Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
smfinfmpt.n |
|- F/ n ph |
2 |
|
smfinfmpt.x |
|- F/ x ph |
3 |
|
smfinfmpt.y |
|- F/ y ph |
4 |
|
smfinfmpt.m |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
5 |
|
smfinfmpt.z |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
6 |
|
smfinfmpt.s |
|- ( ph -> S e. SAlg ) |
7 |
|
smfinfmpt.b |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> B e. V ) |
8 |
|
smfinfmpt.f |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. ( SMblFn ` S ) ) |
9 |
|
smfinfmpt.d |
|- D = { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } |
10 |
|
smfinfmpt.g |
|- G = ( x e. D |-> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) |
11 |
10
|
a1i |
|- ( ph -> G = ( x e. D |-> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) ) |
12 |
9
|
a1i |
|- ( ph -> D = { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } ) |
13 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) = ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ) |
14 |
13 8
|
fvmpt2d |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = ( x e. A |-> B ) ) |
15 |
14
|
dmeqd |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = dom ( x e. A |-> B ) ) |
16 |
|
nfcv |
|- F/_ x n |
17 |
|
nfcv |
|- F/_ x Z |
18 |
16 17
|
nfel |
|- F/ x n e. Z |
19 |
2 18
|
nfan |
|- F/ x ( ph /\ n e. Z ) |
20 |
|
eqid |
|- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) |
21 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S e. SAlg ) |
22 |
7
|
3expa |
|- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. A ) -> B e. V ) |
23 |
19 21 22 8
|
smffmpt |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR ) |
24 |
23
|
fvmptelrn |
|- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. A ) -> B e. RR ) |
25 |
19 20 24
|
dmmptdf |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( x e. A |-> B ) = A ) |
26 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> A = A ) |
27 |
15 25 26
|
3eqtrrd |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> A = dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
28 |
1 27
|
iineq2d |
|- ( ph -> |^|_ n e. Z A = |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
29 |
|
nfcv |
|- F/_ x |^|_ n e. Z A |
30 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ x ( x e. A |-> B ) |
31 |
17 30
|
nfmpt |
|- F/_ x ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) |
32 |
31 16
|
nffv |
|- F/_ x ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
33 |
32
|
nfdm |
|- F/_ x dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
34 |
17 33
|
nfiin |
|- F/_ x |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
35 |
29 34
|
rabeqf |
|- ( |^|_ n e. Z A = |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) -> { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } ) |
36 |
28 35
|
syl |
|- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } ) |
37 |
|
nfv |
|- F/ y x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
38 |
3 37
|
nfan |
|- F/ y ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
39 |
|
nfcv |
|- F/_ n x |
40 |
|
nfii1 |
|- F/_ n |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
41 |
39 40
|
nfel |
|- F/ n x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
42 |
1 41
|
nfan |
|- F/ n ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
43 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> ph ) |
44 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> n e. Z ) |
45 |
|
eliinid |
|- ( ( x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
46 |
45
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
47 |
27
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = A ) |
48 |
47
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = A ) |
49 |
46 48
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> x e. A ) |
50 |
14
|
fveq1d |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) |
51 |
50
|
3adant3 |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) |
52 |
|
simp3 |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> x e. A ) |
53 |
20
|
fvmpt2 |
|- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B ) |
54 |
52 7 53
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B ) |
55 |
51 54
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> B = ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) |
56 |
55
|
breq2d |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> ( y <_ B <-> y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) ) |
57 |
43 44 49 56
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> ( y <_ B <-> y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) ) |
58 |
42 57
|
ralbida |
|- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) -> ( A. n e. Z y <_ B <-> A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) ) |
59 |
38 58
|
rexbid |
|- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) -> ( E. y e. RR A. n e. Z y <_ B <-> E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) ) |
60 |
2 59
|
rabbida |
|- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } ) |
61 |
36 60
|
eqtrd |
|- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } ) |
62 |
12 61
|
eqtrd |
|- ( ph -> D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } ) |
63 |
2 62
|
alrimi |
|- ( ph -> A. x D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } ) |
64 |
|
nfcv |
|- F/_ n RR |
65 |
|
nfra1 |
|- F/ n A. n e. Z y <_ B |
66 |
64 65
|
nfrex |
|- F/ n E. y e. RR A. n e. Z y <_ B |
67 |
|
nfii1 |
|- F/_ n |^|_ n e. Z A |
68 |
66 67
|
nfrabw |
|- F/_ n { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } |
69 |
9 68
|
nfcxfr |
|- F/_ n D |
70 |
39 69
|
nfel |
|- F/ n x e. D |
71 |
1 70
|
nfan |
|- F/ n ( ph /\ x e. D ) |
72 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> ph ) |
73 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> n e. Z ) |
74 |
9
|
eleq2i |
|- ( x e. D <-> x e. { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } ) |
75 |
74
|
biimpi |
|- ( x e. D -> x e. { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } ) |
76 |
|
rabidim1 |
|- ( x e. { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z y <_ B } -> x e. |^|_ n e. Z A ) |
77 |
75 76
|
syl |
|- ( x e. D -> x e. |^|_ n e. Z A ) |
78 |
77
|
adantr |
|- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. |^|_ n e. Z A ) |
79 |
|
simpr |
|- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> n e. Z ) |
80 |
|
eliinid |
|- ( ( x e. |^|_ n e. Z A /\ n e. Z ) -> x e. A ) |
81 |
78 79 80
|
syl2anc |
|- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. A ) |
82 |
81
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> x e. A ) |
83 |
55
|
idi |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> B = ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) |
84 |
72 73 82 83
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> B = ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) |
85 |
71 84
|
mpteq2da |
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( n e. Z |-> B ) = ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) ) |
86 |
85
|
rneqd |
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ran ( n e. Z |-> B ) = ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) ) |
87 |
86
|
infeq1d |
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) |
88 |
87
|
ex |
|- ( ph -> ( x e. D -> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) |
89 |
2 88
|
ralrimi |
|- ( ph -> A. x e. D inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) |
90 |
|
mpteq12f |
|- ( ( A. x D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } /\ A. x e. D inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) -> ( x e. D |-> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } |-> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) |
91 |
63 89 90
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( x e. D |-> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } |-> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) |
92 |
11 91
|
eqtrd |
|- ( ph -> G = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } |-> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) |
93 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ n ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) |
94 |
|
eqid |
|- ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) = ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) |
95 |
1 8 94
|
fmptdf |
|- ( ph -> ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) : Z --> ( SMblFn ` S ) ) |
96 |
|
eqid |
|- { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } |
97 |
|
eqid |
|- ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } |-> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } |-> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) |
98 |
93 31 4 5 6 95 96 97
|
smfinf |
|- ( ph -> ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) } |-> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) e. ( SMblFn ` S ) ) |
99 |
92 98
|
eqeltrd |
|- ( ph -> G e. ( SMblFn ` S ) ) |