Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
psrbag.d |
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |
2 |
|
psrbagconf1o.s |
|- S = { y e. D | y oR <_ F } |
3 |
|
eqid |
|- ( x e. S |-> ( F oF - x ) ) = ( x e. S |-> ( F oF - x ) ) |
4 |
|
simpll |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> I e. V ) |
5 |
|
simplr |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> F e. D ) |
6 |
|
simpr |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> x e. S ) |
7 |
|
breq1 |
|- ( y = x -> ( y oR <_ F <-> x oR <_ F ) ) |
8 |
7 2
|
elrab2 |
|- ( x e. S <-> ( x e. D /\ x oR <_ F ) ) |
9 |
6 8
|
sylib |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> ( x e. D /\ x oR <_ F ) ) |
10 |
9
|
simpld |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> x e. D ) |
11 |
1
|
psrbagfOLD |
|- ( ( I e. V /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 ) |
12 |
4 10 11
|
syl2anc |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> x : I --> NN0 ) |
13 |
9
|
simprd |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> x oR <_ F ) |
14 |
1
|
psrbagconOLD |
|- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ x : I --> NN0 /\ x oR <_ F ) ) -> ( ( F oF - x ) e. D /\ ( F oF - x ) oR <_ F ) ) |
15 |
4 5 12 13 14
|
syl13anc |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> ( ( F oF - x ) e. D /\ ( F oF - x ) oR <_ F ) ) |
16 |
|
breq1 |
|- ( y = ( F oF - x ) -> ( y oR <_ F <-> ( F oF - x ) oR <_ F ) ) |
17 |
16 2
|
elrab2 |
|- ( ( F oF - x ) e. S <-> ( ( F oF - x ) e. D /\ ( F oF - x ) oR <_ F ) ) |
18 |
15 17
|
sylibr |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. S ) -> ( F oF - x ) e. S ) |
19 |
18
|
ralrimiva |
|- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> A. x e. S ( F oF - x ) e. S ) |
20 |
|
oveq2 |
|- ( x = z -> ( F oF - x ) = ( F oF - z ) ) |
21 |
20
|
eleq1d |
|- ( x = z -> ( ( F oF - x ) e. S <-> ( F oF - z ) e. S ) ) |
22 |
21
|
rspccva |
|- ( ( A. x e. S ( F oF - x ) e. S /\ z e. S ) -> ( F oF - z ) e. S ) |
23 |
19 22
|
sylan |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ z e. S ) -> ( F oF - z ) e. S ) |
24 |
1
|
psrbagfOLD |
|- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F : I --> NN0 ) |
25 |
24
|
adantr |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> F : I --> NN0 ) |
26 |
25
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( F ` n ) e. NN0 ) |
27 |
|
simpll |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> I e. V ) |
28 |
2
|
ssrab3 |
|- S C_ D |
29 |
|
simprr |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z e. S ) |
30 |
28 29
|
sselid |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z e. D ) |
31 |
1
|
psrbagfOLD |
|- ( ( I e. V /\ z e. D ) -> z : I --> NN0 ) |
32 |
27 30 31
|
syl2anc |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z : I --> NN0 ) |
33 |
32
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( z ` n ) e. NN0 ) |
34 |
12
|
adantrr |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> x : I --> NN0 ) |
35 |
34
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( x ` n ) e. NN0 ) |
36 |
|
nn0cn |
|- ( ( F ` n ) e. NN0 -> ( F ` n ) e. CC ) |
37 |
|
nn0cn |
|- ( ( z ` n ) e. NN0 -> ( z ` n ) e. CC ) |
38 |
|
nn0cn |
|- ( ( x ` n ) e. NN0 -> ( x ` n ) e. CC ) |
39 |
|
subsub23 |
|- ( ( ( F ` n ) e. CC /\ ( z ` n ) e. CC /\ ( x ` n ) e. CC ) -> ( ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) = ( x ` n ) <-> ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) = ( z ` n ) ) ) |
40 |
36 37 38 39
|
syl3an |
|- ( ( ( F ` n ) e. NN0 /\ ( z ` n ) e. NN0 /\ ( x ` n ) e. NN0 ) -> ( ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) = ( x ` n ) <-> ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) = ( z ` n ) ) ) |
41 |
26 33 35 40
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) = ( x ` n ) <-> ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) = ( z ` n ) ) ) |
