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Theorem suppssov1

Description: Formula building theorem for support restrictions: operator with left annihilator. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015) (Revised by AV, 28-May-2019)

Ref Expression
Hypotheses suppssov1.s
|- ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
suppssov1.o
|- ( ( ph /\ v e. R ) -> ( Y O v ) = Z )
suppssov1.a
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V )
suppssov1.b
|- ( ( ph /\ x e. D ) -> B e. R )
suppssov1.y
|- ( ph -> Y e. W )
Assertion suppssov1
|- ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 suppssov1.s
 |-  ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
2 suppssov1.o
 |-  ( ( ph /\ v e. R ) -> ( Y O v ) = Z )
3 suppssov1.a
 |-  ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V )
4 suppssov1.b
 |-  ( ( ph /\ x e. D ) -> B e. R )
5 suppssov1.y
 |-  ( ph -> Y e. W )
6 3 elexd
 |-  ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. _V )
7 6 adantll
 |-  ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> A e. _V )
8 7 adantr
 |-  ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) ) -> A e. _V )
9 oveq2
 |-  ( v = B -> ( Y O v ) = ( Y O B ) )
10 9 eqeq1d
 |-  ( v = B -> ( ( Y O v ) = Z <-> ( Y O B ) = Z ) )
11 2 ralrimiva
 |-  ( ph -> A. v e. R ( Y O v ) = Z )
12 11 adantl
 |-  ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> A. v e. R ( Y O v ) = Z )
13 12 adantr
 |-  ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> A. v e. R ( Y O v ) = Z )
14 4 adantll
 |-  ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> B e. R )
15 10 13 14 rspcdva
 |-  ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( Y O B ) = Z )
16 oveq1
 |-  ( A = Y -> ( A O B ) = ( Y O B ) )
17 16 eqeq1d
 |-  ( A = Y -> ( ( A O B ) = Z <-> ( Y O B ) = Z ) )
18 15 17 syl5ibrcom
 |-  ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( A = Y -> ( A O B ) = Z ) )
19 18 necon3d
 |-  ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( A O B ) =/= Z -> A =/= Y ) )
20 eldifsni
 |-  ( ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) -> ( A O B ) =/= Z )
21 19 20 impel
 |-  ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) ) -> A =/= Y )
22 eldifsn
 |-  ( A e. ( _V \ { Y } ) <-> ( A e. _V /\ A =/= Y ) )
23 8 21 22 sylanbrc
 |-  ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) ) -> A e. ( _V \ { Y } ) )
24 23 ex
 |-  ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) -> A e. ( _V \ { Y } ) ) )
25 24 ss2rabdv
 |-  ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> { x e. D | ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) } C_ { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } )
26 eqid
 |-  ( x e. D |-> ( A O B ) ) = ( x e. D |-> ( A O B ) )
27 simpll
 |-  ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> D e. _V )
28 simplr
 |-  ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Z e. _V )
29 26 27 28 mptsuppdifd
 |-  ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) = { x e. D | ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) } )
30 eqid
 |-  ( x e. D |-> A ) = ( x e. D |-> A )
31 5 adantl
 |-  ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Y e. W )
32 30 27 31 mptsuppdifd
 |-  ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) = { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } )
33 25 29 32 3sstr4d
 |-  ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) )
34 1 adantl
 |-  ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
35 33 34 sstrd
 |-  ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L )
36 35 ex
 |-  ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L ) )
37 mptexg
 |-  ( D e. _V -> ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V )
38 ovex
 |-  ( A O B ) e. _V
39 38 rgenw
 |-  A. x e. D ( A O B ) e. _V
40 dmmptg
 |-  ( A. x e. D ( A O B ) e. _V -> dom ( x e. D |-> ( A O B ) ) = D )
41 39 40 ax-mp
 |-  dom ( x e. D |-> ( A O B ) ) = D
42 dmexg
 |-  ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V -> dom ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V )
43 41 42 eqeltrrid
 |-  ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V -> D e. _V )
44 37 43 impbii
 |-  ( D e. _V <-> ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V )
45 44 anbi1i
 |-  ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) <-> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V /\ Z e. _V ) )
46 supp0prc
 |-  ( -. ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) = (/) )
47 45 46 sylnbi
 |-  ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) = (/) )
48 0ss
 |-  (/) C_ L
49 47 48 eqsstrdi
 |-  ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L )
50 49 a1d
 |-  ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L ) )
51 36 50 pm2.61i
 |-  ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L )