Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ntrnei.o |
⊢ 𝑂 = ( 𝑖 ∈ V , 𝑗 ∈ V ↦ ( 𝑘 ∈ ( 𝒫 𝑗 ↑m 𝑖 ) ↦ ( 𝑙 ∈ 𝑗 ↦ { 𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) } ) ) ) |
2 |
|
ntrnei.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝒫 𝐵 𝑂 𝐵 ) |
3 |
|
ntrnei.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 𝐹 𝑁 ) |
4 |
|
dfss3 |
⊢ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ⊆ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) |
5 |
1 2 3
|
ntrneiiex |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ( 𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵 ) ) |
6 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝐼 ∈ ( 𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵 ) ) |
7 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵 ) → 𝐼 : 𝒫 𝐵 ⟶ 𝒫 𝐵 ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝐼 : 𝒫 𝐵 ⟶ 𝒫 𝐵 ) |
9 |
1 2 3
|
ntrneibex |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ V ) |
10 |
9
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝐵 ∈ V ) |
11 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) |
12 |
11
|
elpwid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝑠 ⊆ 𝐵 ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) |
14 |
13
|
elpwid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → 𝑡 ⊆ 𝐵 ) |
15 |
12 14
|
unssd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ⊆ 𝐵 ) |
16 |
10 15
|
sselpwd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ 𝒫 𝐵 ) |
17 |
8 16
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ∈ 𝒫 𝐵 ) |
18 |
17
|
elpwid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ⊆ 𝐵 ) |
19 |
|
ralss |
⊢ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ⊆ 𝐵 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) ) ) |
20 |
18 19
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) ) ) |
21 |
4 20
|
syl5bb |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ⊆ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) ) ) |
22 |
|
dfss3 |
⊢ ( ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ) |
23 |
8 11
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∈ 𝒫 𝐵 ) |
24 |
23
|
elpwid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ⊆ 𝐵 ) |
25 |
8 13
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ∈ 𝒫 𝐵 ) |
26 |
25
|
elpwid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ⊆ 𝐵 ) |
27 |
24 26
|
unssd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ⊆ 𝐵 ) |
28 |
|
ralss |
⊢ ( ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ⊆ 𝐵 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ) ) ) |
29 |
27 28
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ) ) ) |
30 |
22 29
|
syl5bb |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ) ) ) |
31 |
21 30
|
anbi12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ⊆ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ) ) ) ) |
32 |
|
eqss |
⊢ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ⊆ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ) ) |
33 |
|
ralbiim |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ) ) ) |
34 |
31 32 33
|
3bitr4g |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) ) ) |
35 |
3
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝐼 𝐹 𝑁 ) |
36 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
37 |
9
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝐵 ∈ V ) |
38 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) |
39 |
38
|
elpwid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑠 ⊆ 𝐵 ) |
40 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) |
41 |
40
|
elpwid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑡 ⊆ 𝐵 ) |
42 |
39 41
|
unssd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ⊆ 𝐵 ) |
43 |
37 42
|
sselpwd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ 𝒫 𝐵 ) |
44 |
1 2 35 36 43
|
ntrneiel |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ↔ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) |
45 |
|
elun |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) |
46 |
1 2 35 36 38
|
ntrneiel |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ↔ 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) |
47 |
1 2 35 36 40
|
ntrneiel |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ↔ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) |
48 |
46 47
|
orbi12d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
49 |
45 48
|
syl5bb |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
50 |
44 49
|
bibi12d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) ↔ ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
51 |
50
|
ralbidva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
52 |
34 51
|
bitrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
53 |
52
|
ralbidva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
54 |
|
ralcom |
⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
55 |
53 54
|
bitrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ) → ( ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
56 |
55
|
ralbidva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
57 |
|
ralcom |
⊢ ( ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
58 |
56 57
|
bitrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( 𝐼 ‘ ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑠 ) ∪ ( 𝐼 ‘ 𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ( 𝑠 ∪ 𝑡 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ∨ 𝑡 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |