Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xrmulc1cn.k |
|- J = ( ordTop ` <_ ) |
2 |
|
xrmulc1cn.f |
|- F = ( x e. RR* |-> ( x *e C ) ) |
3 |
|
xrmulc1cn.c |
|- ( ph -> C e. RR+ ) |
4 |
|
letsr |
|- <_ e. TosetRel |
5 |
4
|
a1i |
|- ( ph -> <_ e. TosetRel ) |
6 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> x e. RR* ) |
7 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> C e. RR+ ) |
8 |
7
|
rpxrd |
|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> C e. RR* ) |
9 |
6 8
|
xmulcld |
|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( x *e C ) e. RR* ) |
10 |
9
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. RR* ( x *e C ) e. RR* ) |
11 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> y e. RR* ) |
12 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> C e. RR+ ) |
13 |
12
|
rpred |
|- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> C e. RR ) |
14 |
12
|
rpne0d |
|- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> C =/= 0 ) |
15 |
|
xreceu |
|- ( ( y e. RR* /\ C e. RR /\ C =/= 0 ) -> E! x e. RR* ( C *e x ) = y ) |
16 |
11 13 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> E! x e. RR* ( C *e x ) = y ) |
17 |
|
eqcom |
|- ( y = ( x *e C ) <-> ( x *e C ) = y ) |
18 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> x e. RR* ) |
19 |
8
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> C e. RR* ) |
20 |
|
xmulcom |
|- ( ( x e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( x *e C ) = ( C *e x ) ) |
21 |
18 19 20
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> ( x *e C ) = ( C *e x ) ) |
22 |
21
|
eqeq1d |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> ( ( x *e C ) = y <-> ( C *e x ) = y ) ) |
23 |
17 22
|
syl5bb |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> ( y = ( x *e C ) <-> ( C *e x ) = y ) ) |
24 |
23
|
reubidva |
|- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> ( E! x e. RR* y = ( x *e C ) <-> E! x e. RR* ( C *e x ) = y ) ) |
25 |
16 24
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> E! x e. RR* y = ( x *e C ) ) |
26 |
25
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. y e. RR* E! x e. RR* y = ( x *e C ) ) |
27 |
2
|
f1ompt |
|- ( F : RR* -1-1-onto-> RR* <-> ( A. x e. RR* ( x *e C ) e. RR* /\ A. y e. RR* E! x e. RR* y = ( x *e C ) ) ) |
28 |
10 26 27
|
sylanbrc |
|- ( ph -> F : RR* -1-1-onto-> RR* ) |
29 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> x e. RR* ) |
30 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> y e. RR* ) |
31 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> C e. RR+ ) |
32 |
|
xlemul1 |
|- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ C e. RR+ ) -> ( x <_ y <-> ( x *e C ) <_ ( y *e C ) ) ) |
33 |
29 30 31 32
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( x <_ y <-> ( x *e C ) <_ ( y *e C ) ) ) |
34 |
|
ovex |
|- ( x *e C ) e. _V |
35 |
2
|
fvmpt2 |
|- ( ( x e. RR* /\ ( x *e C ) e. _V ) -> ( F ` x ) = ( x *e C ) ) |
36 |
29 34 35
|
sylancl |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( F ` x ) = ( x *e C ) ) |
37 |
|
oveq1 |
|- ( x = y -> ( x *e C ) = ( y *e C ) ) |
38 |
|
ovex |
|- ( y *e C ) e. _V |
39 |
37 2 38
|
fvmpt |
|- ( y e. RR* -> ( F ` y ) = ( y *e C ) ) |
40 |
39
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( F ` y ) = ( y *e C ) ) |
41 |
36 40
|
breq12d |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( ( F ` x ) <_ ( F ` y ) <-> ( x *e C ) <_ ( y *e C ) ) ) |
42 |
33 41
|
bitr4d |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( x <_ y <-> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) ) |
43 |
42
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> A. y e. RR* ( x <_ y <-> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) ) |
44 |
43
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y <-> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) ) |
45 |
|
df-isom |
|- ( F Isom <_ , <_ ( RR* , RR* ) <-> ( F : RR* -1-1-onto-> RR* /\ A. x e. RR* A. y e. RR* ( x <_ y <-> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) ) ) |
46 |
28 44 45
|
sylanbrc |
|- ( ph -> F Isom <_ , <_ ( RR* , RR* ) ) |
47 |
|
ledm |
|- RR* = dom <_ |
48 |
47 47
|
ordthmeolem |
|- ( ( <_ e. TosetRel /\ <_ e. TosetRel /\ F Isom <_ , <_ ( RR* , RR* ) ) -> F e. ( ( ordTop ` <_ ) Cn ( ordTop ` <_ ) ) ) |
49 |
5 5 46 48
|
syl3anc |
|- ( ph -> F e. ( ( ordTop ` <_ ) Cn ( ordTop ` <_ ) ) ) |
50 |
1 1
|
oveq12i |
|- ( J Cn J ) = ( ( ordTop ` <_ ) Cn ( ordTop ` <_ ) ) |
51 |
49 50
|
eleqtrrdi |
|- ( ph -> F e. ( J Cn J ) ) |