Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3nn0 |
⊢ 3 ∈ ℕ0 |
2 |
|
bpolyval |
⊢ ( ( 3 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ ) → ( 3 BernPoly 𝑋 ) = ( ( 𝑋 ↑ 3 ) − Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 3 − 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
mpan |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 3 BernPoly 𝑋 ) = ( ( 𝑋 ↑ 3 ) − Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 3 − 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ) ) |
4 |
|
3m1e2 |
⊢ ( 3 − 1 ) = 2 |
5 |
|
df-2 |
⊢ 2 = ( 1 + 1 ) |
6 |
4 5
|
eqtri |
⊢ ( 3 − 1 ) = ( 1 + 1 ) |
7 |
6
|
oveq2i |
⊢ ( 0 ... ( 3 − 1 ) ) = ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) |
8 |
7
|
sumeq1i |
⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 3 − 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) |
9 |
|
1eluzge0 |
⊢ 1 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
10 |
9
|
a1i |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
11 |
|
0z |
⊢ 0 ∈ ℤ |
12 |
|
fzpr |
⊢ ( 0 ∈ ℤ → ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } ) |
13 |
11 12
|
ax-mp |
⊢ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } |
14 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
15 |
14
|
oveq2i |
⊢ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 ) |
16 |
14
|
preq2i |
⊢ { 0 , ( 0 + 1 ) } = { 0 , 1 } |
17 |
13 15 16
|
3eqtr3ri |
⊢ { 0 , 1 } = ( 0 ... 1 ) |
18 |
5
|
sneqi |
⊢ { 2 } = { ( 1 + 1 ) } |
19 |
17 18
|
uneq12i |
⊢ ( { 0 , 1 } ∪ { 2 } ) = ( ( 0 ... 1 ) ∪ { ( 1 + 1 ) } ) |
20 |
|
df-tp |
⊢ { 0 , 1 , 2 } = ( { 0 , 1 } ∪ { 2 } ) |
21 |
|
fzsuc |
⊢ ( 1 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) = ( ( 0 ... 1 ) ∪ { ( 1 + 1 ) } ) ) |
22 |
9 21
|
ax-mp |
⊢ ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) = ( ( 0 ... 1 ) ∪ { ( 1 + 1 ) } ) |
23 |
19 20 22
|
3eqtr4ri |
⊢ ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) = { 0 , 1 , 2 } |
24 |
23
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ↔ 𝑘 ∈ { 0 , 1 , 2 } ) |
25 |
|
vex |
⊢ 𝑘 ∈ V |
26 |
25
|
eltp |
⊢ ( 𝑘 ∈ { 0 , 1 , 2 } ↔ ( 𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ) ) |
27 |
24 26
|
bitri |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ↔ ( 𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ) ) |
28 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 3 C 𝑘 ) = ( 3 C 0 ) ) |
29 |
|
bcn0 |
⊢ ( 3 ∈ ℕ0 → ( 3 C 0 ) = 1 ) |
30 |
1 29
|
ax-mp |
⊢ ( 3 C 0 ) = 1 |
31 |
28 30
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 3 C 𝑘 ) = 1 ) |
32 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) = ( 0 BernPoly 𝑋 ) ) |
33 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 3 − 𝑘 ) = ( 3 − 0 ) ) |
34 |
33
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) = ( ( 3 − 0 ) + 1 ) ) |
35 |
|
3cn |
⊢ 3 ∈ ℂ |
36 |
35
|
subid1i |
⊢ ( 3 − 0 ) = 3 |
37 |
36
|
oveq1i |
⊢ ( ( 3 − 0 ) + 1 ) = ( 3 + 1 ) |
38 |
|
df-4 |
⊢ 4 = ( 3 + 1 ) |
39 |
37 38
|
eqtr4i |
⊢ ( ( 3 − 0 ) + 1 ) = 4 |
40 |
34 39
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) = 4 ) |
41 |
32 40
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 4 ) ) |
42 |
31 41
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 4 ) ) ) |
43 |
|
bpoly0 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 0 BernPoly 𝑋 ) = 1 ) |
44 |
43
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 4 ) = ( 1 / 4 ) ) |
45 |
44
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 4 ) ) = ( 1 · ( 1 / 4 ) ) ) |
46 |
|
4cn |
⊢ 4 ∈ ℂ |
47 |
|
4ne0 |
⊢ 4 ≠ 0 |
48 |
46 47
|
reccli |
⊢ ( 1 / 4 ) ∈ ℂ |
49 |
48
|
mulid2i |
⊢ ( 1 · ( 1 / 4 ) ) = ( 1 / 4 ) |
50 |
45 49
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 4 ) ) = ( 1 / 4 ) ) |
51 |
42 50
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 4 ) ) |
52 |
51 48
|
eqeltrdi |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
53 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 3 C 𝑘 ) = ( 3 C 1 ) ) |
54 |
|
bcn1 |
⊢ ( 3 ∈ ℕ0 → ( 3 C 1 ) = 3 ) |
55 |
1 54
|
ax-mp |
⊢ ( 3 C 1 ) = 3 |
56 |
53 55
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 3 C 𝑘 ) = 3 ) |
57 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) = ( 1 BernPoly 𝑋 ) ) |
58 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 3 − 𝑘 ) = ( 3 − 1 ) ) |
59 |
58
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) = ( ( 3 − 1 ) + 1 ) ) |
60 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
61 |
|
npcan |
⊢ ( ( 3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 3 − 1 ) + 1 ) = 3 ) |
62 |
35 60 61
|
mp2an |
⊢ ( ( 3 − 1 ) + 1 ) = 3 |
63 |
59 62
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) = 3 ) |
64 |
57 63
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) |
65 |
56 64
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 3 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) ) |
66 |
|
bpoly1 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 1 BernPoly 𝑋 ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
67 |
66
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) = ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) / 3 ) ) |
68 |
67
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 3 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) = ( 3 · ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) / 3 ) ) ) |
69 |
|
halfcn |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ |
70 |
|
subcl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
71 |
69 70
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
72 |
|
3ne0 |
⊢ 3 ≠ 0 |
73 |
|
divcan2 |
⊢ ( ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ) → ( 3 · ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) / 3 ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
74 |
35 72 73
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ → ( 3 · ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) / 3 ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
75 |
71 74
|
syl |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 3 · ( ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) / 3 ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
76 |
68 75
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 3 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
77 |
65 76
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1 ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) |
78 |
71
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
79 |
77 78
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1 ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
80 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( 3 C 𝑘 ) = ( 3 C 2 ) ) |
81 |
|
bcn2 |
⊢ ( 3 ∈ ℕ0 → ( 3 C 2 ) = ( ( 3 · ( 3 − 1 ) ) / 2 ) ) |
82 |
1 81
|
ax-mp |
⊢ ( 3 C 2 ) = ( ( 3 · ( 3 − 1 ) ) / 2 ) |
83 |
4
|
oveq2i |
⊢ ( 3 · ( 3 − 1 ) ) = ( 3 · 2 ) |
84 |
83
|
oveq1i |
⊢ ( ( 3 · ( 3 − 1 ) ) / 2 ) = ( ( 3 · 2 ) / 2 ) |
85 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
86 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
87 |
35 85 86
|
divcan4i |
⊢ ( ( 3 · 2 ) / 2 ) = 3 |
88 |
84 87
|
eqtri |
⊢ ( ( 3 · ( 3 − 1 ) ) / 2 ) = 3 |
89 |
82 88
|
eqtri |
⊢ ( 3 C 2 ) = 3 |
90 |
80 89
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( 3 C 𝑘 ) = 3 ) |
91 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) = ( 2 BernPoly 𝑋 ) ) |
92 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( 3 − 𝑘 ) = ( 3 − 2 ) ) |
93 |
92
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) = ( ( 3 − 2 ) + 1 ) ) |
94 |
|
2p1e3 |
⊢ ( 2 + 1 ) = 3 |
95 |
35 85 60 94
|
subaddrii |
⊢ ( 3 − 2 ) = 1 |
96 |
95
|
oveq1i |
⊢ ( ( 3 − 2 ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) |
97 |
96 5
|
eqtr4i |
⊢ ( ( 3 − 2 ) + 1 ) = 2 |
98 |
93 97
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) = 2 ) |
99 |
91 98
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) |
100 |
90 99
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 3 · ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) ) |
101 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
102 |
|
bpolycl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ ) → ( 2 BernPoly 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
103 |
101 102
|
mpan |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 2 BernPoly 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
104 |
|
2cnne0 |
⊢ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) |
105 |
|
div12 |
⊢ ( ( 3 ∈ ℂ ∧ ( 2 BernPoly 𝑋 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( 3 · ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) = ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) · ( 3 / 2 ) ) ) |
106 |
35 104 105
|
mp3an13 |
⊢ ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) ∈ ℂ → ( 3 · ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) = ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) · ( 3 / 2 ) ) ) |
107 |
103 106
|
syl |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 3 · ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) = ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) · ( 3 / 2 ) ) ) |
108 |
35 85 86
|
divcli |
⊢ ( 3 / 2 ) ∈ ℂ |
109 |
|
mulcom |
⊢ ( ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) ∈ ℂ ∧ ( 3 / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) · ( 3 / 2 ) ) = ( ( 3 / 2 ) · ( 2 BernPoly 𝑋 ) ) ) |
110 |
103 108 109
|
sylancl |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) · ( 3 / 2 ) ) = ( ( 3 / 2 ) · ( 2 BernPoly 𝑋 ) ) ) |
111 |
|
bpoly2 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 2 BernPoly 𝑋 ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − 𝑋 ) + ( 1 / 6 ) ) ) |
112 |
111
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 3 / 2 ) · ( 2 BernPoly 𝑋 ) ) = ( ( 3 / 2 ) · ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − 𝑋 ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) |
113 |
|
sqcl |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 𝑋 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
114 |
|
6cn |
⊢ 6 ∈ ℂ |
115 |
|
6re |
⊢ 6 ∈ ℝ |
116 |
|
6pos |
⊢ 0 < 6 |
117 |
115 116
|
gt0ne0ii |
⊢ 6 ≠ 0 |
118 |
114 117
|
reccli |
⊢ ( 1 / 6 ) ∈ ℂ |
119 |
|
subsub |
⊢ ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 6 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − 𝑋 ) + ( 1 / 6 ) ) ) |
120 |
118 119
|
mp3an3 |
⊢ ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − 𝑋 ) + ( 1 / 6 ) ) ) |
121 |
113 120
|
mpancom |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − 𝑋 ) + ( 1 / 6 ) ) ) |
122 |
121
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 3 / 2 ) · ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( 3 / 2 ) · ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − 𝑋 ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) |
123 |
|
subcl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 6 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ∈ ℂ ) |
124 |
118 123
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ∈ ℂ ) |
125 |
|
subdi |
⊢ ( ( ( 3 / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 3 / 2 ) · ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) |
126 |
108 113 124 125
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 3 / 2 ) · ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) |
127 |
112 122 126
|
3eqtr2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 3 / 2 ) · ( 2 BernPoly 𝑋 ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) |
128 |
107 110 127
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 3 · ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) |
129 |
100 128
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2 ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) |
130 |
|
mulcl |
⊢ ( ( ( 3 / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
131 |
108 113 130
|
sylancr |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
132 |
|
mulcl |
⊢ ( ( ( 3 / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ∈ ℂ ) |
133 |
108 124 132
|
sylancr |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ∈ ℂ ) |
134 |
131 133
|
subcld |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
135 |
134
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2 ) → ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
136 |
129 135
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2 ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
137 |
52 79 136
|
3jaodan |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ) ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
138 |
27 137
|
sylan2b |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
139 |
5
|
eqeq2i |
⊢ ( 𝑘 = 2 ↔ 𝑘 = ( 1 + 1 ) ) |
140 |
139 100
|
sylbir |
⊢ ( 𝑘 = ( 1 + 1 ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 3 · ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) ) |
141 |
10 138 140
|
fsump1 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 1 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) + ( 3 · ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) ) ) |
142 |
128
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 1 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) + ( 3 · ( ( 2 BernPoly 𝑋 ) / 2 ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 1 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) |
143 |
15
|
sumeq1i |
⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 1 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) |
144 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
145 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
146 |
144 145
|
eleqtri |
⊢ 0 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
147 |
146
|
a1i |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
148 |
13 16
|
eqtri |
⊢ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , 1 } |
149 |
148
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ↔ 𝑘 ∈ { 0 , 1 } ) |
150 |
25
|
elpr |
⊢ ( 𝑘 ∈ { 0 , 1 } ↔ ( 𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ) ) |
151 |
149 150
|
bitri |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ↔ ( 𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ) ) |
152 |
52 79
|
jaodan |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ) ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
153 |
151 152
|
sylan2b |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
154 |
14
|
eqeq2i |
⊢ ( 𝑘 = ( 0 + 1 ) ↔ 𝑘 = 1 ) |
155 |
154 65
|
sylbi |
⊢ ( 𝑘 = ( 0 + 1 ) → ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 3 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) ) |
156 |
147 153 155
|
fsump1 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) + ( 3 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) ) ) |
157 |
50 48
|
eqeltrdi |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 4 ) ) ∈ ℂ ) |
158 |
42
|
fsum1 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 4 ) ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 4 ) ) ) |
159 |
11 157 158
|
sylancr |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 · ( ( 0 BernPoly 𝑋 ) / 4 ) ) ) |
160 |
159 50
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 4 ) ) |
161 |
160 76
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) + ( 3 · ( ( 1 BernPoly 𝑋 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
162 |
156 161
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
163 |
143 162
|
syl5eqr |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 1 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
164 |
163
