Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
2 |
|
bpolyval |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ ) → ( 2 BernPoly 𝑋 ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 2 − 1 ) ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
mpan |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 2 BernPoly 𝑋 ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 2 − 1 ) ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ) ) |
4 |
|
2m1e1 |
⊢ ( 2 − 1 ) = 1 |
5 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
6 |
4 5
|
eqtr4i |
⊢ ( 2 − 1 ) = ( 0 + 1 ) |
7 |
6
|
oveq2i |
⊢ ( 0 ... ( 2 − 1 ) ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |
8 |
7
|
sumeq1i |
⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 2 − 1 ) ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) |
9 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
10 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
11 |
9 10
|
eleqtri |
⊢ 0 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
12 |
11
|
a1i |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
13 |
|
0z |
⊢ 0 ∈ ℤ |
14 |
|
fzpr |
⊢ ( 0 ∈ ℤ → ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } ) |
15 |
13 14
|
ax-mp |
⊢ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } |
16 |
15
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ↔ 𝑘 ∈ { 0 , ( 0 + 1 ) } ) |
17 |
|
vex |
⊢ 𝑘 ∈ V |
18 |
17
|
elpr |
⊢ ( 𝑘 ∈ { 0 , ( 0 + 1 ) } ↔ ( 𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = ( 0 + 1 ) ) ) |
19 |
16 18
|
bitri |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ↔ ( 𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = ( 0 + 1 ) ) ) |
20 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 2 C 𝑘 ) = ( 2 C 0 ) ) |
21 |
|
bcn0 |
⊢ ( 2 ∈ ℕ0 → ( 2 C 0 ) = 1 ) |
22 |
1 21
|
ax-mp |
⊢ ( 2 C 0 ) = 1 |
23 |
20 22
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 2 C 𝑘 ) = 1 ) |
24 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) = ( 0 BernPoly 𝑋 ) ) |
25 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 2 − 𝑘 ) = ( 2 − 0 ) ) |
26 |
25
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) = ( ( 2 − 0 ) + 1 ) ) |
27 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
28 |
27
|
subid1i |
⊢ ( 2 − 0 ) = 2 |
29 |
28
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 − 0 ) + 1 ) = ( 2 + 1 ) |
30 |
|
df-3 |
⊢ 3 = ( 2 + 1 ) |
31 |
29 30
|
eqtr4i |
⊢ ( ( 2 − 0 ) + 1 ) = 3 |
32 |
26 31
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) = 3 ) |
33 |
24 32
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) |
34 |
23 33
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) ) |
35 |
|
bpoly0 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 0 BernPoly 𝑋 ) = 1 ) |
36 |
35
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) = ( 1 / 3 ) ) |
37 |
36
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) = ( 1 · ( 1 / 3 ) ) ) |
38 |
|
3cn |
⊢ 3 ∈ ℂ |
39 |
|
3ne0 |
⊢ 3 ≠ 0 |
40 |
38 39
|
reccli |
⊢ ( 1 / 3 ) ∈ ℂ |
41 |
40
|
mulid2i |
⊢ ( 1 · ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 3 ) |
42 |
37 41
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) = ( 1 / 3 ) ) |
43 |
34 42
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 3 ) ) |
44 |
43 40
|
eqeltrdi |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
45 |
5
|
eqeq2i |
⊢ ( 𝑘 = ( 0 + 1 ) ↔ 𝑘 = 1 ) |
46 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 2 C 𝑘 ) = ( 2 C 1 ) ) |
47 |
|
bcn1 |
⊢ ( 2 ∈ ℕ0 → ( 2 C 1 ) = 2 ) |
48 |
1 47
|
ax-mp |
⊢ ( 2 C 1 ) = 2 |
49 |
46 48
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 2 C 𝑘 ) = 2 ) |
50 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) = ( 1 BernPoly 𝑋 ) ) |
51 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 2 − 𝑘 ) = ( 2 − 1 ) ) |
52 |
51
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) = ( ( 2 − 1 ) + 1 ) ) |
53 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
54 |
|
npcan |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 2 − 1 ) + 1 ) = 2 ) |
55 |
27 53 54
|
mp2an |
⊢ ( ( 2 − 1 ) + 1 ) = 2 |
56 |
52 55
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) = 2 ) |
57 |
50 56
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) |
58 |
49 57
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 2 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) ) |
59 |
45 58
|
sylbi |
⊢ ( 𝑘 = ( 0 + 1 ) → ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 2 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) ) |
60 |
|
bpoly1 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 1 BernPoly 𝑋 ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
61 |
60
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) = ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) / 2 ) ) |
62 |
61
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 2 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) = ( 2 · ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) / 2 ) ) ) |
