Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
chpmat0.c |
⊢ 𝐶 = ( ∅ CharPlyMat 𝑅 ) |
2 |
|
0fin |
⊢ ∅ ∈ Fin |
3 |
|
id |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring ) |
4 |
|
0ex |
⊢ ∅ ∈ V |
5 |
4
|
snid |
⊢ ∅ ∈ { ∅ } |
6 |
|
mat0dimbas0 |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( Base ‘ ( ∅ Mat 𝑅 ) ) = { ∅ } ) |
7 |
5 6
|
eleqtrrid |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ ( Base ‘ ( ∅ Mat 𝑅 ) ) ) |
8 |
|
eqid |
⊢ ( ∅ Mat 𝑅 ) = ( ∅ Mat 𝑅 ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( ∅ Mat 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( ∅ Mat 𝑅 ) ) |
10 |
|
eqid |
⊢ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) = ( Poly1 ‘ 𝑅 ) |
11 |
|
eqid |
⊢ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) = ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) |
12 |
|
eqid |
⊢ ( ∅ maDet ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) = ( ∅ maDet ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) |
14 |
|
eqid |
⊢ ( var1 ‘ 𝑅 ) = ( var1 ‘ 𝑅 ) |
15 |
|
eqid |
⊢ ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) |
16 |
|
eqid |
⊢ ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) = ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) |
17 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) |
18 |
1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
|
chpmatval |
⊢ ( ( ∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ ( Base ‘ ( ∅ Mat 𝑅 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ ∅ ) = ( ( ∅ maDet ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) ) ) |
19 |
2 3 7 18
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 𝐶 ‘ ∅ ) = ( ( ∅ maDet ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) ) ) |
20 |
10
|
ply1ring |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ∈ Ring ) |
21 |
|
mdet0pr |
⊢ ( ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ∈ Ring → ( ∅ maDet ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) = { 〈 ∅ , ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) 〉 } ) |
22 |
21
|
fveq1d |
⊢ ( ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ∈ Ring → ( ( ∅ maDet ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) ) = ( { 〈 ∅ , ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) 〉 } ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) ) ) |
23 |
20 22
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ( ∅ maDet ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) ) = ( { 〈 ∅ , ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) 〉 } ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) ) ) |
24 |
11
|
mat0dimid |
⊢ ( ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ∈ Ring → ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = ∅ ) |
25 |
20 24
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = ∅ ) |
26 |
25
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) = ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ∅ ) ) |
27 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) |
28 |
14 10 27
|
vr1cl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( var1 ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) |
29 |
11
|
mat0dimscm |
⊢ ( ( ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ∈ Ring ∧ ( var1 ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ∅ ) = ∅ ) |
30 |
20 28 29
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ∅ ) = ∅ ) |
31 |
26 30
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) = ∅ ) |
32 |
|
d0mat2pmat |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) = ∅ ) |
33 |
31 32
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) = ( ∅ ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ∅ ) ) |
34 |
11
|
matring |
⊢ ( ( ∅ ∈ Fin ∧ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ∈ Ring ) → ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ∈ Ring ) |
35 |
2 20 34
|
sylancr |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ∈ Ring ) |
36 |
|
ringgrp |
⊢ ( ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ∈ Ring → ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ∈ Grp ) |
37 |
35 36
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ∈ Grp ) |
38 |
|
mat0dimbas0 |
⊢ ( ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ∈ Ring → ( Base ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = { ∅ } ) |
39 |
20 38
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( Base ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = { ∅ } ) |
40 |
5 39
|
eleqtrrid |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ ( Base ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
41 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = ( Base ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) |
42 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = ( 0g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) |
43 |
41 42 13
|
grpsubid |
⊢ ( ( ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ∈ Grp ∧ ∅ ∈ ( Base ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) → ( ∅ ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ∅ ) = ( 0g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
44 |
37 40 43
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ∅ ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ∅ ) = ( 0g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
45 |
33 44
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) = ( 0g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
46 |
45
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( { 〈 ∅ , ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) 〉 } ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) ) = ( { 〈 ∅ , ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) 〉 } ‘ ( 0g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ) |
47 |
11
|
mat0dim0 |
⊢ ( ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ∈ Ring → ( 0g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = ∅ ) |
48 |
20 47
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 0g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = ∅ ) |
49 |
48
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( { 〈 ∅ , ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) 〉 } ‘ ( 0g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) = ( { 〈 ∅ , ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) 〉 } ‘ ∅ ) ) |
50 |
|
fvex |
⊢ ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ∈ V |
51 |
4 50
|
fvsn |
⊢ ( { 〈 ∅ , ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) 〉 } ‘ ∅ ) = ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) |
52 |
49 51
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( { 〈 ∅ , ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) 〉 } ‘ ( 0g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) = ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) |
53 |
46 52
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( { 〈 ∅ , ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) 〉 } ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) ) = ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) |
54 |
23 53
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ( ∅ maDet ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( 1r ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) ( -g ‘ ( ∅ Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ( ( ∅ matToPolyMat 𝑅 ) ‘ ∅ ) ) ) = ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) |
55 |
19 54
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 𝐶 ‘ ∅ ) = ( 1r ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) |