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 1 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) |
165 |
|
addcl |
⊢ ( ( ( 1 / 4 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
166 |
48 71 165
|
sylancr |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
167 |
166 131 133
|
addsub12d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) |
168 |
164 167
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 1 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) |
169 |
133 166
|
negsubdi2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → - ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) − ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) |
170 |
|
subdi |
⊢ ( ( ( 3 / 2 ) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 6 ) ∈ ℂ ) → ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) ) |
171 |
108 118 170
|
mp3an13 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) ) |
172 |
|
addsub12 |
⊢ ( ( ( 1 / 4 ) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) = ( 𝑋 + ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
173 |
48 69 172
|
mp3an13 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) = ( 𝑋 + ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
174 |
171 173
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) − ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) − ( 𝑋 + ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) ) |
175 |
|
mulcl |
⊢ ( ( ( 3 / 2 ) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ) → ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
176 |
108 175
|
mpan |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
177 |
108 118
|
mulcli |
⊢ ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ∈ ℂ |
178 |
|
negsub |
⊢ ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) + - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) ) |
179 |
176 177 178
|
sylancl |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) + - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) ) |
180 |
179
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) + - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) − ( 𝑋 + ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) − ( 𝑋 + ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) ) |
181 |
69 48
|
negsubdi2i |
⊢ - ( ( 1 / 2 ) − ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) |
182 |
85 35 85
|
mul12i |
⊢ ( 2 · ( 3 · 2 ) ) = ( 3 · ( 2 · 2 ) ) |
183 |
|
3t2e6 |
⊢ ( 3 · 2 ) = 6 |
184 |
183
|
oveq2i |
⊢ ( 2 · ( 3 · 2 ) ) = ( 2 · 6 ) |
185 |
|
2t2e4 |
⊢ ( 2 · 2 ) = 4 |
186 |
185
|
oveq2i |
⊢ ( 3 · ( 2 · 2 ) ) = ( 3 · 4 ) |
187 |
182 184 186
|
3eqtr3i |
⊢ ( 2 · 6 ) = ( 3 · 4 ) |
188 |
187
|
oveq2i |
⊢ ( ( 3 · 1 ) / ( 2 · 6 ) ) = ( ( 3 · 1 ) / ( 3 · 4 ) ) |
189 |
46 47
|
pm3.2i |
⊢ ( 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0 ) |
190 |
35 72
|
pm3.2i |
⊢ ( 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ) |
191 |
|
divcan5 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0 ) ∧ ( 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ) ) → ( ( 3 · 1 ) / ( 3 · 4 ) ) = ( 1 / 4 ) ) |
192 |
60 189 190 191
|
mp3an |
⊢ ( ( 3 · 1 ) / ( 3 · 4 ) ) = ( 1 / 4 ) |
193 |
188 192
|
eqtri |
⊢ ( ( 3 · 1 ) / ( 2 · 6 ) ) = ( 1 / 4 ) |
194 |
35 85 60 114 86 117
|
divmuldivi |
⊢ ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) = ( ( 3 · 1 ) / ( 2 · 6 ) ) |
195 |
|
2t1e2 |
⊢ ( 2 · 1 ) = 2 |
196 |
195 5
|
eqtri |
⊢ ( 2 · 1 ) = ( 1 + 1 ) |
197 |
196 185
|
oveq12i |
⊢ ( ( 2 · 1 ) / ( 2 · 2 ) ) = ( ( 1 + 1 ) / 4 ) |
198 |
|
divcan5 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( ( 2 · 1 ) / ( 2 · 2 ) ) = ( 1 / 2 ) ) |
199 |
60 104 104 198
|
mp3an |
⊢ ( ( 2 · 1 ) / ( 2 · 2 ) ) = ( 1 / 2 ) |
200 |
60 60 46 47
|
divdiri |
⊢ ( ( 1 + 1 ) / 4 ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) |
201 |
197 199 200
|
3eqtr3ri |
⊢ ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 1 / 2 ) |
202 |
69 48 48 201
|
subaddrii |
⊢ ( ( 1 / 2 ) − ( 1 / 4 ) ) = ( 1 / 4 ) |
203 |
193 194 202
|
3eqtr4ri |
⊢ ( ( 1 / 2 ) − ( 1 / 4 ) ) = ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) |
204 |
203
|
negeqi |
⊢ - ( ( 1 / 2 ) − ( 1 / 4 ) ) = - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) |
205 |
181 204
|
eqtr3i |
⊢ ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) = - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) |
206 |
48 69
|
subcli |
⊢ ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ |
207 |
177
|
negcli |
⊢ - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ∈ ℂ |
208 |
206 207
|
subeq0i |
⊢ ( ( ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) − - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) = 0 ↔ ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) = - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) |
209 |
205 208
|
mpbir |
⊢ ( ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) − - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) = 0 |
210 |
209
|
oveq2i |
⊢ ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − 𝑋 ) − ( ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) − - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − 𝑋 ) − 0 ) |
211 |
|
id |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ ) |
212 |
206
|
a1i |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
213 |
207
|
a1i |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ∈ ℂ ) |
214 |
176 211 212 213
|
subadd4d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − 𝑋 ) − ( ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) − - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) + - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) − ( 𝑋 + ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) ) |
215 |
|
subdir |
⊢ ( ( ( 3 / 2 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ) → ( ( ( 3 / 2 ) − 1 ) · 𝑋 ) = ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − ( 1 · 𝑋 ) ) ) |
216 |
108 60 215
|
mp3an12 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 3 / 2 ) − 1 ) · 𝑋 ) = ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − ( 1 · 𝑋 ) ) ) |
217 |
|
divsubdir |
⊢ ( ( 3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( ( 3 − 2 ) / 2 ) = ( ( 3 / 2 ) − ( 2 / 2 ) ) ) |
218 |
35 85 104 217
|
mp3an |
⊢ ( ( 3 − 2 ) / 2 ) = ( ( 3 / 2 ) − ( 2 / 2 ) ) |
219 |
95
|
oveq1i |
⊢ ( ( 3 − 2 ) / 2 ) = ( 1 / 2 ) |
220 |
|
2div2e1 |
⊢ ( 2 / 2 ) = 1 |
221 |
220
|
oveq2i |
⊢ ( ( 3 / 2 ) − ( 2 / 2 ) ) = ( ( 3 / 2 ) − 1 ) |
222 |
218 219 221
|
3eqtr3ri |
⊢ ( ( 3 / 2 ) − 1 ) = ( 1 / 2 ) |
223 |
222
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( 3 / 2 ) − 1 ) · 𝑋 ) = ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) |
224 |
223
|
a1i |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 3 / 2 ) − 1 ) · 𝑋 ) = ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) |
225 |
|
mulid2 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 1 · 𝑋 ) = 𝑋 ) |
226 |
225
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − ( 1 · 𝑋 ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − 𝑋 ) ) |
227 |
216 224 226
|
3eqtr3rd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − 𝑋 ) = ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) |
228 |
227
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − 𝑋 ) − 0 ) = ( ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) − 0 ) ) |
229 |
|
mulcl |
⊢ ( ( ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ) → ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
230 |
69 229
|
mpan |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
231 |
230
|
subid1d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) − 0 ) = ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) |
232 |
228 231
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) − 𝑋 ) − 0 ) = ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) |
233 |
210 214 232
|
3eqtr3a |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( ( 3 / 2 ) · 𝑋 ) + - ( ( 3 / 2 ) · ( 1 / 6 ) ) ) − ( 𝑋 + ( ( 1 / 4 ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) |
234 |
174 180 233
|
3eqtr2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) − ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) |
235 |
234
|
negeqd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → - ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) − ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) ) = - ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) |
236 |
169 235
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) = - ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) |
237 |
236
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 4 ) + ( 𝑋 − ( 1 / 2 ) ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) + - ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) ) |
238 |
131 230
|
negsubd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) + - ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) ) |
239 |
168 237 238
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 1 ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 − ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) ) |
240 |
141 142 239
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) ) |
241 |
8 240
|
syl5eq |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 3 − 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) ) |
242 |
241
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 𝑋 ↑ 3 ) − Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 3 − 1 ) ) ( ( 3 C 𝑘 ) · ( ( 𝑘 BernPoly 𝑋 ) / ( ( 3 − 𝑘 ) + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 3 ) − ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) ) ) |
243 |
|
expcl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑋 ↑ 3 ) ∈ ℂ ) |
244 |
1 243
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 𝑋 ↑ 3 ) ∈ ℂ ) |
245 |
244 131 230
|
subsubd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 𝑋 ↑ 3 ) − ( ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) − ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 3 ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) ) |
246 |
3 242 245
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( 3 BernPoly 𝑋 ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 3 ) − ( ( 3 / 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) · 𝑋 ) ) ) |