Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
reconnlem1 |
|- ( ( ( A C_ RR /\ ( ( topGen ` ran (,) ) |`t A ) e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x [,] y ) C_ A ) |
2 |
1
|
ralrimivva |
|- ( ( A C_ RR /\ ( ( topGen ` ran (,) ) |`t A ) e. Conn ) -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) |
3 |
2
|
ex |
|- ( A C_ RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) |`t A ) e. Conn -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) ) |
4 |
|
n0 |
|- ( ( u i^i A ) =/= (/) <-> E. b b e. ( u i^i A ) ) |
5 |
|
n0 |
|- ( ( v i^i A ) =/= (/) <-> E. c c e. ( v i^i A ) ) |
6 |
4 5
|
anbi12i |
|- ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) ) <-> ( E. b b e. ( u i^i A ) /\ E. c c e. ( v i^i A ) ) ) |
7 |
|
exdistrv |
|- ( E. b E. c ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) <-> ( E. b b e. ( u i^i A ) /\ E. c c e. ( v i^i A ) ) ) |
8 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> A C_ RR ) |
9 |
|
simprll |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> b e. ( u i^i A ) ) |
10 |
9
|
elin2d |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> b e. A ) |
11 |
8 10
|
sseldd |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> b e. RR ) |
12 |
|
simprlr |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> c e. ( v i^i A ) ) |
13 |
12
|
elin2d |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> c e. A ) |
14 |
8 13
|
sseldd |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> c e. RR ) |
15 |
8
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> A C_ RR ) |
16 |
|
simplrl |
|- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> u e. ( topGen ` ran (,) ) ) |
17 |
16
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> u e. ( topGen ` ran (,) ) ) |
18 |
|
simplrr |
|- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> v e. ( topGen ` ran (,) ) ) |
19 |
18
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> v e. ( topGen ` ran (,) ) ) |
20 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) |
21 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> b e. ( u i^i A ) ) |
22 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> c e. ( v i^i A ) ) |
23 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) |
24 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> b <_ c ) |
25 |
|
eqid |
|- sup ( ( u i^i ( b [,] c ) ) , RR , < ) = sup ( ( u i^i ( b [,] c ) ) , RR , < ) |
26 |
15 17 19 20 21 22 23 24 25
|
reconnlem2 |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) |
27 |
8
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> A C_ RR ) |
28 |
18
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> v e. ( topGen ` ran (,) ) ) |
29 |
16
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> u e. ( topGen ` ran (,) ) ) |
30 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) |
31 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> c e. ( v i^i A ) ) |
32 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> b e. ( u i^i A ) ) |
33 |
|
incom |
|- ( v i^i u ) = ( u i^i v ) |
34 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) |
35 |
33 34
|
eqsstrid |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> ( v i^i u ) C_ ( RR \ A ) ) |
36 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> c <_ b ) |
37 |
|
eqid |
|- sup ( ( v i^i ( c [,] b ) ) , RR , < ) = sup ( ( v i^i ( c [,] b ) ) , RR , < ) |
38 |
27 28 29 30 31 32 35 36 37
|
reconnlem2 |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> -. A C_ ( v u. u ) ) |
39 |
|
uncom |
|- ( v u. u ) = ( u u. v ) |
40 |
39
|
sseq2i |
|- ( A C_ ( v u. u ) <-> A C_ ( u u. v ) ) |
41 |
38 40
|
sylnib |
|- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) |
42 |
11 14 26 41
|
lecasei |
|- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) |
43 |
42
|
exp32 |
|- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) -> ( ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) ) |
44 |
43
|
exlimdvv |
|- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( E. b E. c ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) -> ( ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) ) |
45 |
7 44
|
syl5bir |
|- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( ( E. b b e. ( u i^i A ) /\ E. c c e. ( v i^i A ) ) -> ( ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) ) |
46 |
6 45
|
syl5bi |
|- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) ) -> ( ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) ) |
47 |
46
|
expd |
|- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( ( u i^i A ) =/= (/) -> ( ( v i^i A ) =/= (/) -> ( ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) ) ) |
48 |
47
|
3impd |
|- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) |
49 |
48
|
ex |
|- ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A -> ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) ) |
50 |
49
|
ralrimdvva |
|- ( A C_ RR -> ( A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A -> A. u e. ( topGen ` ran (,) ) A. v e. ( topGen ` ran (,) ) ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) ) |
51 |
|
retopon |
|- ( topGen ` ran (,) ) e. ( TopOn ` RR ) |
52 |
|
connsub |
|- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. ( TopOn ` RR ) /\ A C_ RR ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) |`t A ) e. Conn <-> A. u e. ( topGen ` ran (,) ) A. v e. ( topGen ` ran (,) ) ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) ) |
53 |
51 52
|
mpan |
|- ( A C_ RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) |`t A ) e. Conn <-> A. u e. ( topGen ` ran (,) ) A. v e. ( topGen ` ran (,) ) ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) ) |
54 |
50 53
|
sylibrd |
|- ( A C_ RR -> ( A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A -> ( ( topGen ` ran (,) ) |`t A ) e. Conn ) ) |
55 |
3 54
|
impbid |
|- ( A C_ RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) |`t A ) e. Conn <-> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) ) |