Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
2 |
|
1ne2 |
⊢ 1 ≠ 2 |
3 |
2
|
necomi |
⊢ 2 ≠ 1 |
4 |
|
eldifsn |
⊢ ( 2 ∈ ( ℝ+ ∖ { 1 } ) ↔ ( 2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1 ) ) |
5 |
1 3 4
|
mpbir2an |
⊢ 2 ∈ ( ℝ+ ∖ { 1 } ) |
6 |
|
uz2m1nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ ) |
7 |
6
|
nnrpd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ+ ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ+ ) |
9 |
|
relogbdivb |
⊢ ( ( 2 ∈ ( ℝ+ ∖ { 1 } ) ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ+ ) → ( 2 logb ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) − 1 ) ) |
10 |
5 8 9
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 2 logb ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) − 1 ) ) |
11 |
10
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) − 1 ) ) ) |
12 |
11
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) − 1 ) ) + 1 ) ) |
13 |
1
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 2 ∈ ℝ+ ) |
14 |
3
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 2 ≠ 1 ) |
15 |
|
relogbcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1 ) → ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
16 |
13 7 14 15
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
17 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
18 |
16 17
|
jctir |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ) ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ) ) |
20 |
|
flsubz |
⊢ ( ( ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) − 1 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) − 1 ) ) |
21 |
19 20
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) − 1 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) − 1 ) ) |
22 |
21
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) − 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) − 1 ) + 1 ) ) |
23 |
16
|
flcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ ℤ ) |
24 |
23
|
zcnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
25 |
|
npcan1 |
⊢ ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ ℂ → ( ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) − 1 ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
26 |
24 25
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) − 1 ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) − 1 ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
28 |
|
eluz2nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
29 |
28
|
peano2nnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ ) |
30 |
29
|
nnred |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
31 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
32 |
31
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 2 ∈ ℝ ) |
33 |
|
eluzge2nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
34 |
|
nn0p1gt0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
35 |
33 34
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 0 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
36 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
37 |
36
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 0 < 2 ) |
38 |
30 32 35 37
|
divgt0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 0 < ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ) |
39 |
|
nn0z |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
40 |
38 39
|
anim12ci |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ) ) |
41 |
|
elnnz |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ↔ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ) ) |
42 |
40 41
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
43 |
|
nnolog2flm1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) → ( ⌊ ‘ ( 2 logb 𝑁 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
44 |
42 43
|
syldan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ⌊ ‘ ( 2 logb 𝑁 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
45 |
27 44
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( 𝑁 − 1 ) ) ) − 1 ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( 2 logb 𝑁 ) ) ) |
46 |
12 22 45
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( 2 logb 𝑁 ) ) ) |
47 |
46
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) + 1 ) + 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb 𝑁 ) ) + 1 ) ) |
48 |
|
nno |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
49 |
|
blennn |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ → ( #b ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) + 1 ) ) |
50 |
49
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ → ( ( #b ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) + 1 ) + 1 ) ) |
51 |
48 50
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( #b ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) + 1 ) + 1 ) ) |
52 |
|
blennn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( #b ‘ 𝑁 ) = ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb 𝑁 ) ) + 1 ) ) |
53 |
28 52
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( #b ‘ 𝑁 ) = ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb 𝑁 ) ) + 1 ) ) |
54 |
53
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( #b ‘ 𝑁 ) = ( ( ⌊ ‘ ( 2 logb 𝑁 ) ) + 1 ) ) |
55 |
47 51 54
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( #b ‘ 𝑁 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) |