Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvdsmulf1o.1 |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
2 |
|
dvdsmulf1o.2 |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
3 |
|
dvdsmulf1o.3 |
โข ( ๐ โ ( ๐ gcd ๐ ) = 1 ) |
4 |
|
dvdsmulf1o.x |
โข ๐ = { ๐ฅ โ โ โฃ ๐ฅ โฅ ๐ } |
5 |
|
dvdsmulf1o.y |
โข ๐ = { ๐ฅ โ โ โฃ ๐ฅ โฅ ๐ } |
6 |
|
dvdsmulf1o.z |
โข ๐ = { ๐ฅ โ โ โฃ ๐ฅ โฅ ( ๐ ยท ๐ ) } |
7 |
|
fsumdvdsmul.4 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ด โ โ ) |
8 |
|
fsumdvdsmul.5 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ต โ โ ) |
9 |
|
fsumdvdsmul.6 |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ ) ) โ ( ๐ด ยท ๐ต ) = ๐ท ) |
10 |
|
fsumdvdsmul.7 |
โข ( ๐ = ( ๐ ยท ๐ ) โ ๐ถ = ๐ท ) |
11 |
|
fzfid |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ Fin ) |
12 |
|
dvdsssfz1 |
โข ( ๐ โ โ โ { ๐ฅ โ โ โฃ ๐ฅ โฅ ๐ } โ ( 1 ... ๐ ) ) |
13 |
1 12
|
syl |
โข ( ๐ โ { ๐ฅ โ โ โฃ ๐ฅ โฅ ๐ } โ ( 1 ... ๐ ) ) |
14 |
4 13
|
eqsstrid |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) |
15 |
11 14
|
ssfid |
โข ( ๐ โ ๐ โ Fin ) |
16 |
|
fzfid |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ Fin ) |
17 |
|
dvdsssfz1 |
โข ( ๐ โ โ โ { ๐ฅ โ โ โฃ ๐ฅ โฅ ๐ } โ ( 1 ... ๐ ) ) |
18 |
2 17
|
syl |
โข ( ๐ โ { ๐ฅ โ โ โฃ ๐ฅ โฅ ๐ } โ ( 1 ... ๐ ) ) |
19 |
5 18
|
eqsstrid |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) |
20 |
16 19
|
ssfid |
โข ( ๐ โ ๐ โ Fin ) |
21 |
20 8
|
fsumcl |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ต โ โ ) |
22 |
15 21 7
|
fsummulc1 |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ด ยท ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ต ) = ฮฃ ๐ โ ๐ ( ๐ด ยท ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ต ) ) |
23 |
20
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ โ Fin ) |
24 |
8
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ต โ โ ) |
25 |
23 7 24
|
fsummulc2 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ด ยท ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ต ) = ฮฃ ๐ โ ๐ ( ๐ด ยท ๐ต ) ) |
26 |
9
|
anassrs |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ต ) = ๐ท ) |
27 |
26
|
sumeq2dv |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ฮฃ ๐ โ ๐ ( ๐ด ยท ๐ต ) = ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ท ) |
28 |
25 27
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ด ยท ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ต ) = ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ท ) |
29 |
28
|
sumeq2dv |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ๐ ( ๐ด ยท ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ต ) = ฮฃ ๐ โ ๐ ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ท ) |
30 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ง = โจ ๐ , ๐ โฉ โ ( ยท โ ๐ง ) = ( ยท โ โจ ๐ , ๐ โฉ ) ) |
31 |
|
df-ov |
โข ( ๐ ยท ๐ ) = ( ยท โ โจ ๐ , ๐ โฉ ) |
32 |
30 31
|
eqtr4di |
โข ( ๐ง = โจ ๐ , ๐ โฉ โ ( ยท โ ๐ง ) = ( ๐ ยท ๐ ) ) |
33 |
32
|
csbeq1d |
โข ( ๐ง = โจ ๐ , ๐ โฉ โ โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ = โฆ ( ๐ ยท ๐ ) / ๐ โฆ ๐ถ ) |
34 |
|
ovex |
โข ( ๐ ยท ๐ ) โ V |
35 |
34 10
|
csbie |
โข โฆ ( ๐ ยท ๐ ) / ๐ โฆ ๐ถ = ๐ท |
36 |
33 35
|
eqtrdi |
โข ( ๐ง = โจ ๐ , ๐ โฉ โ โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ = ๐ท ) |
37 |
7
|
adantrr |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ ) ) โ ๐ด โ โ ) |
38 |
8
|
adantrl |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ ) ) โ ๐ต โ โ ) |
39 |
37 38
|
mulcld |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ ) ) โ ( ๐ด ยท ๐ต ) โ โ ) |
40 |
9 39
|
eqeltrrd |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ ) ) โ ๐ท โ โ ) |
41 |
36 15 20 40
|
fsumxp |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ๐ ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ท = ฮฃ ๐ง โ ( ๐ ร ๐ ) โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ ) |
42 |
|
nfcv |
โข โฒ ๐ค ๐ถ |
43 |
|
nfcsb1v |
โข โฒ ๐ โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ |
44 |
|
csbeq1a |
โข ( ๐ = ๐ค โ ๐ถ = โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ ) |
45 |
42 43 44
|
cbvsumi |
โข ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ถ = ฮฃ ๐ค โ ๐ โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ |
46 |
|
csbeq1 |
โข ( ๐ค = ( ยท โ ๐ง ) โ โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ = โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ ) |
47 |
|
xpfi |
โข ( ( ๐ โ Fin โง ๐ โ Fin ) โ ( ๐ ร ๐ ) โ Fin ) |
48 |
15 20 47
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ ( ๐ ร ๐ ) โ Fin ) |
49 |
1 2 3 4 5 6
|
dvdsmulf1o |
โข ( ๐ โ ( ยท โพ ( ๐ ร ๐ ) ) : ( ๐ ร ๐ ) โ1-1-ontoโ ๐ ) |
50 |
|
fvres |
โข ( ๐ง โ ( ๐ ร ๐ ) โ ( ( ยท โพ ( ๐ ร ๐ ) ) โ ๐ง ) = ( ยท โ ๐ง ) ) |
51 |
50
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ง โ ( ๐ ร ๐ ) ) โ ( ( ยท โพ ( ๐ ร ๐ ) ) โ ๐ง ) = ( ยท โ ๐ง ) ) |
52 |
40
|
ralrimivva |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ ๐ท โ โ ) |
53 |
36
|
eleq1d |
โข ( ๐ง = โจ ๐ , ๐ โฉ โ ( โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ โ โ โ ๐ท โ โ ) ) |
54 |
53
|
ralxp |
โข ( โ ๐ง โ ( ๐ ร ๐ ) โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ โ โ โ โ ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ ๐ท โ โ ) |
55 |
52 54
|
sylibr |
โข ( ๐ โ โ ๐ง โ ( ๐ ร ๐ ) โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ โ โ ) |
56 |
|
ax-mulf |
โข ยท : ( โ ร โ ) โถ โ |
57 |
|
ffn |
โข ( ยท : ( โ ร โ ) โถ โ โ ยท Fn ( โ ร โ ) ) |
58 |
56 57
|
ax-mp |
โข ยท Fn ( โ ร โ ) |
59 |
4
|
ssrab3 |
โข ๐ โ โ |
60 |
|
nnsscn |
โข โ โ โ |
61 |
59 60
|
sstri |
โข ๐ โ โ |
62 |
5
|
ssrab3 |
โข ๐ โ โ |
63 |
62 60
|
sstri |
โข ๐ โ โ |
64 |
|
xpss12 |
โข ( ( ๐ โ โ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ ร ๐ ) โ ( โ ร โ ) ) |
65 |
61 63 64
|
mp2an |
โข ( ๐ ร ๐ ) โ ( โ ร โ ) |
66 |
46
|
eleq1d |
โข ( ๐ค = ( ยท โ ๐ง ) โ ( โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ โ โ โ โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ โ โ ) ) |
67 |
66
|
ralima |
โข ( ( ยท Fn ( โ ร โ ) โง ( ๐ ร ๐ ) โ ( โ ร โ ) ) โ ( โ ๐ค โ ( ยท โ ( ๐ ร ๐ ) ) โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ โ โ โ โ ๐ง โ ( ๐ ร ๐ ) โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ โ โ ) ) |
68 |
58 65 67
|
mp2an |
โข ( โ ๐ค โ ( ยท โ ( ๐ ร ๐ ) ) โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ โ โ โ โ ๐ง โ ( ๐ ร ๐ ) โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ โ โ ) |
69 |
|
df-ima |
โข ( ยท โ ( ๐ ร ๐ ) ) = ran ( ยท โพ ( ๐ ร ๐ ) ) |
70 |
|
f1ofo |
โข ( ( ยท โพ ( ๐ ร ๐ ) ) : ( ๐ ร ๐ ) โ1-1-ontoโ ๐ โ ( ยท โพ ( ๐ ร ๐ ) ) : ( ๐ ร ๐ ) โontoโ ๐ ) |
71 |
|
forn |
โข ( ( ยท โพ ( ๐ ร ๐ ) ) : ( ๐ ร ๐ ) โontoโ ๐ โ ran ( ยท โพ ( ๐ ร ๐ ) ) = ๐ ) |
72 |
49 70 71
|
3syl |
โข ( ๐ โ ran ( ยท โพ ( ๐ ร ๐ ) ) = ๐ ) |
73 |
69 72
|
eqtrid |
โข ( ๐ โ ( ยท โ ( ๐ ร ๐ ) ) = ๐ ) |
74 |
73
|
raleqdv |
โข ( ๐ โ ( โ ๐ค โ ( ยท โ ( ๐ ร ๐ ) ) โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ โ โ โ โ ๐ค โ ๐ โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ โ โ ) ) |
75 |
68 74
|
bitr3id |
โข ( ๐ โ ( โ ๐ง โ ( ๐ ร ๐ ) โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ โ โ โ โ ๐ค โ ๐ โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ โ โ ) ) |
76 |
55 75
|
mpbid |
โข ( ๐ โ โ ๐ค โ ๐ โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ โ โ ) |
77 |
76
|
r19.21bi |
โข ( ( ๐ โง ๐ค โ ๐ ) โ โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ โ โ ) |
78 |
46 48 49 51 77
|
fsumf1o |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ค โ ๐ โฆ ๐ค / ๐ โฆ ๐ถ = ฮฃ ๐ง โ ( ๐ ร ๐ ) โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ ) |
79 |
45 78
|
eqtrid |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ถ = ฮฃ ๐ง โ ( ๐ ร ๐ ) โฆ ( ยท โ ๐ง ) / ๐ โฆ ๐ถ ) |
80 |
41 79
|
eqtr4d |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ๐ ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ท = ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ถ ) |
81 |
22 29 80
|
3eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ด ยท ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ต ) = ฮฃ ๐ โ ๐ ๐ถ ) |