42 |
|
eqcom |
|- ( ( x ` n ) = ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) <-> ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) = ( x ` n ) ) |
43 |
|
eqcom |
|- ( ( z ` n ) = ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) <-> ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) = ( z ` n ) ) |
44 |
41 42 43
|
3bitr4g |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( x ` n ) = ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) <-> ( z ` n ) = ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) ) ) |
45 |
25
|
ffnd |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> F Fn I ) |
46 |
32
|
ffnd |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> z Fn I ) |
47 |
|
inidm |
|- ( I i^i I ) = I |
48 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( F ` n ) = ( F ` n ) ) |
49 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( z ` n ) = ( z ` n ) ) |
50 |
45 46 27 27 47 48 49
|
ofval |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( F oF - z ) ` n ) = ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) ) |
51 |
50
|
eqeq2d |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( x ` n ) = ( ( F oF - z ) ` n ) <-> ( x ` n ) = ( ( F ` n ) - ( z ` n ) ) ) ) |
52 |
34
|
ffnd |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> x Fn I ) |
53 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( x ` n ) = ( x ` n ) ) |
54 |
45 52 27 27 47 48 53
|
ofval |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( F oF - x ) ` n ) = ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) ) |
55 |
54
|
eqeq2d |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( z ` n ) = ( ( F oF - x ) ` n ) <-> ( z ` n ) = ( ( F ` n ) - ( x ` n ) ) ) ) |
56 |
44 51 55
|
3bitr4d |
|- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) /\ n e. I ) -> ( ( x ` n ) = ( ( F oF - z ) ` n ) <-> ( z ` n ) = ( ( F oF - x ) ` n ) ) ) |
57 |
56
|
ralbidva |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( A. n e. I ( x ` n ) = ( ( F oF - z ) ` n ) <-> A. n e. I ( z ` n ) = ( ( F oF - x ) ` n ) ) ) |
58 |
23
|
adantrl |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - z ) e. S ) |
59 |
28 58
|
sselid |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - z ) e. D ) |
60 |
1
|
psrbagfOLD |
|- ( ( I e. V /\ ( F oF - z ) e. D ) -> ( F oF - z ) : I --> NN0 ) |
61 |
27 59 60
|
syl2anc |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - z ) : I --> NN0 ) |
62 |
61
|
ffnd |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - z ) Fn I ) |
63 |
|
eqfnfv |
|- ( ( x Fn I /\ ( F oF - z ) Fn I ) -> ( x = ( F oF - z ) <-> A. n e. I ( x ` n ) = ( ( F oF - z ) ` n ) ) ) |
64 |
52 62 63
|
syl2anc |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( x = ( F oF - z ) <-> A. n e. I ( x ` n ) = ( ( F oF - z ) ` n ) ) ) |
65 |
18
|
adantrr |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - x ) e. S ) |
66 |
28 65
|
sselid |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - x ) e. D ) |
67 |
1
|
psrbagfOLD |
|- ( ( I e. V /\ ( F oF - x ) e. D ) -> ( F oF - x ) : I --> NN0 ) |
68 |
27 66 67
|
syl2anc |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - x ) : I --> NN0 ) |
69 |
68
|
ffnd |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( F oF - x ) Fn I ) |
70 |
|
eqfnfv |
|- ( ( z Fn I /\ ( F oF - x ) Fn I ) -> ( z = ( F oF - x ) <-> A. n e. I ( z ` n ) = ( ( F oF - x ) ` n ) ) ) |
71 |
46 69 70
|
syl2anc |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( z = ( F oF - x ) <-> A. n e. I ( z ` n ) = ( ( F oF - x ) ` n ) ) ) |
72 |
57 64 71
|
3bitr4d |
|- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ ( x e. S /\ z e. S ) ) -> ( x = ( F oF - z ) <-> z = ( F oF - x ) ) ) |
73 |
3 18 23 72
|
f1o2d |
|- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( x e. S |-> ( F oF - x ) ) : S -1-1-onto-> S ) |