Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
neirr |
⊢ ¬ 𝐴 ≠ 𝐴 |
2 |
|
eqid |
⊢ ( Edg ‘ 𝐺 ) = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
3 |
2
|
usgredgne |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ { 𝐴 , 𝐴 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → 𝐴 ≠ 𝐴 ) |
4 |
3
|
ex |
⊢ ( 𝐺 ∈ USGraph → ( { 𝐴 , 𝐴 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → 𝐴 ≠ 𝐴 ) ) |
5 |
1 4
|
mtoi |
⊢ ( 𝐺 ∈ USGraph → ¬ { 𝐴 , 𝐴 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
6 |
5
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ { 𝐴 , 𝐴 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
7 |
6
|
intnanrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ ( { 𝐴 , 𝐴 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
8 |
|
prex |
⊢ { 𝐴 , 𝐴 } ∈ V |
9 |
|
prex |
⊢ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V |
10 |
8 9
|
prss |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐴 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ↔ { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
11 |
7 10
|
sylnib |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
12 |
|
neirr |
⊢ ¬ 𝐵 ≠ 𝐵 |
13 |
2
|
usgredgne |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → 𝐵 ≠ 𝐵 ) |
14 |
13
|
ex |
⊢ ( 𝐺 ∈ USGraph → ( { 𝐵 , 𝐵 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → 𝐵 ≠ 𝐵 ) ) |
15 |
12 14
|
mtoi |
⊢ ( 𝐺 ∈ USGraph → ¬ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
16 |
15
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
17 |
16
|
intnand |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ ( { 𝐵 , 𝐴 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
18 |
|
prex |
⊢ { 𝐵 , 𝐴 } ∈ V |
19 |
|
prex |
⊢ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ V |
20 |
18 19
|
prss |
⊢ ( ( { 𝐵 , 𝐴 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ↔ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
21 |
17 20
|
sylnib |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
22 |
|
ioran |
⊢ ( ¬ ( { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ↔ ( ¬ { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∧ ¬ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
23 |
11 21 22
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ ( { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
24 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → { 𝑥 , 𝐴 } = { 𝐴 , 𝐴 } ) |
25 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → { 𝑥 , 𝐵 } = { 𝐴 , 𝐵 } ) |
26 |
24 25
|
preq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } = { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ) |
27 |
26
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
28 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → { 𝑥 , 𝐴 } = { 𝐵 , 𝐴 } ) |
29 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → { 𝑥 , 𝐵 } = { 𝐵 , 𝐵 } ) |
30 |
28 29
|
preq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } = { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ) |
31 |
30
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
32 |
27 31
|
rexprg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ( { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
33 |
32
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ( { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
34 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ( { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
35 |
23 34
|
mtbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ ∃ 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
36 |
|
reurex |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∃ 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
37 |
35 36
|
nsyl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
38 |
37
|
orcd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝐴 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
39 |
|
rexnal |
⊢ ( ∃ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
40 |
39
|
bicomi |
⊢ ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
41 |
40
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
42 |
|
difprsn1 |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) = { 𝐵 } ) |
43 |
42
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) = { 𝐵 } ) |
44 |
43
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) = { 𝐵 } ) |
45 |
44
|
rexeqdv |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ∃ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ { 𝐵 } ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
46 |
|
preq2 |
⊢ ( 𝑙 = 𝐵 → { 𝑥 , 𝑙 } = { 𝑥 , 𝐵 } ) |
47 |
46
|
preq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝐵 → { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } = { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ) |
48 |
47
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑙 = 𝐵 → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
49 |
48
|
reubidv |
⊢ ( 𝑙 = 𝐵 → ( ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
50 |
49
|
notbid |
⊢ ( 𝑙 = 𝐵 → ( ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
51 |
50
|
rexsng |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑌 → ( ∃ 𝑙 ∈ { 𝐵 } ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
52 |
51
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑙 ∈ { 𝐵 } ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
53 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ∃ 𝑙 ∈ { 𝐵 } ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
54 |
41 45 53
|
3bitrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
55 |
|
rexnal |
⊢ ( ∃ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
56 |
55
|
bicomi |
⊢ ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
57 |
56
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
58 |
|
difprsn2 |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) = { 𝐴 } ) |
59 |
58
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) = { 𝐴 } ) |
60 |
59
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) = { 𝐴 } ) |
61 |
60
|
rexeqdv |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ∃ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ { 𝐴 } ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
62 |
|
preq2 |
⊢ ( 𝑙 = 𝐴 → { 𝑥 , 𝑙 } = { 𝑥 , 𝐴 } ) |
63 |
62
|
preq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝐴 → { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } = { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝐴 } } ) |
64 |
63
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑙 = 𝐴 → ( { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝐴 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
65 |
64
|
reubidv |
⊢ ( 𝑙 = 𝐴 → ( ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝐴 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
66 |
65
|
notbid |
⊢ ( 𝑙 = 𝐴 → ( ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝐴 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
67 |
66
|
rexsng |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑋 → ( ∃ 𝑙 ∈ { 𝐴 } ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝐴 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
68 |
67
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑙 ∈ { 𝐴 } ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝐴 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
69 |
68
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ∃ 𝑙 ∈ { 𝐴 } ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝐴 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
70 |
57 61 69
|
3bitrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝐴 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
71 |
54 70
|
orbi12d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ↔ ( ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ ¬ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝐴 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
72 |
38 71
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
73 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → { 𝑘 } = { 𝐴 } ) |
74 |
73
|
difeq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ) |
75 |
|
preq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → { 𝑥 , 𝑘 } = { 𝑥 , 𝐴 } ) |
76 |
75
|
preq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } = { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ) |
77 |
76
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
78 |
77
|
reubidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
79 |
74 78
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
80 |
79
|
notbid |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
81 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → { 𝑘 } = { 𝐵 } ) |
82 |
81
|
difeq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ) |
83 |
|
preq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → { 𝑥 , 𝑘 } = { 𝑥 , 𝐵 } ) |
84 |
83
|
preq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } = { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ) |
85 |
84
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
86 |
85
|
reubidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
87 |
82 86
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
88 |
87
|
notbid |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
89 |
80 88
|
rexprg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
90 |
89
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
91 |
90
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ∃ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ( ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐴 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ∨ ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝐵 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝐵 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
92 |
72 91
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ∃ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
93 |
|
rexnal |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ¬ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ¬ ∀ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
94 |
92 93
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ ∀ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
95 |
94
|
intnand |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
96 |
95
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
97 |
|
id |
⊢ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } → ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) |
98 |
|
difeq1 |
⊢ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } → ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∖ { 𝑘 } ) = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ) |
99 |
|
reueq1 |
⊢ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } → ( ∃! 𝑥 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
100 |
98 99
|
raleqbidv |
⊢ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } → ( ∀ 𝑙 ∈ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
101 |
97 100
|
raleqbidv |
⊢ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } → ( ∀ 𝑘 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∀ 𝑙 ∈ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
102 |
101
|
anbi2d |
⊢ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } → ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∀ 𝑙 ∈ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ↔ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
103 |
102
|
notbid |
⊢ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } → ( ¬ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∀ 𝑙 ∈ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ↔ ¬ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
104 |
103
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) → ( ¬ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∀ 𝑙 ∈ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ↔ ¬ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
105 |
104
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ¬ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∀ 𝑙 ∈ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ↔ ¬ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ∀ 𝑙 ∈ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
106 |
96 105
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ¬ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∀ 𝑙 ∈ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
107 |
|
df-nel |
⊢ ( 𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph ) |
108 |
|
eqid |
⊢ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
109 |
108 2
|
isfrgr |
⊢ ( 𝐺 ∈ FriendGraph ↔ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∀ 𝑙 ∈ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
110 |
107 109
|
xchbinx |
⊢ ( 𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∀ 𝑙 ∈ ( ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∖ { 𝑘 } ) ∃! 𝑥 ∈ ( Vtx ‘ 𝐺 ) { { 𝑥 , 𝑘 } , { 𝑥 , 𝑙 } } ⊆ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
111 |
106 110
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → 𝐺 ∉ FriendGraph ) |
112 |
111
|
expcom |
⊢ ( 𝐺 ∈ USGraph → ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) → 𝐺 ∉ FriendGraph ) ) |
113 |
|
frgrusgr |
⊢ ( 𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph ) |
114 |
113
|
con3i |
⊢ ( ¬ 𝐺 ∈ USGraph → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph ) |
115 |
114 107
|
sylibr |
⊢ ( ¬ 𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∉ FriendGraph ) |
116 |
115
|
a1d |
⊢ ( ¬ 𝐺 ∈ USGraph → ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) → 𝐺 ∉ FriendGraph ) ) |
117 |
112 116
|
pm2.61i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = { 𝐴 , 𝐵 } ) → 𝐺 ∉ FriendGraph ) |