Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rngccatALTV.c |
|- C = ( RngCatALTV ` U ) |
2 |
|
rngccatidALTV.b |
|- B = ( Base ` C ) |
3 |
2
|
a1i |
|- ( U e. V -> B = ( Base ` C ) ) |
4 |
|
eqidd |
|- ( U e. V -> ( Hom ` C ) = ( Hom ` C ) ) |
5 |
|
eqidd |
|- ( U e. V -> ( comp ` C ) = ( comp ` C ) ) |
6 |
1
|
fvexi |
|- C e. _V |
7 |
6
|
a1i |
|- ( U e. V -> C e. _V ) |
8 |
|
biid |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) <-> ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> U e. V ) |
10 |
1 2 9
|
rngcbasALTV |
|- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> B = ( U i^i Rng ) ) |
11 |
|
eleq2 |
|- ( B = ( U i^i Rng ) -> ( x e. B <-> x e. ( U i^i Rng ) ) ) |
12 |
|
elin |
|- ( x e. ( U i^i Rng ) <-> ( x e. U /\ x e. Rng ) ) |
13 |
12
|
simprbi |
|- ( x e. ( U i^i Rng ) -> x e. Rng ) |
14 |
11 13
|
syl6bi |
|- ( B = ( U i^i Rng ) -> ( x e. B -> x e. Rng ) ) |
15 |
14
|
com12 |
|- ( x e. B -> ( B = ( U i^i Rng ) -> x e. Rng ) ) |
16 |
15
|
adantl |
|- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> ( B = ( U i^i Rng ) -> x e. Rng ) ) |
17 |
10 16
|
mpd |
|- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> x e. Rng ) |
18 |
|
eqid |
|- ( Base ` x ) = ( Base ` x ) |
19 |
18
|
idrnghm |
|- ( x e. Rng -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) |
20 |
17 19
|
syl |
|- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) |
21 |
|
eqid |
|- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C ) |
22 |
|
simpr |
|- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> x e. B ) |
23 |
1 2 9 21 22 22
|
rngchomALTV |
|- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> ( x ( Hom ` C ) x ) = ( x RngHomo x ) ) |
24 |
20 23
|
eleqtrrd |
|- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) |
25 |
|
simpl |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> U e. V ) |
26 |
|
eqid |
|- ( comp ` C ) = ( comp ` C ) |
27 |
|
simpl |
|- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> w e. B ) |
28 |
27
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> w e. B ) |
29 |
28
|
adantl |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> w e. B ) |
30 |
|
simpr |
|- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> x e. B ) |
31 |
30
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. B ) |
32 |
31
|
adantl |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> x e. B ) |
33 |
|
simp1 |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> U e. V ) |
34 |
27
|
3ad2ant3 |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> w e. B ) |
35 |
30
|
3ad2ant3 |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> x e. B ) |
36 |
1 2 33 21 34 35
|
rngchomALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( w ( Hom ` C ) x ) = ( w RngHomo x ) ) |
37 |
36
|
eleq2d |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) <-> f e. ( w RngHomo x ) ) ) |
38 |
37
|
biimpd |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> f e. ( w RngHomo x ) ) ) |
39 |
38
|
3exp |
|- ( U e. V -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> f e. ( w RngHomo x ) ) ) ) ) |
40 |
39
|
com14 |
|- ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> f e. ( w RngHomo x ) ) ) ) ) |
41 |
40
|
3ad2ant1 |
|- ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> f e. ( w RngHomo x ) ) ) ) ) |
42 |
41
|
com13 |
|- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> f e. ( w RngHomo x ) ) ) ) ) |
43 |
42
|
3imp |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> f e. ( w RngHomo x ) ) ) |
44 |
43
|
impcom |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> f e. ( w RngHomo x ) ) |
45 |
20
|
expcom |
|- ( x e. B -> ( U e. V -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) ) |
46 |
45
|
adantl |
|- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) ) |
47 |
46
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) ) |
48 |
47
|
impcom |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) |
49 |
1 2 25 26 29 32 32 44 48
|
rngccoALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) ( <. w , x >. ( comp ` C ) x ) f ) = ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) ) |
50 |
|
simpl |
|- ( ( U e. V /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> U e. V ) |
51 |
|
simprl |
|- ( ( U e. V /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> w e. B ) |
52 |
|
simprr |
|- ( ( U e. V /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> x e. B ) |
53 |
1 2 50 21 51 52
|
elrngchomALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) ) ) |
54 |
53
|
ex |
|- ( U e. V -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) ) ) ) |
55 |
54
|
com13 |
|- ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) ) ) ) |
56 |
|
fcoi2 |
|- ( f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) |
57 |
55 56
|
syl8 |
|- ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) ) ) |
58 |
57
|
3ad2ant1 |
|- ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) ) ) |
59 |
58
|
com12 |
|- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) ) ) |
60 |
59
|
a1d |
|- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) ) ) ) |
61 |
60
|
3imp |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) ) |
62 |
61
|
impcom |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) |
63 |
49 62
|
eqtrd |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) ( <. w , x >. ( comp ` C ) x ) f ) = f ) |
64 |
|
simp3 |
|- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> U e. V ) |
65 |
30
|
adantr |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> x e. B ) |
66 |
65
|
3ad2ant2 |
|- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> x e. B ) |
67 |
|
simprl |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B ) |
68 |
67
|
3ad2ant2 |
|- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> y e. B ) |
69 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) ) |
70 |
69
|
a1i |
|- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) ) ) |
71 |
70
|
3imp |
|- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) |
72 |
|
simpl |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> U e. V ) |
73 |
65
|
adantl |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> x e. B ) |
74 |
67
|
adantl |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> y e. B ) |
75 |
1 2 72 21 73 74
|
rngchomALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( x ( Hom ` C ) y ) = ( x RngHomo y ) ) |
76 |
75
|
eleq2d |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) <-> g e. ( x RngHomo y ) ) ) |
77 |
76
|
biimpd |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) |
78 |
77
|
ex |
|- ( U e. V -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) ) |
79 |
78
|
com13 |
|- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) ) |
80 |
79
|
3imp |
|- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> g e. ( x RngHomo y ) ) |
81 |
1 2 64 26 66 66 68 71 80
|
rngccoALTV |
|- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> ( g ( <. x , x >. ( comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = ( g o. ( _I |` ( Base ` x ) ) ) ) |
82 |
1 2 72 21 73 74
|
elrngchomALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) |
83 |
82
|
ex |
|- ( U e. V -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) ) |
84 |
83
|
com13 |
|- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) ) |
85 |
84
|
3imp |
|- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) |
86 |
|
fcoi1 |
|- ( g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) -> ( g o. ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) |
87 |
85 86
|
syl |
|- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> ( g o. ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) |
88 |
81 87
|
eqtrd |
|- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> ( g ( <. x , x >. ( comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) |
89 |
88
|
3exp |
|- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> ( g ( <. x , x >. ( comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) ) ) |
90 |
89
|
3ad2ant2 |
|- ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> ( g ( <. x , x >. ( comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) ) ) |
91 |
90
|
expdcom |
|- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> ( g ( <. x , x >. ( comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) ) ) ) |
92 |
91
|
3imp |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> ( g ( <. x , x >. ( comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) ) |
93 |
92
|
impcom |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g ( <. x , x >. ( comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) |
94 |
|
simp2l |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> y e. B ) |
95 |
1 2 33 21 35 94
|
rngchomALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( x ( Hom ` C ) y ) = ( x RngHomo y ) ) |
96 |
95
|
eleq2d |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) <-> g e. ( x RngHomo y ) ) ) |
97 |
96
|
biimpd |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) |
98 |
97
|
3exp |
|- ( U e. V -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) ) ) |
99 |
98
|
com14 |
|- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) ) ) |
100 |
99
|
3ad2ant2 |
|- ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) ) ) |
101 |
100
|
com13 |
|- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) ) ) |
102 |
101
|
3imp |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) |
103 |
102
|
impcom |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> g e. ( x RngHomo y ) ) |
104 |
|
rnghmco |
|- ( ( g e. ( x RngHomo y ) /\ f e. ( w RngHomo x ) ) -> ( g o. f ) e. ( w RngHomo y ) ) |
105 |
103 44 104
|
syl2anc |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g o. f ) e. ( w RngHomo y ) ) |
106 |
|
simp2l |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> y e. B ) |
107 |
106
|
adantl |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> y e. B ) |
108 |
1 2 25 26 29 32 107 44 103
|
rngccoALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g ( <. w , x >. ( comp ` C ) y ) f ) = ( g o. f ) ) |
109 |
1 2 25 21 29 107
|
rngchomALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( w ( Hom ` C ) y ) = ( w RngHomo y ) ) |
110 |
105 108 109
|
3eltr4d |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g ( <. w , x >. ( comp ` C ) y ) f ) e. ( w ( Hom ` C ) y ) ) |
111 |
|
coass |
|- ( ( h o. g ) o. f ) = ( h o. ( g o. f ) ) |
112 |
|
simp2r |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. B ) |
113 |
112
|
adantl |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> z e. B ) |
114 |
|
simp2r |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> z e. B ) |
115 |
1 2 33 21 94 114
|
rngchomALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( y ( Hom ` C ) z ) = ( y RngHomo z ) ) |
116 |
115
|
eleq2d |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( h e. ( y ( Hom ` C ) z ) <-> h e. ( y RngHomo z ) ) ) |
117 |
116
|
biimpd |
|- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( h e. ( y ( Hom ` C ) z ) -> h e. ( y RngHomo z ) ) ) |
118 |
117
|
3exp |
|- ( U e. V -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( h e. ( y ( Hom ` C ) z ) -> h e. ( y RngHomo z ) ) ) ) ) |
119 |
118
|
com14 |
|- ( h e. ( y ( Hom ` C ) z ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> h e. ( y RngHomo z ) ) ) ) ) |
120 |
119
|
3ad2ant3 |
|- ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> h e. ( y RngHomo z ) ) ) ) ) |
121 |
120
|
com13 |
|- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> h e. ( y RngHomo z ) ) ) ) ) |
122 |
121
|
3imp |
|- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> h e. ( y RngHomo z ) ) ) |
123 |
122
|
impcom |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> h e. ( y RngHomo z ) ) |
124 |
|
rnghmco |
|- ( ( h e. ( y RngHomo z ) /\ g e. ( x RngHomo y ) ) -> ( h o. g ) e. ( x RngHomo z ) ) |
125 |
123 103 124
|
syl2anc |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h o. g ) e. ( x RngHomo z ) ) |
126 |
1 2 25 26 29 32 113 44 125
|
rngccoALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h o. g ) ( <. w , x >. ( comp ` C ) z ) f ) = ( ( h o. g ) o. f ) ) |
127 |
1 2 25 26 29 107 113 105 123
|
rngccoALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h ( <. w , y >. ( comp ` C ) z ) ( g o. f ) ) = ( h o. ( g o. f ) ) ) |
128 |
111 126 127
|
3eqtr4a |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h o. g ) ( <. w , x >. ( comp ` C ) z ) f ) = ( h ( <. w , y >. ( comp ` C ) z ) ( g o. f ) ) ) |
129 |
1 2 25 26 32 107 113 103 123
|
rngccoALTV |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) g ) = ( h o. g ) ) |
130 |
129
|
oveq1d |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) g ) ( <. w , x >. ( comp ` C ) z ) f ) = ( ( h o. g ) ( <. w , x >. ( comp ` C ) z ) f ) ) |
131 |
108
|
oveq2d |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h ( <. w , y >. ( comp ` C ) z ) ( g ( <. w , x >. ( comp ` C ) y ) f ) ) = ( h ( <. w , y >. ( comp ` C ) z ) ( g o. f ) ) ) |
132 |
128 130 131
|
3eqtr4d |
|- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h ( <. x , y >. ( comp ` C ) z ) g ) ( <. w , x >. ( comp ` C ) z ) f ) = ( h ( <. w , y >. ( comp ` C ) z ) ( g ( <. w , x >. ( comp ` C ) y ) f ) ) ) |
133 |
3 4 5 7 8 24 63 93 110 132
|
iscatd2 |
|- ( U e. V -> ( C e. Cat /\ ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( _I |` ( Base ` x ) ) ) ) ) |