Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nbgr2vtx1edg.v |
|- V = ( Vtx ` G ) |
2 |
|
nbgr2vtx1edg.e |
|- E = ( Edg ` G ) |
3 |
1
|
fvexi |
|- V e. _V |
4 |
|
hash2prb |
|- ( V e. _V -> ( ( # ` V ) = 2 <-> E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) ) |
5 |
3 4
|
ax-mp |
|- ( ( # ` V ) = 2 <-> E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) |
6 |
|
simpr |
|- ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a e. V /\ b e. V ) ) |
7 |
6
|
ancomd |
|- ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( b e. V /\ a e. V ) ) |
8 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( b e. V /\ a e. V ) ) |
9 |
|
id |
|- ( a =/= b -> a =/= b ) |
10 |
9
|
necomd |
|- ( a =/= b -> b =/= a ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> b =/= a ) |
12 |
11
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> b =/= a ) |
13 |
|
prcom |
|- { a , b } = { b , a } |
14 |
13
|
eleq1i |
|- ( { a , b } e. E <-> { b , a } e. E ) |
15 |
14
|
biimpi |
|- ( { a , b } e. E -> { b , a } e. E ) |
16 |
|
sseq2 |
|- ( e = { b , a } -> ( { a , b } C_ e <-> { a , b } C_ { b , a } ) ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( { a , b } e. E /\ e = { b , a } ) -> ( { a , b } C_ e <-> { a , b } C_ { b , a } ) ) |
18 |
13
|
eqimssi |
|- { a , b } C_ { b , a } |
19 |
18
|
a1i |
|- ( { a , b } e. E -> { a , b } C_ { b , a } ) |
20 |
15 17 19
|
rspcedvd |
|- ( { a , b } e. E -> E. e e. E { a , b } C_ e ) |
21 |
20
|
adantl |
|- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> E. e e. E { a , b } C_ e ) |
22 |
1 2
|
nbgrel |
|- ( b e. ( G NeighbVtx a ) <-> ( ( b e. V /\ a e. V ) /\ b =/= a /\ E. e e. E { a , b } C_ e ) ) |
23 |
8 12 21 22
|
syl3anbrc |
|- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> b e. ( G NeighbVtx a ) ) |
24 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( a e. V /\ b e. V ) ) |
25 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> a =/= b ) |
26 |
|
id |
|- ( { a , b } e. E -> { a , b } e. E ) |
27 |
|
sseq2 |
|- ( e = { a , b } -> ( { b , a } C_ e <-> { b , a } C_ { a , b } ) ) |
28 |
27
|
adantl |
|- ( ( { a , b } e. E /\ e = { a , b } ) -> ( { b , a } C_ e <-> { b , a } C_ { a , b } ) ) |
29 |
|
prcom |
|- { b , a } = { a , b } |
30 |
29
|
eqimssi |
|- { b , a } C_ { a , b } |
31 |
30
|
a1i |
|- ( { a , b } e. E -> { b , a } C_ { a , b } ) |
32 |
26 28 31
|
rspcedvd |
|- ( { a , b } e. E -> E. e e. E { b , a } C_ e ) |
33 |
32
|
adantl |
|- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> E. e e. E { b , a } C_ e ) |
34 |
1 2
|
nbgrel |
|- ( a e. ( G NeighbVtx b ) <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ a =/= b /\ E. e e. E { b , a } C_ e ) ) |
35 |
24 25 33 34
|
syl3anbrc |
|- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> a e. ( G NeighbVtx b ) ) |
36 |
23 35
|
jca |
|- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) |
37 |
36
|
ex |
|- ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( { a , b } e. E -> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) |
38 |
1 2
|
nbuhgr2vtx1edgblem |
|- ( ( G e. UHGraph /\ V = { a , b } /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) -> { a , b } e. E ) |
39 |
38
|
3exp |
|- ( G e. UHGraph -> ( V = { a , b } -> ( a e. ( G NeighbVtx b ) -> { a , b } e. E ) ) ) |
40 |
39
|
adantr |
|- ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( V = { a , b } -> ( a e. ( G NeighbVtx b ) -> { a , b } e. E ) ) ) |
41 |
40
|
adantld |
|- ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( a e. ( G NeighbVtx b ) -> { a , b } e. E ) ) ) |
42 |
41
|
imp |
|- ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( a e. ( G NeighbVtx b ) -> { a , b } e. E ) ) |
43 |
42
|
adantld |
|- ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) -> { a , b } e. E ) ) |
44 |
37 43
|
impbid |
|- ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( { a , b } e. E <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) |
45 |
|
eleq1 |
|- ( V = { a , b } -> ( V e. E <-> { a , b } e. E ) ) |
46 |
45
|
adantl |
|- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( V e. E <-> { a , b } e. E ) ) |
47 |
|
id |
|- ( V = { a , b } -> V = { a , b } ) |
48 |
|
difeq1 |
|- ( V = { a , b } -> ( V \ { v } ) = ( { a , b } \ { v } ) ) |
49 |
48
|
raleqdv |
|- ( V = { a , b } -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) |
50 |
47 49
|
raleqbidv |
|- ( V = { a , b } -> ( A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. v e. { a , b } A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) |
51 |
|
vex |
|- a e. _V |
52 |
|
vex |
|- b e. _V |
53 |
|
sneq |
|- ( v = a -> { v } = { a } ) |
54 |
53
|
difeq2d |
|- ( v = a -> ( { a , b } \ { v } ) = ( { a , b } \ { a } ) ) |
55 |
|
oveq2 |
|- ( v = a -> ( G NeighbVtx v ) = ( G NeighbVtx a ) ) |
56 |
55
|
eleq2d |
|- ( v = a -> ( n e. ( G NeighbVtx v ) <-> n e. ( G NeighbVtx a ) ) ) |
57 |
54 56
|
raleqbidv |
|- ( v = a -> ( A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) ) ) |
58 |
|
sneq |
|- ( v = b -> { v } = { b } ) |
59 |
58
|
difeq2d |
|- ( v = b -> ( { a , b } \ { v } ) = ( { a , b } \ { b } ) ) |
60 |
|
oveq2 |
|- ( v = b -> ( G NeighbVtx v ) = ( G NeighbVtx b ) ) |
61 |
60
|
eleq2d |
|- ( v = b -> ( n e. ( G NeighbVtx v ) <-> n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) |
62 |
59 61
|
raleqbidv |
|- ( v = b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) |
63 |
51 52 57 62
|
ralpr |
|- ( A. v e. { a , b } A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) |
64 |
|
difprsn1 |
|- ( a =/= b -> ( { a , b } \ { a } ) = { b } ) |
65 |
64
|
raleqdv |
|- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) <-> A. n e. { b } n e. ( G NeighbVtx a ) ) ) |
66 |
|
eleq1 |
|- ( n = b -> ( n e. ( G NeighbVtx a ) <-> b e. ( G NeighbVtx a ) ) ) |
67 |
52 66
|
ralsn |
|- ( A. n e. { b } n e. ( G NeighbVtx a ) <-> b e. ( G NeighbVtx a ) ) |
68 |
65 67
|
bitrdi |
|- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) <-> b e. ( G NeighbVtx a ) ) ) |
69 |
|
difprsn2 |
|- ( a =/= b -> ( { a , b } \ { b } ) = { a } ) |
70 |
69
|
raleqdv |
|- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) <-> A. n e. { a } n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) |
71 |
|
eleq1 |
|- ( n = a -> ( n e. ( G NeighbVtx b ) <-> a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) |
72 |
51 71
|
ralsn |
|- ( A. n e. { a } n e. ( G NeighbVtx b ) <-> a e. ( G NeighbVtx b ) ) |
73 |
70 72
|
bitrdi |
|- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) <-> a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) |
74 |
68 73
|
anbi12d |
|- ( a =/= b -> ( ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) |
75 |
63 74
|
syl5bb |
|- ( a =/= b -> ( A. v e. { a , b } A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) |
76 |
50 75
|
sylan9bbr |
|- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) |
77 |
46 76
|
bibi12d |
|- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( ( V e. E <-> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) <-> ( { a , b } e. E <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) ) |
78 |
77
|
adantl |
|- ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( ( V e. E <-> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) <-> ( { a , b } e. E <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) ) |
79 |
44 78
|
mpbird |
|- ( ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( V e. E <-> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) |
80 |
79
|
ex |
|- ( ( G e. UHGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( V e. E <-> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) ) |
81 |
80
|
rexlimdvva |
|- ( G e. UHGraph -> ( E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( V e. E <-> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) ) |
82 |
5 81
|
syl5bi |
|- ( G e. UHGraph -> ( ( # ` V ) = 2 -> ( V e. E <-> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) ) |
83 |
82
|
imp |
|- ( ( G e. UHGraph /\ ( # ` V ) = 2 ) -> ( V e. E <-> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) |