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Theorem cdleme20d

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, last paragraph on p. 114, second line. D , F , Y , G represent s_2, f(s), t_2, f(t). (Contributed by NM, 17-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme19.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme19.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme19.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme19.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme19.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme19.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
cdleme19.f ⊢ 𝐹 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme19.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme19.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
cdleme19.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 )
cdleme20.v ⊢ 𝑉 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 )
Assertion cdleme20d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ ( 𝐷 ∨ 𝑌 ) ) = 𝑉 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme19.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme19.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme19.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme19.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme19.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdleme19.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7 cdleme19.f ⊢ 𝐹 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) )
8 cdleme19.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9 cdleme19.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
10 cdleme19.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 )
11 cdleme20.v ⊢ 𝑉 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 )
12 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
13 hlol ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
14 12 13 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐾 ∈ OL )
15 12 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
16 simp11r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
17 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
18 simp13l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
19 simp21l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
20 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
21 1 2 3 4 5 6 7 20 cdleme1b ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 12 16 17 18 19 21 syl23anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 simp22l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
24 1 2 3 4 5 6 8 20 cdleme1b ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 12 16 17 18 23 24 syl23anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 20 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 15 22 25 26 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 20 5 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 16 28 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 simp23l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
31 20 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 12 30 19 31 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 20 4 atbase ⊢ ( 𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 23 33 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 20 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36 15 32 34 35 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
37 20 3 latmassOLD ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ ( 𝑊 ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) ) )
38 14 27 29 36 37 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ ( 𝑊 ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) ) )
39 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
40 12 30 19 39 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑆 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
41 20 4 atbase ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
42 19 41 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 20 1 2 latjlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) )
44 15 42 32 34 43 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) )
45 40 44 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) )
46 20 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
47 12 19 23 46 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
48 20 1 3 latleeqm1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) = ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
49 15 47 36 48 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) = ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
50 45 49 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) = ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
51 50 oveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) )
52 11 51 eqtr4id ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑉 = ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑊 ) )
53 20 3 latm32 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) )
54 14 47 36 29 53 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) )
55 simp1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) )
56 simp21 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) )
57 simp22 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) )
58 simp31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) )
59 simp32l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
60 simp32r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
61 1 2 3 4 5 6 7 8 cdleme16 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ 𝑊 ) )
62 55 56 57 58 59 60 61 syl132anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ 𝑊 ) )
63 62 oveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) )
64 54 63 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) )
65 52 64 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑉 = ( ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) )
66 simp23 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) )
67 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
68 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdleme20c ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝐷 ∨ 𝑌 ) = ( ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) )
69 12 16 66 56 23 59 67 68 syl232anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝐷 ∨ 𝑌 ) = ( ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) )
70 20 3 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) = ( 𝑊 ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) )
71 15 36 29 70 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) = ( 𝑊 ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) )
72 69 71 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝐷 ∨ 𝑌 ) = ( 𝑊 ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) )
73 72 oveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ ( 𝐷 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ ( 𝑊 ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∨ 𝑇 ) ) ) )
74 38 65 73 3eqtr4rd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝐹 ∨ 𝐺 ) ∧ ( 𝐷 ∨ 𝑌 ) ) = 𝑉 )