Theorem 2idlcpblrng

Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015) Generalization for non-unital rings and two-sided ideals which are subgroups of the additive group of the non-unital ring. (Revised by AV, 23-Feb-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	2idlcpblrng.x	⊢ 𝑋 = ( Base ‘ 𝑅 )
	2idlcpblrng.r	⊢ 𝐸 = ( 𝑅 ~QG 𝑆 )
	2idlcpblrng.i	⊢ 𝐼 = ( 2Ideal ‘ 𝑅 )
	2idlcpblrng.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion	2idlcpblrng	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) 𝐸 ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlcpblrng.x	⊢ 𝑋 = ( Base ‘ 𝑅 )
2		2idlcpblrng.r	⊢ 𝐸 = ( 𝑅 ~QG 𝑆 )
3		2idlcpblrng.i	⊢ 𝐼 = ( 2Ideal ‘ 𝑅 )
4		2idlcpblrng.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
5		simpl1	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝑅 ∈ Rng )
6		simpl3	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) )
7	1 2	eqger	⊢ ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) → 𝐸 Er 𝑋 )
8	6 7	syl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝐸 Er 𝑋 )
9		simprl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝐴 𝐸 𝐶 )
10	8 9	ersym	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝐶 𝐸 𝐴 )
11		rngabl	⊢ ( 𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel )
12	11	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Abel )
13		eqid	⊢ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) = ( LIdeal ‘ 𝑅 )
14		eqid	⊢ ( oppr ‘ 𝑅 ) = ( oppr ‘ 𝑅 )
15		eqid	⊢ ( LIdeal ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) = ( LIdeal ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) )
16	13 14 15 3	2idlelb	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐼 ↔ ( 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) ) )
17	16	simplbi	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
18	17	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) → 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
19	18	adantr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
20	1 13	lidlss	⊢ ( 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) → 𝑆 ⊆ 𝑋 )
21	19 20	syl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝑆 ⊆ 𝑋 )
22		eqid	⊢ ( -g ‘ 𝑅 ) = ( -g ‘ 𝑅 )
23	1 22 2	eqgabl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝐶 𝐸 𝐴 ↔ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) ∈ 𝑆 ) ) )
24	12 21 23	syl2an2r	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐶 𝐸 𝐴 ↔ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) ∈ 𝑆 ) ) )
25	10 24	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) ∈ 𝑆 ) )
26	25	simp2d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑋 )
27		simprr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝐵 𝐸 𝐷 )
28	1 22 2	eqgabl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝐵 𝐸 𝐷 ↔ ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐷 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) ) )
29	12 21 28	syl2an2r	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐵 𝐸 𝐷 ↔ ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐷 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) ) )
30	27 29	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐷 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) )
31	30	simp1d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑋 )
32	1 4	rngcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
33	5 26 31 32	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
34	25	simp1d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑋 )
35	30	simp2d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑋 )
36	1 4	rngcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 · 𝐷 ) ∈ 𝑋 )
37	5 34 35 36	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐶 · 𝐷 ) ∈ 𝑋 )
38		rnggrp	⊢ ( 𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp )
39	38	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
40	39	adantr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
41	1 4	rngcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 · 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
42	5 34 31 41	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐶 · 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
43	1 22	grpnnncan2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐶 · 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
44	40 37 33 42 43	syl13anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
45	1 4 22 5 34 35 31	rngsubdi	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐶 · ( 𝐷 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐵 ) ) = ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
46		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
47	46	subg0cl	⊢ ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑆 )
48	47	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑆 )
49	48	adantr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑆 )
50	30	simp3d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐷 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐵 ) ∈ 𝑆 )
51	46 1 4 13	rnglidlmcl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ∧ ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐷 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐵 ) ∈ 𝑆 ) ) → ( 𝐶 · ( 𝐷 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 )
52	5 19 49 34 50 51	syl32anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐶 · ( 𝐷 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 )
53	45 52	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 )
54		eqid	⊢ ( .r ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) = ( .r ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) )
55	1 4 14 54	opprmul	⊢ ( 𝐵 ( .r ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) · 𝐵 )
56	1 4 22 5 26 34 31	rngsubdir	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) · 𝐵 ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
57	55 56	eqtrid	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐵 ( .r ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
58	14	opprrng	⊢ ( 𝑅 ∈ Rng → ( oppr ‘ 𝑅 ) ∈ Rng )
59	58	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) → ( oppr ‘ 𝑅 ) ∈ Rng )
60	59	adantr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( oppr ‘ 𝑅 ) ∈ Rng )
61	16	simprbi	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) )
62	61	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) → 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) )
63	62	adantr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) )
64	25	simp3d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) ∈ 𝑆 )
65	14 46	oppr0	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) )
66	14 1	opprbas	⊢ 𝑋 = ( Base ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) )
67	65 66 54 15	rnglidlmcl	⊢ ( ( ( ( oppr ‘ 𝑅 ) ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ ( LIdeal ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) ∈ 𝑆 ) ) → ( 𝐵 ( .r ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) ) ∈ 𝑆 )
68	60 63 49 31 64 67	syl32anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐵 ( .r ‘ ( oppr ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ( -g ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) ) ∈ 𝑆 )
69	57 68	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 )
70	22	subgsubcl	⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ∧ ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 ∧ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 ) → ( ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 )
71	6 53 69 70	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ) ∈ 𝑆 )
72	44 71	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 )
73	1 22 2	eqgabl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) 𝐸 ( 𝐶 · 𝐷 ) ↔ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐶 · 𝐷 ) ∈ 𝑋 ∧ ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 ) ) )
74	12 21 73	syl2an2r	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) 𝐸 ( 𝐶 · 𝐷 ) ↔ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐶 · 𝐷 ) ∈ 𝑋 ∧ ( ( 𝐶 · 𝐷 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ 𝑆 ) ) )
75	33 37 72 74	mpbir3and	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) 𝐸 ( 𝐶 · 𝐷 ) )
76	75	ex	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐴 𝐸 𝐶 ∧ 𝐵 𝐸 𝐷 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) 𝐸 ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )