Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pwfseq |
|- ( _om ~<_ A -> -. ~P A ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) |
2 |
|
reldom |
|- Rel ~<_ |
3 |
2
|
brrelex2i |
|- ( _om ~<_ A -> A e. _V ) |
4 |
|
df1o2 |
|- 1o = { (/) } |
5 |
4
|
oveq2i |
|- ( A ^m 1o ) = ( A ^m { (/) } ) |
6 |
|
id |
|- ( A e. _V -> A e. _V ) |
7 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
8 |
7
|
a1i |
|- ( A e. _V -> (/) e. _V ) |
9 |
6 8
|
mapsnend |
|- ( A e. _V -> ( A ^m { (/) } ) ~~ A ) |
10 |
5 9
|
eqbrtrid |
|- ( A e. _V -> ( A ^m 1o ) ~~ A ) |
11 |
|
ensym |
|- ( ( A ^m 1o ) ~~ A -> A ~~ ( A ^m 1o ) ) |
12 |
3 10 11
|
3syl |
|- ( _om ~<_ A -> A ~~ ( A ^m 1o ) ) |
13 |
|
map2xp |
|- ( A e. _V -> ( A ^m 2o ) ~~ ( A X. A ) ) |
14 |
|
ensym |
|- ( ( A ^m 2o ) ~~ ( A X. A ) -> ( A X. A ) ~~ ( A ^m 2o ) ) |
15 |
3 13 14
|
3syl |
|- ( _om ~<_ A -> ( A X. A ) ~~ ( A ^m 2o ) ) |
16 |
|
elmapi |
|- ( x e. ( A ^m 1o ) -> x : 1o --> A ) |
17 |
16
|
fdmd |
|- ( x e. ( A ^m 1o ) -> dom x = 1o ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( x e. ( A ^m 1o ) /\ x e. ( A ^m 2o ) ) -> dom x = 1o ) |
19 |
|
1oex |
|- 1o e. _V |
20 |
19
|
sucid |
|- 1o e. suc 1o |
21 |
|
df-2o |
|- 2o = suc 1o |
22 |
20 21
|
eleqtrri |
|- 1o e. 2o |
23 |
|
1on |
|- 1o e. On |
24 |
23
|
onirri |
|- -. 1o e. 1o |
25 |
|
nelneq2 |
|- ( ( 1o e. 2o /\ -. 1o e. 1o ) -> -. 2o = 1o ) |
26 |
22 24 25
|
mp2an |
|- -. 2o = 1o |
27 |
|
elmapi |
|- ( x e. ( A ^m 2o ) -> x : 2o --> A ) |
28 |
27
|
fdmd |
|- ( x e. ( A ^m 2o ) -> dom x = 2o ) |
29 |
28
|
adantl |
|- ( ( x e. ( A ^m 1o ) /\ x e. ( A ^m 2o ) ) -> dom x = 2o ) |
30 |
29
|
eqeq1d |
|- ( ( x e. ( A ^m 1o ) /\ x e. ( A ^m 2o ) ) -> ( dom x = 1o <-> 2o = 1o ) ) |
31 |
26 30
|
mtbiri |
|- ( ( x e. ( A ^m 1o ) /\ x e. ( A ^m 2o ) ) -> -. dom x = 1o ) |
32 |
18 31
|
pm2.65i |
|- -. ( x e. ( A ^m 1o ) /\ x e. ( A ^m 2o ) ) |
33 |
|
elin |
|- ( x e. ( ( A ^m 1o ) i^i ( A ^m 2o ) ) <-> ( x e. ( A ^m 1o ) /\ x e. ( A ^m 2o ) ) ) |
34 |
32 33
|
mtbir |
|- -. x e. ( ( A ^m 1o ) i^i ( A ^m 2o ) ) |
35 |
34
|
a1i |
|- ( _om ~<_ A -> -. x e. ( ( A ^m 1o ) i^i ( A ^m 2o ) ) ) |
36 |
35
|
eq0rdv |
|- ( _om ~<_ A -> ( ( A ^m 1o ) i^i ( A ^m 2o ) ) = (/) ) |
37 |
|
djuenun |
|- ( ( A ~~ ( A ^m 1o ) /\ ( A X. A ) ~~ ( A ^m 2o ) /\ ( ( A ^m 1o ) i^i ( A ^m 2o ) ) = (/) ) -> ( A |_| ( A X. A ) ) ~~ ( ( A ^m 1o ) u. ( A ^m 2o ) ) ) |
38 |
12 15 36 37
|
syl3anc |
|- ( _om ~<_ A -> ( A |_| ( A X. A ) ) ~~ ( ( A ^m 1o ) u. ( A ^m 2o ) ) ) |
39 |
|
omex |
|- _om e. _V |
40 |
|
ovex |
|- ( A ^m n ) e. _V |
41 |
39 40
|
iunex |
|- U_ n e. _om ( A ^m n ) e. _V |
42 |
|
1onn |
|- 1o e. _om |
43 |
|
oveq2 |
|- ( n = 1o -> ( A ^m n ) = ( A ^m 1o ) ) |
44 |
43
|
ssiun2s |
|- ( 1o e. _om -> ( A ^m 1o ) C_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) |
45 |
42 44
|
ax-mp |
|- ( A ^m 1o ) C_ U_ n e. _om ( A ^m n ) |
46 |
|
2onn |
|- 2o e. _om |
47 |
|
oveq2 |
|- ( n = 2o -> ( A ^m n ) = ( A ^m 2o ) ) |
48 |
47
|
ssiun2s |
|- ( 2o e. _om -> ( A ^m 2o ) C_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) |
49 |
46 48
|
ax-mp |
|- ( A ^m 2o ) C_ U_ n e. _om ( A ^m n ) |
50 |
45 49
|
unssi |
|- ( ( A ^m 1o ) u. ( A ^m 2o ) ) C_ U_ n e. _om ( A ^m n ) |
51 |
|
ssdomg |
|- ( U_ n e. _om ( A ^m n ) e. _V -> ( ( ( A ^m 1o ) u. ( A ^m 2o ) ) C_ U_ n e. _om ( A ^m n ) -> ( ( A ^m 1o ) u. ( A ^m 2o ) ) ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) ) |
52 |
41 50 51
|
mp2 |
|- ( ( A ^m 1o ) u. ( A ^m 2o ) ) ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) |
53 |
|
endomtr |
|- ( ( ( A |_| ( A X. A ) ) ~~ ( ( A ^m 1o ) u. ( A ^m 2o ) ) /\ ( ( A ^m 1o ) u. ( A ^m 2o ) ) ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) -> ( A |_| ( A X. A ) ) ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) |
54 |
38 52 53
|
sylancl |
|- ( _om ~<_ A -> ( A |_| ( A X. A ) ) ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) |
55 |
|
domtr |
|- ( ( ~P A ~<_ ( A |_| ( A X. A ) ) /\ ( A |_| ( A X. A ) ) ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) -> ~P A ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) |
56 |
55
|
expcom |
|- ( ( A |_| ( A X. A ) ) ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) -> ( ~P A ~<_ ( A |_| ( A X. A ) ) -> ~P A ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) ) |
57 |
54 56
|
syl |
|- ( _om ~<_ A -> ( ~P A ~<_ ( A |_| ( A X. A ) ) -> ~P A ~<_ U_ n e. _om ( A ^m n ) ) ) |
58 |
1 57
|
mtod |
|- ( _om ~<_ A -> -. ~P A ~<_ ( A |_| ( A X. A ) ) ) |