) <-> -. ( _pi / 2 ) < ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) |
73 |
42 30 72
|
sylancl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( _pi / 2 ) <-> -. ( _pi / 2 ) < ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) |
74 |
3
|
recoscld |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR ) |
75 |
|
lenlt |
|- ( ( 0 e. RR /\ ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> -. ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < 0 ) ) |
76 |
18 74 75
|
sylancr |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( 0 <_ ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> -. ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) < 0 ) ) |
77 |
71 73 76
|
3bitr4d |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( _pi / 2 ) <-> 0 <_ ( cos ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) |
78 |
29 77
|
mpbird |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( _pi / 2 ) ) |
79 |
|
absle |
|- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( _pi / 2 ) <-> ( -u ( _pi / 2 ) <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi / 2 ) ) ) ) |
80 |
3 30 79
|
sylancl |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( _pi / 2 ) <-> ( -u ( _pi / 2 ) <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi / 2 ) ) ) ) |
81 |
78 80
|
mpbid |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( -u ( _pi / 2 ) <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi / 2 ) ) ) |
82 |
81
|
simpld |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> -u ( _pi / 2 ) <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) |
83 |
81
|
simprd |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi / 2 ) ) |
84 |
30
|
renegcli |
|- -u ( _pi / 2 ) e. RR |
85 |
84 30
|
elicc2i |
|- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( _pi / 2 ) [,] ( _pi / 2 ) ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u ( _pi / 2 ) <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ ( _pi / 2 ) ) ) |
86 |
3 82 83 85
|
syl3anbrc |
|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u ( _pi / 2 ) [,] ( _pi / 2 ) ) ) |