Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
suppssov1.s |
|- ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L ) |
2 |
|
suppssov1.o |
|- ( ( ph /\ v e. R ) -> ( Y O v ) = Z ) |
3 |
|
suppssov1.a |
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V ) |
4 |
|
suppssov1.b |
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> B e. R ) |
5 |
|
suppssov1.y |
|- ( ph -> Y e. W ) |
6 |
3
|
elexd |
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. _V ) |
7 |
6
|
adantll |
|- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> A e. _V ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) ) -> A e. _V ) |
9 |
|
oveq2 |
|- ( v = B -> ( Y O v ) = ( Y O B ) ) |
10 |
9
|
eqeq1d |
|- ( v = B -> ( ( Y O v ) = Z <-> ( Y O B ) = Z ) ) |
11 |
2
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. v e. R ( Y O v ) = Z ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> A. v e. R ( Y O v ) = Z ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> A. v e. R ( Y O v ) = Z ) |
14 |
4
|
adantll |
|- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> B e. R ) |
15 |
10 13 14
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( Y O B ) = Z ) |
16 |
|
oveq1 |
|- ( A = Y -> ( A O B ) = ( Y O B ) ) |
17 |
16
|
eqeq1d |
|- ( A = Y -> ( ( A O B ) = Z <-> ( Y O B ) = Z ) ) |
18 |
15 17
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( A = Y -> ( A O B ) = Z ) ) |
19 |
18
|
necon3d |
|- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( A O B ) =/= Z -> A =/= Y ) ) |
20 |
|
eldifsni |
|- ( ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) -> ( A O B ) =/= Z ) |
21 |
19 20
|
impel |
|- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) ) -> A =/= Y ) |
22 |
|
eldifsn |
|- ( A e. ( _V \ { Y } ) <-> ( A e. _V /\ A =/= Y ) ) |
23 |
8 21 22
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) ) -> A e. ( _V \ { Y } ) ) |
24 |
23
|
ex |
|- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) -> A e. ( _V \ { Y } ) ) ) |
25 |
24
|
ss2rabdv |
|- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> { x e. D | ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) } C_ { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } ) |
26 |
|
eqid |
|- ( x e. D |-> ( A O B ) ) = ( x e. D |-> ( A O B ) ) |
27 |
|
simpll |
|- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> D e. _V ) |
28 |
|
simplr |
|- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Z e. _V ) |
29 |
26 27 28
|
mptsuppdifd |
|- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) = { x e. D | ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) } ) |
30 |
|
eqid |
|- ( x e. D |-> A ) = ( x e. D |-> A ) |
31 |
5
|
adantl |
|- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Y e. W ) |
32 |
30 27 31
|
mptsuppdifd |
|- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) = { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } ) |
33 |
25 29 32
|
3sstr4d |
|- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) ) |
34 |
1
|
adantl |
|- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L ) |
35 |
33 34
|
sstrd |
|- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L ) |
36 |
35
|
ex |
|- ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L ) ) |
37 |
|
mptexg |
|- ( D e. _V -> ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V ) |
38 |
|
ovex |
|- ( A O B ) e. _V |
39 |
38
|
rgenw |
|- A. x e. D ( A O B ) e. _V |
40 |
|
dmmptg |
|- ( A. x e. D ( A O B ) e. _V -> dom ( x e. D |-> ( A O B ) ) = D ) |
41 |
39 40
|
ax-mp |
|- dom ( x e. D |-> ( A O B ) ) = D |
42 |
|
dmexg |
|- ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V -> dom ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V ) |
43 |
41 42
|
eqeltrrid |
|- ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V -> D e. _V ) |
44 |
37 43
|
impbii |
|- ( D e. _V <-> ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V ) |
45 |
44
|
anbi1i |
|- ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) <-> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V /\ Z e. _V ) ) |
46 |
|
supp0prc |
|- ( -. ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) = (/) ) |
47 |
45 46
|
sylnbi |
|- ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) = (/) ) |
48 |
|
0ss |
|- (/) C_ L |
49 |
47 48
|
eqsstrdi |
|- ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L ) |
50 |
49
|
a1d |
|- ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L ) ) |
51 |
36 50
|
pm2.61i |
|- ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L ) |