Metamath Proof Explorer

Theorem segletr

Description: Segment less than is transitive. Theorem 5.8 of Schwabhauser p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013)

Ref Expression
Assertion segletr 
|- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. /\ <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. ) -> <. A , B >. Seg<_ <. E , F >. ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simprll 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> y Btwn <. C , D >. )
2 simprrr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> <. C , D >. Cgr <. E , z >. )
3 1 2 jca 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) )
4 simpl1 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
5 simpl23 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
6 simprl 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
7 simpl31 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
8 simpl32 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
9 simprr 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> z e. ( EE ` N ) )
10 cgrxfr 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) ) )
11 4 5 6 7 8 9 10 syl132anc 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) ) )
12 11 adantr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) ) )
13 3 12 mpd 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) )
14 anass 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) )
15 df-3an 
 |-  ( ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) <-> ( ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) )
16 15 anbi2i 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) )
17 14 16 bitr4i 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) )
18 simpl1 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
19 simpl23 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
20 simpr1 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
21 simpl31 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
22 simpl32 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
23 simpr3 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> w e. ( EE ` N ) )
24 simpr2 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> z e. ( EE ` N ) )
25 brcgr3 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. <-> ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) )
26 18 19 20 21 22 23 24 25 syl133anc 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. <-> ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) )
27 26 anbi2d 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) <-> ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) )
28 27 adantr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) <-> ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) )
29 df-3an 
 |-  ( ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) <-> ( ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) )
30 simpl33 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
31 simpr3l 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> w Btwn <. E , z >. )
32 simpr2l 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> z Btwn <. E , F >. )
33 18 22 23 24 30 31 32 btwnexchand 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> w Btwn <. E , F >. )
34 simpl21 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
35 simpl22 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
36 simpr1r 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> <. A , B >. Cgr <. C , y >. )
37 simp3r1 
 |-  ( ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) -> <. C , y >. Cgr <. E , w >. )
38 37 adantl 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> <. C , y >. Cgr <. E , w >. )
39 18 34 35 19 20 22 23 36 38 cgrtrand 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> <. A , B >. Cgr <. E , w >. )
40 33 39 jca 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) )
41 29 40 sylan2br 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) )
42 41 expr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >. Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >. Cgr <. w , z >. ) ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) ) )
43 28 42 sylbid 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) ) )
44 17 43 sylanb 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) ) )
45 44 an32s 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) ) )
46 45 reximdva 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >. Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) ) )
47 13 46 mpd 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) )
48 47 exp31 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> ( ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) ) ) )
49 48 rexlimdvv 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. y e. ( EE ` N ) E. z e. ( EE ` N ) ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) ) )
50 simp1 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
51 simp21 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
52 simp22 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
53 simp23 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
54 simp31 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
55 brsegle 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) ) )
56 50 51 52 53 54 55 syl122anc 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) ) )
57 simp32 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
58 simp33 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
59 brsegle 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) )
60 50 53 54 57 58 59 syl122anc 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) )
61 56 60 anbi12d 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. /\ <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. ) <-> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) )
62 reeanv 
 |-  ( E. y e. ( EE ` N ) E. z e. ( EE ` N ) ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) <-> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) )
63 61 62 bitr4di 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. /\ <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. ) <-> E. y e. ( EE ` N ) E. z e. ( EE ` N ) ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >. Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >. Cgr <. E , z >. ) ) ) )
64 brsegle 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. E , F >. <-> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) ) )
65 50 51 52 57 58 64 syl122anc 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. E , F >. <-> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >. Cgr <. E , w >. ) ) )
66 49 63 65 3imtr4d 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. /\ <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. ) -> <. A , B >. Seg<_ <. E , F >. ) )