63 |
|
halfcn |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ |
64 |
|
subcl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
65 |
63 64
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
66 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
67 |
|
divcan2 |
⊢ ( ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) / 2 ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
68 |
27 66 67
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ → ( 2 · ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) / 2 ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
69 |
65 68
|
syl |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 2 · ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) / 2 ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
70 |
62 69
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 2 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
71 |
59 70
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = ( 0 + 1 ) ) → ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
72 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = ( 0 + 1 ) ) → ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
73 |
71 72
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = ( 0 + 1 ) ) → ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
74 |
44 73
|
jaodan |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = ( 0 + 1 ) ) ) → ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
75 |
19 74
|
sylan2b |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) → ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
76 |
12 75 59
|
fsump1 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) + ( 2 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) ) ) |
77 |
42 40
|
eqeltrdi |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) ∈ ℂ ) |
78 |
34
|
fsum1 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) ) |
79 |
13 77 78
|
sylancr |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) ) |
80 |
79 42
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 3 ) ) |
81 |
80 70
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) + ( 2 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) ) = ( ( 1 / 3 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
82 |
76 81
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 3 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
83 |
|
addsub12 |
⊢ ( ( ( 1 / 3 ) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 / 3 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) = ( 𝑋 + ( ( 1 / 3 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
84 |
40 63 83
|
mp3an13 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 1 / 3 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) = ( 𝑋 + ( ( 1 / 3 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
85 |
63 40
|
negsubdi2i |
⊢ - ( ( 1 / 2 ) − ( 1 / 3 ) ) = ( ( 1 / 3 ) − ( 1 / 2 ) ) |
86 |
|
halfthird |
⊢ ( ( 1 / 2 ) − ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 6 ) |
87 |
86
|
negeqi |
⊢ - ( ( 1 / 2 ) − ( 1 / 3 ) ) = - ( 1 / 6 ) |
88 |
85 87
|
eqtr3i |
⊢ ( ( 1 / 3 ) − ( 1 / 2 ) ) = - ( 1 / 6 ) |
89 |
88
|
oveq2i |
⊢ ( 𝑋 + ( ( 1 / 3 ) − ( 1 / 2 ) ) ) = ( 𝑋 + - ( 1 / 6 ) ) |
90 |
84 89
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 1 / 3 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) = ( 𝑋 + - ( 1 / 6 ) ) ) |
91 |
|
6cn |
⊢ 6 ∈ ℂ |
92 |
|
6re |
⊢ 6 ∈ ℝ |
93 |
|
6pos |
⊢ 0 < 6 |
94 |
92 93
|
gt0ne0ii |
⊢ 6 ≠ 0 |
95 |
91 94
|
reccli |
⊢ ( 1 / 6 ) ∈ ℂ |
96 |
|
negsub |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 6 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑋 + - ( 1 / 6 ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) |
97 |
95 96
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 𝑋 + - ( 1 / 6 ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) |
98 |
82 90 97
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) |
99 |
8 98
|
syl5eq |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 2 − 1 ) ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) |
100 |
99
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 2 − 1 ) ) ( ( 2 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 2 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) |
101 |
|
sqcl |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 𝑋 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
102 |
|
subsub |
⊢ ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 6 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − 𝑋 ) + ( 1 / 6 ) ) ) |
103 |
95 102
|
mp3an3 |
⊢ ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − 𝑋 ) + ( 1 / 6 ) ) ) |
104 |
101 103
|
mpancom |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − 𝑋 ) + ( 1 / 6 ) ) ) |
105 |
3 100 104
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 2 BernPoly 𝑋 ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − 𝑋 ) + ( 1 / 6 ) ) ) |