Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gsummatr01.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) |
2 |
|
gsummatr01.r |
⊢ 𝑅 = { 𝑟 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑟 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } |
3 |
|
gsummatr01.0 |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
gsummatr01.s |
⊢ 𝑆 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
5 |
|
difsnid |
⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑁 → ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) = 𝑁 ) |
6 |
5
|
eqcomd |
⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) ) |
7 |
6
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → 𝑁 = ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) ) |
8 |
7
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → 𝑁 = ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) ) |
9 |
8
|
mpteq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
10 |
9
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
11 |
1 2 3 4
|
gsummatr01lem3 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝐾 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) ) ) |
12 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ) |
13 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑟 = 𝑄 → ( 𝑟 ‘ 𝐾 ) = ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) |
14 |
13
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑄 → ( ( 𝑟 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 ↔ ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 ) ) |
15 |
14 2
|
elrab2 |
⊢ ( 𝑄 ∈ 𝑅 ↔ ( 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 ) ) |
16 |
|
eqeq2 |
⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 → ( 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ↔ 𝑗 = 𝐿 ) ) |
17 |
16
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 ) → ( 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ↔ 𝑗 = 𝐿 ) ) |
18 |
17
|
anbi2d |
⊢ ( ( 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 ) → ( ( 𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( 𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = 𝐿 ) ) ) |
19 |
15 18
|
sylbi |
⊢ ( 𝑄 ∈ 𝑅 → ( ( 𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( 𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = 𝐿 ) ) ) |
20 |
19
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( 𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = 𝐿 ) ) ) |
21 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑖 = 𝐾 → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) = if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) ) |
22 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑗 = 𝐿 → if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) = 0 ) |
23 |
21 22
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = 𝐿 ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) = 0 ) |
24 |
20 23
|
syl6bi |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) = 0 ) ) |
25 |
24
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ∧ ( 𝑖 = 𝐾 ∧ 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) = 0 ) |
26 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → 𝐾 ∈ 𝑁 ) |
27 |
1 2
|
gsummatr01lem1 |
⊢ ( ( 𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ∈ 𝑁 ) |
28 |
27
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ∈ 𝑁 ) |
29 |
28
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ∈ 𝑁 ) |
30 |
3
|
fvexi |
⊢ 0 ∈ V |
31 |
30
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → 0 ∈ V ) |
32 |
12 25 26 29 31
|
ovmpod |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐾 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) = 0 ) |
33 |
32
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝐾 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) = 0 ) |
34 |
33
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝐾 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) 0 ) ) |
35 |
|
cmnmnd |
⊢ ( 𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd ) |
36 |
35
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
37 |
36
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
38 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐺 ) = ( Base ‘ 𝐺 ) |
39 |
|
simp1l |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → 𝐺 ∈ CMnd ) |
40 |
|
diffi |
⊢ ( 𝑁 ∈ Fin → ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ Fin ) |
41 |
40
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) → ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ Fin ) |
42 |
41
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ Fin ) |
43 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ) |
44 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑛 → ( 𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾 ) ) |
45 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑛 = 𝐾 ) ) |
46 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) → ( 𝑗 = 𝐿 ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) = 𝐿 ) ) |
47 |
46
|
ifbid |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) → if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) = if ( ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) ) |
48 |
47
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) → if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) = if ( ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) ) |
49 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) = ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) |
50 |
45 48 49
|
ifbieq12d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) = if ( 𝑛 = 𝐾 , if ( ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
51 |
|
eldifsni |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) → 𝑛 ≠ 𝐾 ) |
52 |
51
|
neneqd |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) → ¬ 𝑛 = 𝐾 ) |
53 |
52
|
iffalsed |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) → if ( 𝑛 = 𝐾 , if ( ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) |
54 |
53
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → if ( 𝑛 = 𝐾 , if ( ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) |
55 |
50 54
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ∧ ( 𝑖 = 𝑛 ∧ 𝑗 = ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) = ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) |
56 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) → 𝑛 ∈ 𝑁 ) |
57 |
56
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → 𝑛 ∈ 𝑁 ) |
58 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → 𝑄 ∈ 𝑅 ) |
59 |
1 2
|
gsummatr01lem1 |
⊢ ( ( 𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑁 ) |
60 |
58 56 59
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑁 ) |
61 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ V ) |
62 |
43 55 57 60 61
|
ovmpod |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) |
63 |
62
|
3ad2antl3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) |
64 |
4
|
eleq2i |
⊢ ( ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ↔ ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
65 |
64
|
2ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
66 |
1 2
|
gsummatr01lem2 |
⊢ ( ( 𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) → ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ) |
67 |
65 66
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝑄 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ) |
68 |
58 56 67
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ) |
69 |
68
|
ex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) → ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
70 |
69
|
com13 |
⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 → ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) → ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
71 |
70
|
adantr |
⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) → ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
72 |
71
|
imp |
⊢ ( ( ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) → ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ) |
73 |
72
|
3adant1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) → ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ) |
74 |
73
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑛 𝐴 ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
75 |
63 74
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
76 |
75
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
77 |
38 39 42 76
|
gsummptcl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
78 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 ) |
79 |
38 78 3
|
mndrid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) 0 ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
80 |
37 77 79
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) 0 ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
81 |
1 2 3 4
|
gsummatr01lem4 |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐿 } ) ↦ ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) |
82 |
81
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mpteq2dva |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐿 } ) ↦ ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
83 |
82
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oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐿 } ) ↦ ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
84 |
34 80 83
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3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝐾 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐿 } ) ↦ ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
85 |
10 11 84
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3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ 𝑅 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 0 , 𝐵 ) , ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐿 } ) ↦ ( 𝑖 𝐴 𝑗 ) ) ( 𝑄 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |