| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.j |
⊢ 𝐽 = ( 1 ..^ ( ⌈ ‘ ( 𝑁 / 2 ) ) ) |
| 2 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑁 gPetersenGr 𝐾 ) |
| 3 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
| 4 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.e |
⊢ 𝐸 = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
| 5 |
|
m1modnep2mod |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑋 + 2 ) mod 𝑁 ) ) |
| 6 |
5
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑋 + 2 ) mod 𝑁 ) ) |
| 7 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ ) |
| 8 |
7
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑋 ∈ ℂ ) |
| 9 |
|
add1p1 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 𝑋 + 1 ) + 1 ) = ( 𝑋 + 2 ) ) |
| 10 |
8 9
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 1 ) + 1 ) = ( 𝑋 + 2 ) ) |
| 11 |
10
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑋 + 1 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑋 + 2 ) mod 𝑁 ) ) |
| 12 |
6 11
|
neeqtrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( 𝑋 + 1 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 13 |
|
zre |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ ) |
| 14 |
13
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
| 15 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 16 |
14 15
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 + 1 ) ∈ ℝ ) |
| 17 |
|
eluz4nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
| 18 |
17
|
nnrpd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
| 19 |
18
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
| 20 |
|
modaddmod |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 1 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝑋 + 1 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 21 |
16 15 19 20
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝑋 + 1 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 22 |
12 21
|
neeqtrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 23 |
22
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 24 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) = ( 𝑥 + 1 ) ) |
| 25 |
24
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 26 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 27 |
23 26
|
neeqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 28 |
27
|
olcd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 29 |
28
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) ) |
| 30 |
|
orc |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 31 |
30
|
a1d |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 → ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) ) |
| 32 |
29 31
|
pm2.61ine |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 33 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
| 34 |
|
ovex |
⊢ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ∈ V |
| 35 |
33 34
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 36 |
|
neirr |
⊢ ¬ 0 ≠ 0 |
| 37 |
36
|
biorfi |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 38 |
35 37
|
bitr4i |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 39 |
38
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 40 |
|
ovex |
⊢ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ∈ V |
| 41 |
33 40
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 42 |
36
|
biorfi |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 43 |
41 42
|
bitr4i |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 44 |
43
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 45 |
39 44
|
orbi12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ↔ ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) ) |
| 46 |
32 45
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) |
| 47 |
|
eluz4eluz2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
| 48 |
47
|
anim1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ) |
| 49 |
48
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ) |
| 50 |
|
zp1modne |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( 𝑋 mod 𝑁 ) ) |
| 51 |
49 50
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( 𝑋 mod 𝑁 ) ) |
| 52 |
|
npcan1 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ℂ → ( ( 𝑋 − 1 ) + 1 ) = 𝑋 ) |
| 53 |
8 52
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 − 1 ) + 1 ) = 𝑋 ) |
| 54 |
53
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑋 − 1 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( 𝑋 mod 𝑁 ) ) |
| 55 |
51 54
|
neeqtrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( 𝑋 − 1 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 56 |
14 15
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 − 1 ) ∈ ℝ ) |
| 57 |
|
modaddmod |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝑋 − 1 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 58 |
56 15 19 57
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝑋 − 1 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 59 |
55 58
|
neeqtrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 60 |
59
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 61 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) = ( 𝑥 + 1 ) ) |
| 62 |
61
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 63 |
62
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 64 |
60 63
|
neeqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 65 |
64
|
orcd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 66 |
65
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) = 𝑥 → ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 67 |
|
olc |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 68 |
67
|
a1d |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 → ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 69 |
66 68
|
pm2.61ine |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 70 |
33 34
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 71 |
36
|
biorfi |
⊢ ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 72 |
70 71
|
bitr4i |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 73 |
72
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 74 |
33 40
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 75 |
36
|
biorfi |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 76 |
74 75
|
bitr4i |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 77 |
76
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 78 |
73 77
|
orbi12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ↔ ( ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 79 |
69 78
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) |
| 80 |
|
opex |
⊢ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 81 |
|
opex |
⊢ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 82 |
80 81
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) |
| 83 |
|
opex |
⊢ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V |
| 84 |
|
opex |
⊢ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 85 |
83 84
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) |
| 86 |
82 85
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) |
| 87 |
|
prneimg2 |
⊢ ( ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) → ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ↔ ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∧ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) ) ) |
| 88 |
86 87
|
mp1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ↔ ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∧ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) ) ) |
| 89 |
46 79 88
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 90 |
|
0ne1 |
⊢ 0 ≠ 1 |
| 91 |
90
|
orci |
⊢ ( 0 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 92 |
33 40
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 0 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 93 |
91 92
|
mpbir |
⊢ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ |
| 94 |
93
|
olci |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) |
| 95 |
90
|
orci |
⊢ ( 0 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 96 |
33 34
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 0 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 97 |
95 96
|
mpbir |
⊢ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ |
| 98 |
97
|
orci |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) |
| 99 |
94 98
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) |
| 100 |
99
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) ) |
| 101 |
|
opex |
⊢ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V |
| 102 |
83 101
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ) |
| 103 |
82 102
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ) ) |
| 104 |
|
prneimg2 |
⊢ ( ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ) ) → ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ↔ ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) ) ) |
| 105 |
103 104
|
mp1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ↔ ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) ) ) |
| 106 |
100 105
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ) |
| 107 |
|
opex |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 108 |
101 107
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) |
| 109 |
82 108
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) |
| 110 |
90
|
orci |
⊢ ( 0 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 111 |
33 34
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( 0 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 112 |
110 111
|
mpbir |
⊢ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ |
| 113 |
97 112
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) |
| 114 |
113
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) |
| 115 |
114
|
orcd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) ) |
| 116 |
|
prneimg |
⊢ ( ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) → ( ( ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) → { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 117 |
109 115 116
|
mpsyl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 118 |
89 106 117
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 119 |
118
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 120 |
|
ralnex |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ¬ ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ¬ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 121 |
|
3ioran |
⊢ ( ¬ ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ( ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 122 |
|
df-ne |
⊢ ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ↔ ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 123 |
|
df-ne |
⊢ ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ↔ ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ) |
| 124 |
|
df-ne |
⊢ ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ↔ ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 125 |
122 123 124
|
3anbi123i |
⊢ ( ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ( ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 126 |
121 125
|
bitr4i |
⊢ ( ¬ ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 127 |
126
|
ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ¬ ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 128 |
120 127
|
bitr3i |
⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 129 |
119 128
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 130 |
|
eluz4eluz3 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
| 131 |
|
eqid |
⊢ ( 0 ..^ 𝑁 ) = ( 0 ..^ 𝑁 ) |
| 132 |
131 1 2 4
|
gpgedgel |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) ) |
| 133 |
130 132
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) ) |
| 134 |
133
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) ) |
| 135 |
129 134
|
mtbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ) |
| 136 |
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df-nel |
⊢ ( { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∉ 𝐸 ↔ ¬ { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ) |
| 137 |
135 136
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → { ⟨ 0 , ( ( 𝑋 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑋 − 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∉ 𝐸 ) |