| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
3nn0 |
⊢ 3 ∈ ℕ0 |
| 2 |
|
fsumkthpow |
⊢ ( ( 3 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑇 ) ( 𝑘 ↑ 3 ) = ( ( ( ( 3 + 1 ) BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) − ( ( 3 + 1 ) BernPoly 0 ) ) / ( 3 + 1 ) ) ) |
| 3 |
1 2
|
mpan |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑇 ) ( 𝑘 ↑ 3 ) = ( ( ( ( 3 + 1 ) BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) − ( ( 3 + 1 ) BernPoly 0 ) ) / ( 3 + 1 ) ) ) |
| 4 |
|
df-4 |
⊢ 4 = ( 3 + 1 ) |
| 5 |
4
|
oveq1i |
⊢ ( 4 BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) = ( ( 3 + 1 ) BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) |
| 6 |
4
|
oveq1i |
⊢ ( 4 BernPoly 0 ) = ( ( 3 + 1 ) BernPoly 0 ) |
| 7 |
5 6
|
oveq12i |
⊢ ( ( 4 BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) − ( 4 BernPoly 0 ) ) = ( ( ( 3 + 1 ) BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) − ( ( 3 + 1 ) BernPoly 0 ) ) |
| 8 |
7 4
|
oveq12i |
⊢ ( ( ( 4 BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) − ( 4 BernPoly 0 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( 3 + 1 ) BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) − ( ( 3 + 1 ) BernPoly 0 ) ) / ( 3 + 1 ) ) |
| 9 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → 𝑇 ∈ ℂ ) |
| 10 |
|
peano2cn |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 11 |
9 10
|
syl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 12 |
|
bpoly4 |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( 4 BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) ) |
| 13 |
11 12
|
syl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( 4 BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) ) |
| 14 |
|
4nn |
⊢ 4 ∈ ℕ |
| 15 |
|
0exp |
⊢ ( 4 ∈ ℕ → ( 0 ↑ 4 ) = 0 ) |
| 16 |
14 15
|
ax-mp |
⊢ ( 0 ↑ 4 ) = 0 |
| 17 |
|
3nn |
⊢ 3 ∈ ℕ |
| 18 |
|
0exp |
⊢ ( 3 ∈ ℕ → ( 0 ↑ 3 ) = 0 ) |
| 19 |
17 18
|
ax-mp |
⊢ ( 0 ↑ 3 ) = 0 |
| 20 |
19
|
oveq2i |
⊢ ( 2 · ( 0 ↑ 3 ) ) = ( 2 · 0 ) |
| 21 |
|
2t0e0 |
⊢ ( 2 · 0 ) = 0 |
| 22 |
20 21
|
eqtri |
⊢ ( 2 · ( 0 ↑ 3 ) ) = 0 |
| 23 |
16 22
|
oveq12i |
⊢ ( ( 0 ↑ 4 ) − ( 2 · ( 0 ↑ 3 ) ) ) = ( 0 − 0 ) |
| 24 |
|
0m0e0 |
⊢ ( 0 − 0 ) = 0 |
| 25 |
23 24
|
eqtri |
⊢ ( ( 0 ↑ 4 ) − ( 2 · ( 0 ↑ 3 ) ) ) = 0 |
| 26 |
|
sq0 |
⊢ ( 0 ↑ 2 ) = 0 |
| 27 |
25 26
|
oveq12i |
⊢ ( ( ( 0 ↑ 4 ) − ( 2 · ( 0 ↑ 3 ) ) ) + ( 0 ↑ 2 ) ) = ( 0 + 0 ) |
| 28 |
|
00id |
⊢ ( 0 + 0 ) = 0 |
| 29 |
27 28
|
eqtri |
⊢ ( ( ( 0 ↑ 4 ) − ( 2 · ( 0 ↑ 3 ) ) ) + ( 0 ↑ 2 ) ) = 0 |
| 30 |
29
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( ( 0 ↑ 4 ) − ( 2 · ( 0 ↑ 3 ) ) ) + ( 0 ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( 0 − ( 1 / ; 3 0 ) ) |
| 31 |
|
0cn |
⊢ 0 ∈ ℂ |
| 32 |
|
bpoly4 |
⊢ ( 0 ∈ ℂ → ( 4 BernPoly 0 ) = ( ( ( ( 0 ↑ 4 ) − ( 2 · ( 0 ↑ 3 ) ) ) + ( 0 ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) ) |
| 33 |
31 32
|
ax-mp |
⊢ ( 4 BernPoly 0 ) = ( ( ( ( 0 ↑ 4 ) − ( 2 · ( 0 ↑ 3 ) ) ) + ( 0 ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) |
| 34 |
|
df-neg |
⊢ - ( 1 / ; 3 0 ) = ( 0 − ( 1 / ; 3 0 ) ) |
| 35 |
30 33 34
|
3eqtr4i |
⊢ ( 4 BernPoly 0 ) = - ( 1 / ; 3 0 ) |
| 36 |
35
|
a1i |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( 4 BernPoly 0 ) = - ( 1 / ; 3 0 ) ) |
| 37 |
13 36
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( 4 BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) − ( 4 BernPoly 0 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) − - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) |
| 38 |
|
4nn0 |
⊢ 4 ∈ ℕ0 |
| 39 |
|
expcl |
⊢ ( ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) ∈ ℂ ) |
| 40 |
38 39
|
mpan2 |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) ∈ ℂ ) |
| 41 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
| 42 |
|
expcl |
⊢ ( ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ∈ ℂ ) |
| 43 |
1 42
|
mpan2 |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ∈ ℂ ) |
| 44 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ∈ ℂ ) |
| 45 |
41 43 44
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ∈ ℂ ) |
| 46 |
40 45
|
subcld |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 47 |
|
sqcl |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
| 48 |
46 47
|
addcld |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 49 |
10 48
|
syl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 50 |
9 49
|
syl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 51 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
| 52 |
1 51
|
deccl |
⊢ ; 3 0 ∈ ℕ0 |
| 53 |
52
|
nn0cni |
⊢ ; 3 0 ∈ ℂ |
| 54 |
52
|
nn0rei |
⊢ ; 3 0 ∈ ℝ |
| 55 |
|
10pos |
⊢ 0 < ; 1 0 |
| 56 |
17 51 51 55
|
declti |
⊢ 0 < ; 3 0 |
| 57 |
54 56
|
gt0ne0ii |
⊢ ; 3 0 ≠ 0 |
| 58 |
53 57
|
reccli |
⊢ ( 1 / ; 3 0 ) ∈ ℂ |
| 59 |
|
subcl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 1 / ; 3 0 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) ∈ ℂ ) |
| 60 |
50 58 59
|
sylancl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) ∈ ℂ ) |
| 61 |
|
subneg |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 1 / ; 3 0 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) − - ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) + ( 1 / ; 3 0 ) ) ) |
| 62 |
60 58 61
|
sylancl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) − - ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) + ( 1 / ; 3 0 ) ) ) |
| 63 |
|
npcan |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 1 / ; 3 0 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) + ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 64 |
49 58 63
|
sylancl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) + ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 65 |
9 64
|
syl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) + ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 66 |
|
2p2e4 |
⊢ ( 2 + 2 ) = 4 |
| 67 |
66
|
eqcomi |
⊢ 4 = ( 2 + 2 ) |
| 68 |
67
|
oveq2i |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) = ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 2 ) ) |
| 69 |
|
df-3 |
⊢ 3 = ( 2 + 1 ) |
| 70 |
69
|
oveq2i |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) = ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) |
| 71 |
70
|
oveq2i |
⊢ ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) = ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) ) |
| 72 |
68 71
|
oveq12i |
⊢ ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) ) ) |
| 73 |
72
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) |
| 74 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
| 75 |
|
expadd |
⊢ ( ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 2 ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 76 |
74 74 75
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 2 ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 77 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
| 78 |
|
expadd |
⊢ ( ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) |
| 79 |
74 77 78
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) |
| 80 |
79
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) |
| 81 |
76 80
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) ) |
| 82 |
10 81
|
syl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) ) |
| 83 |
10
|
sqcld |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
| 84 |
83
|
mulid1d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · 1 ) = ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) |
| 85 |
84
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · 1 ) ) |
| 86 |
82 85
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) + ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · 1 ) ) ) |
| 87 |
10
|
exp1d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) = ( 𝑇 + 1 ) ) |
| 88 |
87
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) = ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) |
| 89 |
88
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ) |
| 90 |
89
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ) ) |
| 91 |
87 10
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ∈ ℂ ) |
| 92 |
|
mul12 |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) |
| 93 |
41 83 91 92
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) |
| 94 |
93
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) ) |
| 95 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 𝑇 + 1 ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
| 96 |
41 10 95
|
sylancr |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
| 97 |
83 83 96
|
subdid |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ) ) |
| 98 |
90 94 97
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ) ) |
| 99 |
98
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) + ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · 1 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ) + ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · 1 ) ) ) |
| 100 |
83 96
|
subcld |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 101 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
| 102 |
|
adddi |
⊢ ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ) + ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · 1 ) ) ) |
| 103 |
101 102
|
mp3an3 |
⊢ ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ) + ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · 1 ) ) ) |
| 104 |
83 100 103
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) ) + ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · 1 ) ) ) |
| 105 |
99 104
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) + ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · 1 ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) + 1 ) ) ) |
| 106 |
|
adddi |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) = ( ( 2 · 𝑇 ) + ( 2 · 1 ) ) ) |
| 107 |
41 101 106
|
mp3an13 |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) = ( ( 2 · 𝑇 ) + ( 2 · 1 ) ) ) |
| 108 |
|
2t1e2 |
⊢ ( 2 · 1 ) = 2 |
| 109 |
108
|
oveq2i |
⊢ ( ( 2 · 𝑇 ) + ( 2 · 1 ) ) = ( ( 2 · 𝑇 ) + 2 ) |
| 110 |
107 109
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) = ( ( 2 · 𝑇 ) + 2 ) ) |
| 111 |
110
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) − 1 ) = ( ( ( 2 · 𝑇 ) + 2 ) − 1 ) ) |
| 112 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 2 · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
| 113 |
41 112
|
mpan |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 2 · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
| 114 |
|
addsubass |
⊢ ( ( ( 2 · 𝑇 ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( 2 · 𝑇 ) + 2 ) − 1 ) = ( ( 2 · 𝑇 ) + ( 2 − 1 ) ) ) |
| 115 |
41 101 114
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 2 · 𝑇 ) ∈ ℂ → ( ( ( 2 · 𝑇 ) + 2 ) − 1 ) = ( ( 2 · 𝑇 ) + ( 2 − 1 ) ) ) |
| 116 |
113 115
|
syl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 2 · 𝑇 ) + 2 ) − 1 ) = ( ( 2 · 𝑇 ) + ( 2 − 1 ) ) ) |
| 117 |
|
2m1e1 |
⊢ ( 2 − 1 ) = 1 |
| 118 |
117
|
oveq2i |
⊢ ( ( 2 · 𝑇 ) + ( 2 − 1 ) ) = ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) |
| 119 |
116 118
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 2 · 𝑇 ) + 2 ) − 1 ) = ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) ) |
| 120 |
111 119
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) − 1 ) = ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) ) |
| 121 |
120
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) ) ) |
| 122 |
|
subsub |
⊢ ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) − 1 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) + 1 ) ) |
| 123 |
101 122
|
mp3an3 |
⊢ ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) − 1 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) + 1 ) ) |
| 124 |
83 96 123
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) − 1 ) ) = ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) + 1 ) ) |
| 125 |
|
sqcl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 𝑇 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
| 126 |
|
peano2cn |
⊢ ( ( 2 · 𝑇 ) ∈ ℂ → ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 127 |
113 126
|
syl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 128 |
|
binom21 |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑇 ↑ 2 ) + ( 2 · 𝑇 ) ) + 1 ) ) |
| 129 |
|
addass |
⊢ ( ( ( 𝑇 ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · 𝑇 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝑇 ↑ 2 ) + ( 2 · 𝑇 ) ) + 1 ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) + ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) ) ) |
| 130 |
101 129
|
mp3an3 |
⊢ ( ( ( 𝑇 ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · 𝑇 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝑇 ↑ 2 ) + ( 2 · 𝑇 ) ) + 1 ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) + ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) ) ) |
| 131 |
125 113 130
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 ↑ 2 ) + ( 2 · 𝑇 ) ) + 1 ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) + ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) ) ) |
| 132 |
128 131
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) + ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) ) ) |
| 133 |
125 127 132
|
mvrraddd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · 𝑇 ) + 1 ) ) = ( 𝑇 ↑ 2 ) ) |
| 134 |
121 124 133
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) + 1 ) = ( 𝑇 ↑ 2 ) ) |
| 135 |
134
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑇 + 1 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( 𝑇 ↑ 2 ) ) ) |
| 136 |
83 125
|
mulcomd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( 𝑇 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 137 |
105 135 136
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 1 ) ) ) ) + ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) · 1 ) ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 138 |
86 137
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 139 |
9 138
|
syl |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 140 |
73 139
|
eqtrid |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 141 |
65 140
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( ( ( ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 4 ) − ( 2 · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) − ( 1 / ; 3 0 ) ) + ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 142 |
37 62 141
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( 4 BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) − ( 4 BernPoly 0 ) ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) ) |
| 143 |
142
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( ( 4 BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) − ( 4 BernPoly 0 ) ) / 4 ) = ( ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) / 4 ) ) |
| 144 |
8 143
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → ( ( ( ( 3 + 1 ) BernPoly ( 𝑇 + 1 ) ) − ( ( 3 + 1 ) BernPoly 0 ) ) / ( 3 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) / 4 ) ) |
| 145 |
3 144
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℕ0 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑇 ) ( 𝑘 ↑ 3 ) = ( ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( 𝑇 + 1 ) ↑ 2 ) ) / 4 ) ) |