Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
2 |
|
halfpire |
⊢ ( π / 2 ) ∈ ℝ |
3 |
1 2
|
remulcli |
⊢ ( 3 · ( π / 2 ) ) ∈ ℝ |
4 |
3
|
rexri |
⊢ ( 3 · ( π / 2 ) ) ∈ ℝ* |
5 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
6 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
7 |
5 6
|
remulcli |
⊢ ( 2 · π ) ∈ ℝ |
8 |
7
|
rexri |
⊢ ( 2 · π ) ∈ ℝ* |
9 |
|
elioo2 |
⊢ ( ( ( 3 · ( π / 2 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 2 · π ) ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 ∈ ( ( 3 · ( π / 2 ) ) (,) ( 2 · π ) ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 3 · ( π / 2 ) ) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ( 2 · π ) ) ) ) |
10 |
4 8 9
|
mp2an |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ( 3 · ( π / 2 ) ) (,) ( 2 · π ) ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 3 · ( π / 2 ) ) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ( 2 · π ) ) ) |
11 |
|
df-3 |
⊢ 3 = ( 2 + 1 ) |
12 |
11
|
oveq1i |
⊢ ( 3 · ( π / 2 ) ) = ( ( 2 + 1 ) · ( π / 2 ) ) |
13 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
14 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
15 |
2
|
recni |
⊢ ( π / 2 ) ∈ ℂ |
16 |
13 14 15
|
adddiri |
⊢ ( ( 2 + 1 ) · ( π / 2 ) ) = ( ( 2 · ( π / 2 ) ) + ( 1 · ( π / 2 ) ) ) |
17 |
6
|
recni |
⊢ π ∈ ℂ |
18 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
19 |
17 13 18
|
divcan2i |
⊢ ( 2 · ( π / 2 ) ) = π |
20 |
15
|
mulid2i |
⊢ ( 1 · ( π / 2 ) ) = ( π / 2 ) |
21 |
19 20
|
oveq12i |
⊢ ( ( 2 · ( π / 2 ) ) + ( 1 · ( π / 2 ) ) ) = ( π + ( π / 2 ) ) |
22 |
12 16 21
|
3eqtrri |
⊢ ( π + ( π / 2 ) ) = ( 3 · ( π / 2 ) ) |
23 |
22
|
breq1i |
⊢ ( ( π + ( π / 2 ) ) < 𝐴 ↔ ( 3 · ( π / 2 ) ) < 𝐴 ) |
24 |
|
ltaddsub |
⊢ ( ( π ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( π + ( π / 2 ) ) < 𝐴 ↔ π < ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) |
25 |
6 2 24
|
mp3an12 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( π + ( π / 2 ) ) < 𝐴 ↔ π < ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) |
26 |
23 25
|
bitr3id |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( 3 · ( π / 2 ) ) < 𝐴 ↔ π < ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) |
27 |
|
ltsubadd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 3 · ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) < ( 3 · ( π / 2 ) ) ↔ 𝐴 < ( ( 3 · ( π / 2 ) ) + ( π / 2 ) ) ) ) |
28 |
2 3 27
|
mp3an23 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) < ( 3 · ( π / 2 ) ) ↔ 𝐴 < ( ( 3 · ( π / 2 ) ) + ( π / 2 ) ) ) ) |
29 |
|
df-4 |
⊢ 4 = ( 3 + 1 ) |
30 |
29
|
oveq1i |
⊢ ( 4 · ( π / 2 ) ) = ( ( 3 + 1 ) · ( π / 2 ) ) |
31 |
1
|
recni |
⊢ 3 ∈ ℂ |
32 |
31 14 15
|
adddiri |
⊢ ( ( 3 + 1 ) · ( π / 2 ) ) = ( ( 3 · ( π / 2 ) ) + ( 1 · ( π / 2 ) ) ) |
33 |
20
|
oveq2i |
⊢ ( ( 3 · ( π / 2 ) ) + ( 1 · ( π / 2 ) ) ) = ( ( 3 · ( π / 2 ) ) + ( π / 2 ) ) |
34 |
30 32 33
|
3eqtrri |
⊢ ( ( 3 · ( π / 2 ) ) + ( π / 2 ) ) = ( 4 · ( π / 2 ) ) |
35 |
|
4cn |
⊢ 4 ∈ ℂ |
36 |
|
2cnne0 |
⊢ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) |
37 |
|
div12 |
⊢ ( ( 4 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( 4 · ( π / 2 ) ) = ( π · ( 4 / 2 ) ) ) |
38 |
35 17 36 37
|
mp3an |
⊢ ( 4 · ( π / 2 ) ) = ( π · ( 4 / 2 ) ) |
39 |
|
4d2e2 |
⊢ ( 4 / 2 ) = 2 |
40 |
39
|
oveq2i |
⊢ ( π · ( 4 / 2 ) ) = ( π · 2 ) |
41 |
17 13
|
mulcomi |
⊢ ( π · 2 ) = ( 2 · π ) |
42 |
40 41
|
eqtri |
⊢ ( π · ( 4 / 2 ) ) = ( 2 · π ) |
43 |
38 42
|
eqtri |
⊢ ( 4 · ( π / 2 ) ) = ( 2 · π ) |
44 |
34 43
|
eqtri |
⊢ ( ( 3 · ( π / 2 ) ) + ( π / 2 ) ) = ( 2 · π ) |
45 |
44
|
breq2i |
⊢ ( 𝐴 < ( ( 3 · ( π / 2 ) ) + ( π / 2 ) ) ↔ 𝐴 < ( 2 · π ) ) |
46 |
28 45
|
bitr2di |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 < ( 2 · π ) ↔ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) < ( 3 · ( π / 2 ) ) ) ) |
47 |
26 46
|
anbi12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( ( 3 · ( π / 2 ) ) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ( 2 · π ) ) ↔ ( π < ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∧ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) < ( 3 · ( π / 2 ) ) ) ) ) |
48 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
49 |
2 48
|
mpan2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
50 |
6
|
rexri |
⊢ π ∈ ℝ* |
51 |
|
elioo2 |
⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ ( 3 · ( π / 2 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ( π (,) ( 3 · ( π / 2 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ π < ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∧ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) < ( 3 · ( π / 2 ) ) ) ) ) |
52 |
50 4 51
|
mp2an |
⊢ ( ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ( π (,) ( 3 · ( π / 2 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ π < ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∧ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) < ( 3 · ( π / 2 ) ) ) ) |
53 |
|
sincosq3sgn |
⊢ ( ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ( π (,) ( 3 · ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ) ) |
54 |
52 53
|
sylbir |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ π < ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∧ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) < ( 3 · ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ) ) |
55 |
49 54
|
syl3an1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ π < ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∧ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) < ( 3 · ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ) ) |
56 |
55
|
3expib |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( π < ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∧ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) < ( 3 · ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ) ) ) |
57 |
47 56
|
sylbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( ( 3 · ( π / 2 ) ) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ( 2 · π ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ) ) ) |
58 |
49
|
resincld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
59 |
58
|
lt0neg1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ↔ 0 < - ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) ) |
60 |
59
|
anbi1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ) ↔ ( 0 < - ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ) ) ) |
61 |
57 60
|
sylibd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( ( 3 · ( π / 2 ) ) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ( 2 · π ) ) → ( 0 < - ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ) ) ) |
62 |
|
recn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ ) |
63 |
|
pncan3 |
⊢ ( ( ( π / 2 ) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( ( π / 2 ) + ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) = 𝐴 ) |
64 |
15 62 63
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( π / 2 ) + ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) = 𝐴 ) |
65 |
64
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( cos ‘ ( ( π / 2 ) + ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) = ( cos ‘ 𝐴 ) ) |
66 |
49
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
67 |
|
coshalfpip |
⊢ ( ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ℂ → ( cos ‘ ( ( π / 2 ) + ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) = - ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) |
68 |
66 67
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( cos ‘ ( ( π / 2 ) + ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) = - ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) |
69 |
65 68
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( cos ‘ 𝐴 ) = - ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) |
70 |
69
|
breq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ↔ 0 < - ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) ) |
71 |
64
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( sin ‘ ( ( π / 2 ) + ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) = ( sin ‘ 𝐴 ) ) |
72 |
|
sinhalfpip |
⊢ ( ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ∈ ℂ → ( sin ‘ ( ( π / 2 ) + ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) = ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) |
73 |
66 72
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( sin ‘ ( ( π / 2 ) + ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) = ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) |
74 |
71 73
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝐴 ) = ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ) |
75 |
74
|
breq1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( sin ‘ 𝐴 ) < 0 ↔ ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ) ) |
76 |
70 75
|
anbi12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ∧ ( sin ‘ 𝐴 ) < 0 ) ↔ ( 0 < - ( sin ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 − ( π / 2 ) ) ) < 0 ) ) ) |
77 |
61 76
|
sylibrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( ( 3 · ( π / 2 ) ) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ( 2 · π ) ) → ( 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ∧ ( sin ‘ 𝐴 ) < 0 ) ) ) |
78 |
77
|
3impib |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 3 · ( π / 2 ) ) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ( 2 · π ) ) → ( 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ∧ ( sin ‘ 𝐴 ) < 0 ) ) |
79 |
78
|
ancomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 3 · ( π / 2 ) ) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ( 2 · π ) ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) < 0 ∧ 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
80 |
10 79
|
sylbi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ( 3 · ( π / 2 ) ) (,) ( 2 · π ) ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) < 0 ∧ 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |