Metamath Proof Explorer


Theorem ioorrnopnxrlem

Description: Given a point F that belongs to an indexed product of (possibly unbounded) open intervals, then F belongs to an open product of bounded open intervals that's a subset of the original indexed product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021)

Ref Expression
Hypotheses ioorrnopnxrlem.x ( 𝜑𝑋 ∈ Fin )
ioorrnopnxrlem.a ( 𝜑𝐴 : 𝑋 ⟶ ℝ* )
ioorrnopnxrlem.b ( 𝜑𝐵 : 𝑋 ⟶ ℝ* )
ioorrnopnxrlem.f ( 𝜑𝐹X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
ioorrnopnxrlem.l 𝐿 = ( 𝑖𝑋 ↦ if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) )
ioorrnopnxrlem.r 𝑅 = ( 𝑖𝑋 ↦ if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) )
ioorrnopnxrlem.v 𝑉 = X 𝑖𝑋 ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) )
Assertion ioorrnopnxrlem ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ ( ℝ^ ‘ 𝑋 ) ) ( 𝐹𝑣𝑣X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ioorrnopnxrlem.x ( 𝜑𝑋 ∈ Fin )
2 ioorrnopnxrlem.a ( 𝜑𝐴 : 𝑋 ⟶ ℝ* )
3 ioorrnopnxrlem.b ( 𝜑𝐵 : 𝑋 ⟶ ℝ* )
4 ioorrnopnxrlem.f ( 𝜑𝐹X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
5 ioorrnopnxrlem.l 𝐿 = ( 𝑖𝑋 ↦ if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) )
6 ioorrnopnxrlem.r 𝑅 = ( 𝑖𝑋 ↦ if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) )
7 ioorrnopnxrlem.v 𝑉 = X 𝑖𝑋 ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) )
8 7 a1i ( 𝜑𝑉 = X 𝑖𝑋 ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) )
9 iftrue ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ → if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) = ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) )
10 9 adantl ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) = ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) )
11 4 adantr ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → 𝐹X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
12 simpr ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → 𝑖𝑋 )
13 fvixp2 ( ( 𝐹X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ∧ 𝑖𝑋 ) → ( 𝐹𝑖 ) ∈ ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
14 11 12 13 syl2anc ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐹𝑖 ) ∈ ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
15 14 elioored ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐹𝑖 ) ∈ ℝ )
16 1red ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → 1 ∈ ℝ )
17 15 16 resubcld ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) ∈ ℝ )
18 17 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) ∈ ℝ )
19 10 18 eqeltrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) ∈ ℝ )
20 iffalse ( ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ → if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) = ( 𝐴𝑖 ) )
21 20 adantl ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) = ( 𝐴𝑖 ) )
22 neqne ( ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ → ( 𝐴𝑖 ) ≠ -∞ )
23 22 adantl ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) ≠ -∞ )
24 2 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℝ* )
25 24 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) ≠ -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℝ* )
26 simpr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) ≠ -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) ≠ -∞ )
27 pnfxr +∞ ∈ ℝ*
28 27 a1i ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → +∞ ∈ ℝ* )
29 15 rexrd ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐹𝑖 ) ∈ ℝ* )
30 3 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ* )
31 ioogtlb ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐹𝑖 ) ∈ ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ) → ( 𝐴𝑖 ) < ( 𝐹𝑖 ) )
32 24 30 14 31 syl3anc ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐴𝑖 ) < ( 𝐹𝑖 ) )
33 15 ltpnfd ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐹𝑖 ) < +∞ )
34 24 29 28 32 33 xrlttrd ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐴𝑖 ) < +∞ )
35 24 28 34 xrltned ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐴𝑖 ) ≠ +∞ )
36 35 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) ≠ -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) ≠ +∞ )
37 25 26 36 xrred ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) ≠ -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℝ )
38 23 37 syldan ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℝ )
39 21 38 eqeltrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) ∈ ℝ )
40 19 39 pm2.61dan ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) ∈ ℝ )
41 40 5 fmptd ( 𝜑𝐿 : 𝑋 ⟶ ℝ )
42 iftrue ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ → if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) = ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) )
43 42 adantl ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) = ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) )
44 15 16 readdcld ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) ∈ ℝ )
45 44 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) ∈ ℝ )
46 43 45 eqeltrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) ∈ ℝ )
47 iffalse ( ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ → if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) = ( 𝐵𝑖 ) )
48 47 adantl ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) = ( 𝐵𝑖 ) )
49 neqne ( ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ → ( 𝐵𝑖 ) ≠ +∞ )
50 49 adantl ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝐵𝑖 ) ≠ +∞ )
51 30 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) ≠ +∞ ) → ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ* )
52 mnfxr -∞ ∈ ℝ*
53 52 a1i ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → -∞ ∈ ℝ* )
54 15 mnfltd ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → -∞ < ( 𝐹𝑖 ) )
55 iooltub ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐹𝑖 ) ∈ ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ) → ( 𝐹𝑖 ) < ( 𝐵𝑖 ) )
56 24 30 14 55 syl3anc ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐹𝑖 ) < ( 𝐵𝑖 ) )
57 53 29 30 54 56 xrlttrd ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → -∞ < ( 𝐵𝑖 ) )
58 53 30 57 xrgtned ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐵𝑖 ) ≠ -∞ )
59 58 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) ≠ +∞ ) → ( 𝐵𝑖 ) ≠ -∞ )
60 simpr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) ≠ +∞ ) → ( 𝐵𝑖 ) ≠ +∞ )
61 51 59 60 xrred ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) ≠ +∞ ) → ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ )
62 50 61 syldan ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ )
63 48 62 eqeltrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) ∈ ℝ )
64 46 63 pm2.61dan ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) ∈ ℝ )
65 64 6 fmptd ( 𝜑𝑅 : 𝑋 ⟶ ℝ )
66 1 41 65 ioorrnopn ( 𝜑X 𝑖𝑋 ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) ∈ ( TopOpen ‘ ( ℝ^ ‘ 𝑋 ) ) )
67 8 66 eqeltrd ( 𝜑𝑉 ∈ ( TopOpen ‘ ( ℝ^ ‘ 𝑋 ) ) )
68 4 elexd ( 𝜑𝐹 ∈ V )
69 ixpfn ( 𝐹X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) → 𝐹 Fn 𝑋 )
70 4 69 syl ( 𝜑𝐹 Fn 𝑋 )
71 41 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐿𝑖 ) ∈ ℝ )
72 71 rexrd ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐿𝑖 ) ∈ ℝ* )
73 65 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝑅𝑖 ) ∈ ℝ )
74 73 rexrd ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝑅𝑖 ) ∈ ℝ* )
75 5 a1i ( 𝜑𝐿 = ( 𝑖𝑋 ↦ if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) ) )
76 40 elexd ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) ∈ V )
77 75 76 fvmpt2d ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐿𝑖 ) = if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) )
78 77 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐿𝑖 ) = if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) )
79 78 10 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐿𝑖 ) = ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) )
80 15 ltm1d ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) < ( 𝐹𝑖 ) )
81 80 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) < ( 𝐹𝑖 ) )
82 79 81 eqbrtrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐿𝑖 ) < ( 𝐹𝑖 ) )
83 77 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐿𝑖 ) = if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) )
84 83 21 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐿𝑖 ) = ( 𝐴𝑖 ) )
85 32 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) < ( 𝐹𝑖 ) )
86 84 85 eqbrtrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐿𝑖 ) < ( 𝐹𝑖 ) )
87 82 86 pm2.61dan ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐿𝑖 ) < ( 𝐹𝑖 ) )
88 15 ltp1d ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐹𝑖 ) < ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) )
89 88 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝐹𝑖 ) < ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) )
90 6 a1i ( 𝜑𝑅 = ( 𝑖𝑋 ↦ if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) ) )
91 64 elexd ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) ∈ V )
92 90 91 fvmpt2d ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝑅𝑖 ) = if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) )
93 92 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝑅𝑖 ) = if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) )
94 93 43 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝑅𝑖 ) = ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) )
95 94 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) = ( 𝑅𝑖 ) )
96 89 95 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝐹𝑖 ) < ( 𝑅𝑖 ) )
97 56 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝐹𝑖 ) < ( 𝐵𝑖 ) )
98 92 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝑅𝑖 ) = if ( ( 𝐵𝑖 ) = +∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) , ( 𝐵𝑖 ) ) )
99 98 48 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝑅𝑖 ) = ( 𝐵𝑖 ) )
100 99 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝐵𝑖 ) = ( 𝑅𝑖 ) )
101 97 100 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝐹𝑖 ) < ( 𝑅𝑖 ) )
102 96 101 pm2.61dan ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐹𝑖 ) < ( 𝑅𝑖 ) )
103 72 74 15 87 102 eliood ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐹𝑖 ) ∈ ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) )
104 103 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑖𝑋 ( 𝐹𝑖 ) ∈ ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) )
105 68 70 104 3jca ( 𝜑 → ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀ 𝑖𝑋 ( 𝐹𝑖 ) ∈ ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) ) )
106 elixp2 ( 𝐹X 𝑖𝑋 ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) ↔ ( 𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀ 𝑖𝑋 ( 𝐹𝑖 ) ∈ ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) ) )
107 105 106 sylibr ( 𝜑𝐹X 𝑖𝑋 ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) )
108 107 7 eleqtrrdi ( 𝜑𝐹𝑉 )
109 24 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℝ* )
110 72 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐿𝑖 ) ∈ ℝ* )
111 19 mnfltd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → -∞ < if ( ( 𝐴𝑖 ) = -∞ , ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) , ( 𝐴𝑖 ) ) )
112 111 10 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → -∞ < ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) )
113 simpr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) = -∞ )
114 113 79 breq12d ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( ( 𝐴𝑖 ) < ( 𝐿𝑖 ) ↔ -∞ < ( ( 𝐹𝑖 ) − 1 ) ) )
115 112 114 mpbird ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) < ( 𝐿𝑖 ) )
116 109 110 115 xrltled ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) ≤ ( 𝐿𝑖 ) )
117 84 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) = ( 𝐿𝑖 ) )
118 38 117 eqled ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐴𝑖 ) = -∞ ) → ( 𝐴𝑖 ) ≤ ( 𝐿𝑖 ) )
119 116 118 pm2.61dan ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝐴𝑖 ) ≤ ( 𝐿𝑖 ) )
120 74 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝑅𝑖 ) ∈ ℝ* )
121 30 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ* )
122 45 ltpnfd ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) < +∞ )
123 simpr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝐵𝑖 ) = +∞ )
124 94 123 breq12d ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( ( 𝑅𝑖 ) < ( 𝐵𝑖 ) ↔ ( ( 𝐹𝑖 ) + 1 ) < +∞ ) )
125 122 124 mpbird ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝑅𝑖 ) < ( 𝐵𝑖 ) )
126 120 121 125 xrltled ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝑅𝑖 ) ≤ ( 𝐵𝑖 ) )
127 73 adantr ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝑅𝑖 ) ∈ ℝ )
128 127 99 eqled ( ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) ∧ ¬ ( 𝐵𝑖 ) = +∞ ) → ( 𝑅𝑖 ) ≤ ( 𝐵𝑖 ) )
129 126 128 pm2.61dan ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( 𝑅𝑖 ) ≤ ( 𝐵𝑖 ) )
130 ioossioo ( ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℝ* ) ∧ ( ( 𝐴𝑖 ) ≤ ( 𝐿𝑖 ) ∧ ( 𝑅𝑖 ) ≤ ( 𝐵𝑖 ) ) ) → ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) ⊆ ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
131 24 30 119 129 130 syl22anc ( ( 𝜑𝑖𝑋 ) → ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) ⊆ ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
132 131 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑖𝑋 ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) ⊆ ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
133 ss2ixp ( ∀ 𝑖𝑋 ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) ⊆ ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) → X 𝑖𝑋 ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) ⊆ X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
134 132 133 syl ( 𝜑X 𝑖𝑋 ( ( 𝐿𝑖 ) (,) ( 𝑅𝑖 ) ) ⊆ X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
135 8 134 eqsstrd ( 𝜑𝑉X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) )
136 108 135 jca ( 𝜑 → ( 𝐹𝑉𝑉X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ) )
137 eleq2 ( 𝑣 = 𝑉 → ( 𝐹𝑣𝐹𝑉 ) )
138 sseq1 ( 𝑣 = 𝑉 → ( 𝑣X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ↔ 𝑉X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ) )
139 137 138 anbi12d ( 𝑣 = 𝑉 → ( ( 𝐹𝑣𝑣X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ) ↔ ( 𝐹𝑉𝑉X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ) ) )
140 139 rspcev ( ( 𝑉 ∈ ( TopOpen ‘ ( ℝ^ ‘ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝐹𝑉𝑉X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ ( ℝ^ ‘ 𝑋 ) ) ( 𝐹𝑣𝑣X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ) )
141 67 136 140 syl2anc ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ ( ℝ^ ‘ 𝑋 ) ) ( 𝐹𝑣𝑣X 𝑖𝑋 ( ( 𝐴𝑖 ) (,) ( 𝐵𝑖 ) ) ) )