Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
2 |
|
zaddcl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
3 |
2
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
4 |
|
rmxyval |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) |
5 |
1 3 4
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) |
6 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
7 |
6
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
8 |
7
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
9 |
|
zq |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ ) |
10 |
|
qsqcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℚ → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℚ ) |
11 |
7 9 10
|
3syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℚ ) |
12 |
|
zssq |
⊢ ℤ ⊆ ℚ |
13 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
14 |
12 13
|
sselii |
⊢ 1 ∈ ℚ |
15 |
14
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℚ ) |
16 |
|
qsubcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℚ ) |
17 |
11 15 16
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℚ ) |
18 |
|
qcn |
⊢ ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℚ → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
19 |
17 18
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
20 |
19
|
sqrtcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
21 |
8 20
|
addcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
22 |
|
rmbaserp |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
23 |
22
|
rpne0d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ≠ 0 ) |
24 |
23
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ≠ 0 ) |
25 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
26 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
27 |
|
expaddz |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) · ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
28 |
21 24 25 26 27
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) · ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
29 |
|
frmx |
⊢ Xrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℕ0 |
30 |
29
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → Xrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℕ0 ) |
31 |
30 1 25
|
fovrnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) |
32 |
31
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
33 |
|
frmy |
⊢ Yrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℤ |
34 |
33
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → Yrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℤ ) |
35 |
34 1 25
|
fovrnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
36 |
35
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
37 |
20 36
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ∈ ℂ ) |
38 |
30 1 26
|
fovrnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
39 |
38
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
40 |
34 1 26
|
fovrnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
41 |
40
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
42 |
20 41
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
43 |
32 37 39 42
|
muladdd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) + ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
44 |
|
rmxyval |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) ) |
45 |
1 25 44
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) ) |
46 |
|
rmxyval |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) |
47 |
1 26 46
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) |
48 |
45 47
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) · ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
49 |
43 48
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) + ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑀 ) · ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
50 |
20 41 20 36
|
mul4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) |
51 |
19
|
msqsqrtd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) |
52 |
41 36
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) = ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) |
53 |
51 52
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
54 |
50 53
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
55 |
54
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) |
56 |
32 20 41
|
mul12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
57 |
39 20 36
|
mul12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) |
58 |
56 57
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) = ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) ) |
59 |
32 41
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
60 |
39 36
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ∈ ℂ ) |
61 |
20 59 60
|
adddid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) = ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) ) |
62 |
59 60
|
addcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
63 |
39 36
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) = ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ) |
64 |
63
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
65 |
62 64
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
66 |
65
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) = ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) |
67 |
58 61 66
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) = ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) |
68 |
55 67
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) + ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
69 |
28 49 68
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
70 |
5 69
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
71 |
|
rmspecsqrtnq |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ℚ ) ) |
72 |
71
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ℚ ) ) |
73 |
|
nn0ssq |
⊢ ℕ0 ⊆ ℚ |
74 |
30 1 3
|
fovrnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
75 |
73 74
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) |
76 |
34 1 3
|
fovrnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
77 |
12 76
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) |
78 |
73 31
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) ∈ ℚ ) |
79 |
73 38
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) |
80 |
|
qmulcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) |
81 |
78 79 80
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) |
82 |
12 35
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∈ ℚ ) |
83 |
12 40
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) |
84 |
|
qmulcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) |
85 |
82 83 84
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) |
86 |
|
qmulcl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℚ ∧ ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ ) |
87 |
17 85 86
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ ) |
88 |
|
qaddcl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ∧ ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∈ ℚ ) |
89 |
81 87 88
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∈ ℚ ) |
90 |
|
qmulcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) |
91 |
82 79 90
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) |
92 |
|
qmulcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℚ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) |
93 |
78 83 92
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) |
94 |
|
qaddcl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ∧ ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) → ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ ) |
95 |
91 93 94
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ ) |
96 |
|
qirropth |
⊢ ( ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ℚ ) ∧ ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ ℚ ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∈ ℚ ∧ ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℚ ) ) → ( ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
97 |
72 75 77 89 95 96
|
syl122anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
98 |
70 97
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( 𝐴 Yrm ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + ( ( 𝐴 Xrm 𝑀 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) ) |