Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xkoco1cn.t |
|- ( ph -> T e. Top ) |
2 |
|
xkoco1cn.f |
|- ( ph -> F e. ( R Cn S ) ) |
3 |
|
cnco |
|- ( ( F e. ( R Cn S ) /\ g e. ( S Cn T ) ) -> ( g o. F ) e. ( R Cn T ) ) |
4 |
2 3
|
sylan |
|- ( ( ph /\ g e. ( S Cn T ) ) -> ( g o. F ) e. ( R Cn T ) ) |
5 |
4
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) : ( S Cn T ) --> ( R Cn T ) ) |
6 |
|
eqid |
|- U. R = U. R |
7 |
|
eqid |
|- { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } = { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } |
8 |
|
eqid |
|- ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) = ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) |
9 |
6 7 8
|
xkobval |
|- ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. ~P U. R E. v e. T ( ( R |`t k ) e. Comp /\ x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) } |
10 |
9
|
abeq2i |
|- ( x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) <-> E. k e. ~P U. R E. v e. T ( ( R |`t k ) e. Comp /\ x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) |
11 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> F e. ( R Cn S ) ) |
12 |
11 3
|
sylan |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( S Cn T ) ) -> ( g o. F ) e. ( R Cn T ) ) |
13 |
|
imaeq1 |
|- ( h = ( g o. F ) -> ( h " k ) = ( ( g o. F ) " k ) ) |
14 |
|
imaco |
|- ( ( g o. F ) " k ) = ( g " ( F " k ) ) |
15 |
13 14
|
eqtrdi |
|- ( h = ( g o. F ) -> ( h " k ) = ( g " ( F " k ) ) ) |
16 |
15
|
sseq1d |
|- ( h = ( g o. F ) -> ( ( h " k ) C_ v <-> ( g " ( F " k ) ) C_ v ) ) |
17 |
16
|
elrab3 |
|- ( ( g o. F ) e. ( R Cn T ) -> ( ( g o. F ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } <-> ( g " ( F " k ) ) C_ v ) ) |
18 |
12 17
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( S Cn T ) ) -> ( ( g o. F ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } <-> ( g " ( F " k ) ) C_ v ) ) |
19 |
18
|
rabbidva |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> { g e. ( S Cn T ) | ( g o. F ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } = { g e. ( S Cn T ) | ( g " ( F " k ) ) C_ v } ) |
20 |
|
eqid |
|- U. S = U. S |
21 |
|
cntop2 |
|- ( F e. ( R Cn S ) -> S e. Top ) |
22 |
2 21
|
syl |
|- ( ph -> S e. Top ) |
23 |
22
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> S e. Top ) |
24 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> T e. Top ) |
25 |
|
imassrn |
|- ( F " k ) C_ ran F |
26 |
6 20
|
cnf |
|- ( F e. ( R Cn S ) -> F : U. R --> U. S ) |
27 |
|
frn |
|- ( F : U. R --> U. S -> ran F C_ U. S ) |
28 |
11 26 27
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> ran F C_ U. S ) |
29 |
25 28
|
sstrid |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> ( F " k ) C_ U. S ) |
30 |
|
imacmp |
|- ( ( F e. ( R Cn S ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> ( S |`t ( F " k ) ) e. Comp ) |
31 |
11 30
|
sylancom |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> ( S |`t ( F " k ) ) e. Comp ) |
32 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> v e. T ) |
33 |
20 23 24 29 31 32
|
xkoopn |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> { g e. ( S Cn T ) | ( g " ( F " k ) ) C_ v } e. ( T ^ko S ) ) |
34 |
19 33
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> { g e. ( S Cn T ) | ( g o. F ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } e. ( T ^ko S ) ) |
35 |
|
imaeq2 |
|- ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " x ) = ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) |
36 |
|
eqid |
|- ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) = ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) |
37 |
36
|
mptpreima |
|- ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) = { g e. ( S Cn T ) | ( g o. F ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } |
38 |
35 37
|
eqtrdi |
|- ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " x ) = { g e. ( S Cn T ) | ( g o. F ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } ) |
39 |
38
|
eleq1d |
|- ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " x ) e. ( T ^ko S ) <-> { g e. ( S Cn T ) | ( g o. F ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } e. ( T ^ko S ) ) ) |
40 |
34 39
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " x ) e. ( T ^ko S ) ) ) |
41 |
40
|
expimpd |
|- ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) -> ( ( ( R |`t k ) e. Comp /\ x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " x ) e. ( T ^ko S ) ) ) |
42 |
41
|
rexlimdvva |
|- ( ph -> ( E. k e. ~P U. R E. v e. T ( ( R |`t k ) e. Comp /\ x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " x ) e. ( T ^ko S ) ) ) |
43 |
10 42
|
syl5bi |
|- ( ph -> ( x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " x ) e. ( T ^ko S ) ) ) |
44 |
43
|
ralrimiv |
|- ( ph -> A. x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " x ) e. ( T ^ko S ) ) |
45 |
|
eqid |
|- ( T ^ko S ) = ( T ^ko S ) |
46 |
45
|
xkotopon |
|- ( ( S e. Top /\ T e. Top ) -> ( T ^ko S ) e. ( TopOn ` ( S Cn T ) ) ) |
47 |
22 1 46
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( T ^ko S ) e. ( TopOn ` ( S Cn T ) ) ) |
48 |
|
ovex |
|- ( R Cn T ) e. _V |
49 |
48
|
pwex |
|- ~P ( R Cn T ) e. _V |
50 |
6 7 8
|
xkotf |
|- ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) : ( { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } X. T ) --> ~P ( R Cn T ) |
51 |
|
frn |
|- ( ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) : ( { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } X. T ) --> ~P ( R Cn T ) -> ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn T ) ) |
52 |
50 51
|
ax-mp |
|- ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn T ) |
53 |
49 52
|
ssexi |
|- ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) e. _V |
54 |
53
|
a1i |
|- ( ph -> ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) e. _V ) |
55 |
|
cntop1 |
|- ( F e. ( R Cn S ) -> R e. Top ) |
56 |
2 55
|
syl |
|- ( ph -> R e. Top ) |
57 |
6 7 8
|
xkoval |
|- ( ( R e. Top /\ T e. Top ) -> ( T ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) ) |
58 |
56 1 57
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( T ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) ) |
59 |
|
eqid |
|- ( T ^ko R ) = ( T ^ko R ) |
60 |
59
|
xkotopon |
|- ( ( R e. Top /\ T e. Top ) -> ( T ^ko R ) e. ( TopOn ` ( R Cn T ) ) ) |
61 |
56 1 60
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( T ^ko R ) e. ( TopOn ` ( R Cn T ) ) ) |
62 |
47 54 58 61
|
subbascn |
|- ( ph -> ( ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) e. ( ( T ^ko S ) Cn ( T ^ko R ) ) <-> ( ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) : ( S Cn T ) --> ( R Cn T ) /\ A. x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ( `' ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) " x ) e. ( T ^ko S ) ) ) ) |
63 |
5 44 62
|
mpbir2and |
|- ( ph -> ( g e. ( S Cn T ) |-> ( g o. F ) ) e. ( ( T ^ko S ) Cn ( T ^ko R ) ) ) |