Theorem infcvgaux1i 13668

Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 13667. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1
infcvg.2
infcvg.3
infcvg.4

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux1i

Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem infcvgaux1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.1	. . 3
2		infcvg.2	. . . . . . 7
3	2	renegcld 10011	. . . . . 6
4		eleq1 2529	. . . . . 6
5	3, 4	syl5ibrcom 222	. . . . 5
6	5	rexlimiv 2943	. . . 4
7	6	abssi 3574	. . 3
8	1, 7	eqsstri 3533	. 2
9		infcvg.3	. . . . . 6
10		eqid 2457	. . . . . 6
11	10	nfth 1625	. . . . . . 7
12		csbeq1a 3443	. . . . . . . . 9
13	12	negeqd 9837	. . . . . . . 8
14	13	eqeq2d 2471	. . . . . . 7
15	11, 14	rspce 3205	. . . . . 6
16	9, 10, 15	mp2an 672	. . . . 5
17		negex 9841	. . . . . 6
18		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . 9
19	18	nfneg 9839	. . . . . . . 8
20	19	nfeq2 2636	. . . . . . 7
21		eqeq1 2461	. . . . . . 7
22	20, 21	rexbid 2967	. . . . . 6
23	17, 22	elab 3246	. . . . 5
24	16, 23	mpbir 209	. . . 4
25	24, 1	eleqtrri 2544	. . 3
26	25	ne0ii 3791	. 2
27		infcvg.4	. 2
28	8, 26, 27	3pm3.2i 1174	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  cr 9512  cle 9650  -ucneg 9829

This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  13669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831