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Theorem ntrneix13

Description: The closure of the union of any pair is equal to the union of closures if and only if the union of any pair belonging to the convergents of a point if equivalent to at least one of the pain belonging to the convergents of that point. (Contributed by RP, 19-Jun-2021)

Ref Expression
Hypotheses ntrnei.o 𝑂 = ( 𝑖 ∈ V , 𝑗 ∈ V ↦ ( 𝑘 ∈ ( 𝒫 𝑗m 𝑖 ) ↦ ( 𝑙𝑗 ↦ { 𝑚𝑖𝑙 ∈ ( 𝑘𝑚 ) } ) ) )
ntrnei.f 𝐹 = ( 𝒫 𝐵 𝑂 𝐵 )
ntrnei.r ( 𝜑𝐼 𝐹 𝑁 )
Assertion ntrneix13 ( 𝜑 → ( ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) = ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ntrnei.o 𝑂 = ( 𝑖 ∈ V , 𝑗 ∈ V ↦ ( 𝑘 ∈ ( 𝒫 𝑗m 𝑖 ) ↦ ( 𝑙𝑗 ↦ { 𝑚𝑖𝑙 ∈ ( 𝑘𝑚 ) } ) ) )
2 ntrnei.f 𝐹 = ( 𝒫 𝐵 𝑂 𝐵 )
3 ntrnei.r ( 𝜑𝐼 𝐹 𝑁 )
4 dfss3 ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ⊆ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) )
5 1 2 3 ntrneiiex ( 𝜑𝐼 ∈ ( 𝒫 𝐵m 𝒫 𝐵 ) )
6 5 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝐼 ∈ ( 𝒫 𝐵m 𝒫 𝐵 ) )
7 elmapi ( 𝐼 ∈ ( 𝒫 𝐵m 𝒫 𝐵 ) → 𝐼 : 𝒫 𝐵 ⟶ 𝒫 𝐵 )
8 6 7 syl ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝐼 : 𝒫 𝐵 ⟶ 𝒫 𝐵 )
9 1 2 3 ntrneibex ( 𝜑𝐵 ∈ V )
10 9 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝐵 ∈ V )
11 simplr ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 )
12 11 elpwid ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝑠𝐵 )
13 simpr ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 )
14 13 elpwid ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝑡𝐵 )
15 12 14 unssd ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝑠𝑡 ) ⊆ 𝐵 )
16 10 15 sselpwd ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝑠𝑡 ) ∈ 𝒫 𝐵 )
17 8 16 ffvelrnd ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ∈ 𝒫 𝐵 )
18 17 elpwid ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ⊆ 𝐵 )
19 ralss ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ⊆ 𝐵 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ) ) )
20 18 19 syl ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ) ) )
21 4 20 syl5bb ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ⊆ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ) ) )
22 dfss3 ( ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) )
23 8 11 ffvelrnd ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼𝑠 ) ∈ 𝒫 𝐵 )
24 23 elpwid ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼𝑠 ) ⊆ 𝐵 )
25 8 13 ffvelrnd ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼𝑡 ) ∈ 𝒫 𝐵 )
26 25 elpwid ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼𝑡 ) ⊆ 𝐵 )
27 24 26 unssd ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ⊆ 𝐵 )
28 ralss ( ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ⊆ 𝐵 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ) ) )
29 27 28 syl ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ) ) )
30 22 29 syl5bb ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ) ) )
31 21 30 anbi12d ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ⊆ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ∧ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ) ∧ ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ) ) ) )
32 eqss ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) = ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ⊆ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ∧ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ) )
33 ralbiim ( ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ) ∧ ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ) ) )
34 31 32 33 3bitr4g ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) = ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ) ) )
35 3 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → 𝐼 𝐹 𝑁 )
36 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → 𝑥𝐵 )
37 9 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → 𝐵 ∈ V )
38 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 )
39 38 elpwid ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → 𝑠𝐵 )
40 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 )
41 40 elpwid ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → 𝑡𝐵 )
42 39 41 unssd ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → ( 𝑠𝑡 ) ⊆ 𝐵 )
43 37 42 sselpwd ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → ( 𝑠𝑡 ) ∈ 𝒫 𝐵 )
44 1 2 35 36 43 ntrneiel ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ↔ ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) )
45 elun ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐼𝑠 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝐼𝑡 ) ) )
46 1 2 35 36 38 ntrneiel ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐼𝑠 ) ↔ 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) )
47 1 2 35 36 40 ntrneiel ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐼𝑡 ) ↔ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) )
48 46 47 orbi12d ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐼𝑠 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) )
49 45 48 syl5bb ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) )
50 44 49 bibi12d ( ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ) ↔ ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) ) )
51 50 ralbidva ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ∀ 𝑥𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) ) )
52 34 51 bitrd ( ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) = ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) ) )
53 52 ralbidva ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) = ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) ) )
54 ralcom ( ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) )
55 53 54 bitrdi ( ( 𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) = ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) ) )
56 55 ralbidva ( 𝜑 → ( ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) = ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) ) )
57 ralcom ( ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) )
58 56 57 bitrdi ( 𝜑 → ( ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( 𝐼 ‘ ( 𝑠𝑡 ) ) = ( ( 𝐼𝑠 ) ∪ ( 𝐼𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠𝑡 ) ∈ ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁𝑥 ) ) ) ) )