Metamath Proof Explorer

Theorem fmtnoprmfac1

Description: Divisor of Fermat number (special form of Euler's result, see fmtnofac1 ): Let F_n be a Fermat number. Let p be a prime divisor of F_n. Then p is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021)

Ref Expression
Assertion fmtnoprmfac1 ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 breq1 ⊢ ( 𝑃 = 2 → ( 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ↔ 2 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) )
2 1 adantr ⊢ ( ( 𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ↔ 2 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) )
3 nnnn0 ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0 )
4 fmtnoodd ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) )
5 3 4 syl ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) )
6 5 adantl ⊢ ( ( 𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ¬ 2 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) )
7 6 pm2.21d ⊢ ( ( 𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 2 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
8 2 7 sylbid ⊢ ( ( 𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
9 8 a1d ⊢ ( ( 𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑃 ∈ ℙ → ( 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) ) )
10 9 ex ⊢ ( 𝑃 = 2 → ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑃 ∈ ℙ → ( 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
11 10 3impd ⊢ ( 𝑃 = 2 → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
12 simpr1 ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
13 neqne ⊢ ( ¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2 )
14 13 anim2i ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2 ) → ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2 ) )
15 eldifsn ⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ↔ ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2 ) )
16 14 15 sylibr ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2 ) → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) )
17 16 ex ⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → ( ¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ) )
18 17 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) → ( ¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ) )
19 18 impcom ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) )
20 simpr3 ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) )
21 fmtnoprmfac1lem ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) → ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) )
22 12 19 20 21 syl3anc ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) )
23 prmnn ⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ )
24 23 ad2antll ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → 𝑃 ∈ ℕ )
25 2z ⊢ 2 ∈ ℤ
26 25 a1i ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → 2 ∈ ℤ )
27 13 necomd ⊢ ( ¬ 𝑃 = 2 → 2 ≠ 𝑃 )
28 27 adantr ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → 2 ≠ 𝑃 )
29 2prm ⊢ 2 ∈ ℙ
30 29 a1i ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℙ )
31 30 anim1i ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) → ( 2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) )
32 31 adantl ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( 2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) )
33 prmrp ⊢ ( ( 2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) → ( ( 2 gcd 𝑃 ) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃 ) )
34 32 33 syl ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ( 2 gcd 𝑃 ) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃 ) )
35 28 34 mpbird ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( 2 gcd 𝑃 ) = 1 )
36 odzphi ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ ( 2 gcd 𝑃 ) = 1 ) → ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) ∥ ( ϕ ‘ 𝑃 ) )
37 24 26 35 36 syl3anc ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) ∥ ( ϕ ‘ 𝑃 ) )
38 phiprm ⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → ( ϕ ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 − 1 ) )
39 38 ad2antll ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ϕ ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 − 1 ) )
40 39 breq2d ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) ∥ ( ϕ ‘ 𝑃 ) ↔ ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) ) )
41 breq1 ⊢ ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) ↔ ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) ) )
42 41 adantl ⊢ ( ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) ∧ ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) ↔ ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) ) )
43 2nn ⊢ 2 ∈ ℕ
44 43 a1i ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ )
45 peano2nn ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ )
46 45 nnnn0d ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 )
47 44 46 nnexpcld ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ )
48 23 nnnn0d ⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0 )
49 prmuz2 ⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) )
50 eluzle ⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 2 ≤ 𝑃 )
51 49 50 syl ⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑃 )
52 nn0ge2m1nn ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑃 ) → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ )
53 48 51 52 syl2anc ⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ )
54 47 53 anim12i ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ ) )
55 54 adantl ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ ) )
56 nndivides ⊢ ( ( ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℕ ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( 𝑃 − 1 ) ) )
57 55 56 syl ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℕ ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( 𝑃 − 1 ) ) )
58 eqcom ⊢ ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( 𝑃 − 1 ) ↔ ( 𝑃 − 1 ) = ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
59 58 a1i ⊢ ( ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( 𝑃 − 1 ) ↔ ( 𝑃 − 1 ) = ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) )
60 23 nncnd ⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ )
61 60 adantl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) → 𝑃 ∈ ℂ )
62 61 adantr ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑃 ∈ ℂ )
63 1cnd ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 1 ∈ ℂ )
64 nncn ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ )
65 64 adantl ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
66 peano2nn0 ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 )
67 3 66 syl ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 )
68 44 67 nnexpcld ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ )
69 68 nncnd ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℂ )
70 69 adantr ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) → ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℂ )
71 70 adantr ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℂ )
72 65 71 mulcld ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
73 62 63 72 subadd2d ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑃 − 1 ) = ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) = 𝑃 ) )
74 73 adantll ⊢ ( ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑃 − 1 ) = ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) = 𝑃 ) )
75 eqcom ⊢ ( ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) )
76 75 a1i ⊢ ( ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
77 59 74 76 3bitrd ⊢ ( ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( 𝑃 − 1 ) ↔ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
78 77 rexbidva ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ℕ ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( 𝑃 − 1 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
79 78 biimpd ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ℕ ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( 𝑃 − 1 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
80 57 79 sylbid ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
81 80 adantr ⊢ ( ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) ∧ ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
82 42 81 sylbid ⊢ ( ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) ∧ ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
83 82 ex ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) ) )
84 83 com23 ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) ∥ ( 𝑃 − 1 ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) ) )
85 40 84 sylbid ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) ∥ ( ϕ ‘ 𝑃 ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) ) )
86 37 85 mpd ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ) ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
87 86 3adantr3 ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( odℤ ‘ 𝑃 ) ‘ 2 ) = ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
88 22 87 mpd ⊢ ( ( ¬ 𝑃 = 2 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) )
89 88 ex ⊢ ( ¬ 𝑃 = 2 → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
90 11 89 pm2.61i ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ ( FermatNo ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ( ( 𝑘 · ( 2 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) ) + 1 ) )