Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
smfsupmpt.n |
|- F/ n ph |
2 |
|
smfsupmpt.x |
|- F/ x ph |
3 |
|
smfsupmpt.y |
|- F/ y ph |
4 |
|
smfsupmpt.m |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
5 |
|
smfsupmpt.z |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
6 |
|
smfsupmpt.s |
|- ( ph -> S e. SAlg ) |
7 |
|
smfsupmpt.b |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> B e. V ) |
8 |
|
smfsupmpt.f |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. ( SMblFn ` S ) ) |
9 |
|
smfsupmpt.d |
|- D = { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } |
10 |
|
smfsupmpt.g |
|- G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) |
11 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) = ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ) |
12 |
11 8
|
fvmpt2d |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = ( x e. A |-> B ) ) |
13 |
12
|
dmeqd |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = dom ( x e. A |-> B ) ) |
14 |
|
nfcv |
|- F/_ x Z |
15 |
14
|
nfcri |
|- F/ x n e. Z |
16 |
2 15
|
nfan |
|- F/ x ( ph /\ n e. Z ) |
17 |
|
eqid |
|- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) |
18 |
7
|
3expa |
|- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. A ) -> B e. V ) |
19 |
16 17 18
|
dmmptdf |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( x e. A |-> B ) = A ) |
20 |
13 19
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> A = dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
21 |
1 20
|
iineq2d |
|- ( ph -> |^|_ n e. Z A = |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
22 |
|
nfcv |
|- F/_ x |^|_ n e. Z A |
23 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ x ( x e. A |-> B ) |
24 |
14 23
|
nfmpt |
|- F/_ x ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) |
25 |
|
nfcv |
|- F/_ x n |
26 |
24 25
|
nffv |
|- F/_ x ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
27 |
26
|
nfdm |
|- F/_ x dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
28 |
14 27
|
nfiin |
|- F/_ x |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
29 |
22 28
|
rabeqf |
|- ( |^|_ n e. Z A = |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) -> { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } ) |
30 |
21 29
|
syl |
|- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } ) |
31 |
|
nfv |
|- F/ y x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
32 |
3 31
|
nfan |
|- F/ y ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
33 |
|
nfii1 |
|- F/_ n |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
34 |
33
|
nfcri |
|- F/ n x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) |
35 |
1 34
|
nfan |
|- F/ n ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
36 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> ph ) |
37 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> n e. Z ) |
38 |
|
eliinid |
|- ( ( x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
39 |
38
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) |
40 |
13 19
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = A ) |
41 |
40
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = A ) |
42 |
39 41
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> x e. A ) |
43 |
12
|
fveq1d |
|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) |
44 |
43
|
3adant3 |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) |
45 |
|
simp3 |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> x e. A ) |
46 |
|
fvmpt4 |
|- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B ) |
47 |
45 7 46
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B ) |
48 |
44 47
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> B = ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) |
49 |
48
|
breq1d |
|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> ( B <_ y <-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y ) ) |
50 |
36 37 42 49
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> ( B <_ y <-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y ) ) |
51 |
35 50
|
ralbida |
|- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) -> ( A. n e. Z B <_ y <-> A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y ) ) |
52 |
32 51
|
rexbid |
|- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) -> ( E. y e. RR A. n e. Z B <_ y <-> E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y ) ) |
53 |
2 52
|
rabbida |
|- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } ) |
54 |
30 53
|
eqtrd |
|- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } ) |
55 |
9 54
|
syl5eq |
|- ( ph -> D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } ) |
56 |
|
nfcv |
|- F/_ n RR |
57 |
|
nfra1 |
|- F/ n A. n e. Z B <_ y |
58 |
56 57
|
nfrex |
|- F/ n E. y e. RR A. n e. Z B <_ y |
59 |
|
nfii1 |
|- F/_ n |^|_ n e. Z A |
60 |
58 59
|
nfrabw |
|- F/_ n { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } |
61 |
9 60
|
nfcxfr |
|- F/_ n D |
62 |
61
|
nfcri |
|- F/ n x e. D |
63 |
1 62
|
nfan |
|- F/ n ( ph /\ x e. D ) |
64 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> ph ) |
65 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> n e. Z ) |
66 |
|
rabidim1 |
|- ( x e. { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } -> x e. |^|_ n e. Z A ) |
67 |
66 9
|
eleq2s |
|- ( x e. D -> x e. |^|_ n e. Z A ) |
68 |
|
eliinid |
|- ( ( x e. |^|_ n e. Z A /\ n e. Z ) -> x e. A ) |
69 |
67 68
|
sylan |
|- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. A ) |
70 |
69
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> x e. A ) |
71 |
64 65 70 48
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> B = ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) |
72 |
63 71
|
mpteq2da |
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( n e. Z |-> B ) = ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) ) |
73 |
72
|
rneqd |
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ran ( n e. Z |-> B ) = ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) ) |
74 |
73
|
supeq1d |
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) |
75 |
2 55 74
|
mpteq12da |
|- ( ph -> ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) |
76 |
10 75
|
syl5eq |
|- ( ph -> G = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) |
77 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ n ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) |
78 |
1 8
|
fmptd2f |
|- ( ph -> ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) : Z --> ( SMblFn ` S ) ) |
79 |
|
eqid |
|- { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |
80 |
|
eqid |
|- ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) |
81 |
77 24 4 5 6 78 79 80
|
smfsup |
|- ( ph -> ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) e. ( SMblFn ` S ) ) |
82 |
76 81
|
eqeltrd |
|- ( ph -> G e. ( SMblFn ` S ) ) |