Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rrxtopnfi.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ Fin ) |
2 |
1
|
rrxtopn |
⊢ ( 𝜑 → ( TopOpen ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) = ( MetOpen ‘ ( 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) , 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ↦ ( √ ‘ ( ℝfld Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
3 |
|
eqid |
⊢ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) = ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) |
4 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) = ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) |
5 |
1 3 4
|
rrxbasefi |
⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) = ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) |
6 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) → ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) = ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) |
7 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) ) → 𝜑 ) |
8 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) |
9 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) |
10 |
9 6
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) |
11 |
8 10
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) |
12 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) |
14 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) → ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) = ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) |
15 |
13 14
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) |
16 |
12 15
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) |
17 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) → 𝑓 : 𝐼 ⟶ ℝ ) |
18 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → 𝑓 : 𝐼 ⟶ ℝ ) |
19 |
18
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
20 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) → 𝑔 : 𝐼 ⟶ ℝ ) |
21 |
20
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → 𝑔 : 𝐼 ⟶ ℝ ) |
22 |
21
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
23 |
19 22
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
24 |
23
|
resqcld |
⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
25 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) |
26 |
24 25
|
fmptd |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) : 𝐼 ⟶ ℝ ) |
27 |
26
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) : 𝐼 ⟶ ℝ ) |
28 |
1
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → 𝐼 ∈ Fin ) |
29 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
30 |
27 28 29
|
fidmfisupp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) finSupp 0 ) |
31 |
|
regsumsupp |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) : 𝐼 ⟶ ℝ ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ Fin ) → ( ℝfld Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) supp 0 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ‘ 𝑘 ) ) |
32 |
27 30 28 31
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → ( ℝfld Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) supp 0 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ‘ 𝑘 ) ) |
33 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
34 |
33
|
a1i |
⊢ ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) → ℝ ⊆ ℂ ) |
35 |
17 34
|
fssd |
⊢ ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) → 𝑓 : 𝐼 ⟶ ℂ ) |
36 |
35
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → 𝑓 : 𝐼 ⟶ ℂ ) |
37 |
36
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
38 |
33
|
a1i |
⊢ ( 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) → ℝ ⊆ ℂ ) |
39 |
20 38
|
fssd |
⊢ ( 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) → 𝑔 : 𝐼 ⟶ ℂ ) |
40 |
39
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → 𝑔 : 𝐼 ⟶ ℂ ) |
41 |
40
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
42 |
37 41
|
subcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
43 |
42
|
sqcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
44 |
43 25
|
fmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) : 𝐼 ⟶ ℂ ) |
45 |
28 44
|
fsumsupp0 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) supp 0 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ 𝐼 ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ‘ 𝑘 ) ) |
46 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
47 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑘 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) |
48 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑘 → ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) |
49 |
47 48
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑘 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ) |
50 |
49
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑘 → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ) |
51 |
50
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑥 = 𝑘 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ) |
52 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑘 ∈ 𝐼 ) |
53 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ∈ V ) |
54 |
46 51 52 53
|
fvmptd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ) |
55 |
54
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → Σ 𝑘 ∈ 𝐼 ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ 𝐼 ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ) |
56 |
32 45 55
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → ( ℝfld Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ 𝐼 ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ) |
57 |
56
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ∧ 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ) → ( √ ‘ ( ℝfld Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑘 ∈ 𝐼 ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
58 |
7 11 16 57
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ) ) → ( √ ‘ ( ℝfld Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑘 ∈ 𝐼 ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
59 |
5 6 58
|
mpoeq123dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) , 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ↦ ( √ ‘ ( ℝfld Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) , 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ↦ ( √ ‘ Σ 𝑘 ∈ 𝐼 ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
60 |
59
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( MetOpen ‘ ( 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) , 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) ↦ ( √ ‘ ( ℝfld Σg ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑥 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) ) = ( MetOpen ‘ ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) , 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ↦ ( √ ‘ Σ 𝑘 ∈ 𝐼 ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
61 |
2 60
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( TopOpen ‘ ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) ) = ( MetOpen ‘ ( 𝑓 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) , 𝑔 ∈ ( ℝ ↑m 𝐼 ) ↦ ( √ ‘ Σ 𝑘 ∈ 𝐼 ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |