Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp1 |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> A C_ RR ) |
2 |
|
ressxr |
|- RR C_ RR* |
3 |
1 2
|
sstrdi |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> A C_ RR* ) |
4 |
|
supxrcl |
|- ( A C_ RR* -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* ) |
5 |
3 4
|
syl |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* ) |
6 |
|
suprcl |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR ) |
7 |
6
|
rexrd |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR* ) |
8 |
6
|
leidd |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) <_ sup ( A , RR , < ) ) |
9 |
|
suprleub |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ sup ( A , RR , < ) e. RR ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A z <_ sup ( A , RR , < ) ) ) |
10 |
6 9
|
mpdan |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A z <_ sup ( A , RR , < ) ) ) |
11 |
|
supxrleub |
|- ( ( A C_ RR* /\ sup ( A , RR , < ) e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A z <_ sup ( A , RR , < ) ) ) |
12 |
3 7 11
|
syl2anc |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( A , RR , < ) <-> A. z e. A z <_ sup ( A , RR , < ) ) ) |
13 |
10 12
|
bitr4d |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ sup ( A , RR , < ) <-> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( A , RR , < ) ) ) |
14 |
8 13
|
mpbid |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( A , RR , < ) ) |
15 |
5
|
xrleidd |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
16 |
|
supxrleub |
|- ( ( A C_ RR* /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( A , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( A , RR* , < ) ) ) |
17 |
3 5 16
|
syl2anc |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( A , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( A , RR* , < ) ) ) |
18 |
|
simp2 |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> A =/= (/) ) |
19 |
|
n0 |
|- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A ) |
20 |
18 19
|
sylib |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> E. z z e. A ) |
21 |
|
mnfxr |
|- -oo e. RR* |
22 |
21
|
a1i |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> -oo e. RR* ) |
23 |
1
|
sselda |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> z e. RR ) |
24 |
23
|
rexrd |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> z e. RR* ) |
25 |
5
|
adantr |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* ) |
26 |
23
|
mnfltd |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> -oo < z ) |
27 |
|
supxrub |
|- ( ( A C_ RR* /\ z e. A ) -> z <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
28 |
3 27
|
sylan |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
29 |
22 24 25 26 28
|
xrltletrd |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> -oo < sup ( A , RR* , < ) ) |
30 |
20 29
|
exlimddv |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> -oo < sup ( A , RR* , < ) ) |
31 |
|
xrre |
|- ( ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ sup ( A , RR , < ) e. RR ) /\ ( -oo < sup ( A , RR* , < ) /\ sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( A , RR , < ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR ) |
32 |
5 6 30 14 31
|
syl22anc |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR ) |
33 |
|
suprleub |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ sup ( A , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( A , RR* , < ) ) ) |
34 |
32 33
|
mpdan |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ sup ( A , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( A , RR* , < ) ) ) |
35 |
17 34
|
bitr4d |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( A , RR* , < ) <-> sup ( A , RR , < ) <_ sup ( A , RR* , < ) ) ) |
36 |
15 35
|
mpbid |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) <_ sup ( A , RR* , < ) ) |
37 |
5 7 14 36
|
xrletrid |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) = sup ( A , RR , < ) ) |