Theorem infxpenc2OLD 8424

Description: Existence form of infxpencOLD 8421. A "uniform" or "canonical" version of infxpen 8413, asserting the existence of a single function that simultaneously demonstrates product idempotence of all ordinals below a given bound. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of infxpenc2 8420 as of 7-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
infxpenc2OLD

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem infxpenc2OLD

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom3cOLD 8179	. 2
2		df-2o 7150	. . . . . . . 8
3	2	oveq2i 6307	. . . . . . 7
4		omelon 8084	. . . . . . . 8
5		1on 7156	. . . . . . . 8
6		oesuc 7196	. . . . . . . 8
7	4, 5, 6	mp2an 672	. . . . . . 7
8		oe1 7212	. . . . . . . . 9
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8
10	9	oveq1i 6306	. . . . . . 7
11	3, 7, 10	3eqtri 2490	. . . . . 6
12		omxpen 7639	. . . . . . 7
13	4, 4, 12	mp2an 672	. . . . . 6
14	11, 13	eqbrtri 4471	. . . . 5
15		xpomen 8414	. . . . 5
16	14, 15	entri 7589	. . . 4
17	16	a1i 11	. . 3
18		bren 7545	. . 3
19	17, 18	sylib 196	. 2
20		eeanv 1988	. . 3
21		simpl 457	. . . . . 6
22		simprl 756	. . . . . . 7
23		sseq2 3525	. . . . . . . . 9
24		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12
25		f1oeq3 5814	. . . . . . . . . . . 12
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . . . . 11
27	26	cbvrexv 3085	. . . . . . . . . 10
28		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
29		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . . . 13
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
31		f1oeq2 5813	. . . . . . . . . . . 12
32	30, 31	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11
33	32	rexbidv 2968	. . . . . . . . . 10
34	27, 33	syl5bb 257	. . . . . . . . 9
35	23, 34	imbi12d 320	. . . . . . . 8
36	35	cbvralv 3084	. . . . . . 7
37	22, 36	sylib 196	. . . . . 6
38		oveq2 6304	. . . . . . . . 9
39	38	cbvmptv 4543	. . . . . . . 8
40	39	cnveqi 5182	. . . . . . 7
41	40	fveq1i 5872	. . . . . 6
42		2on 7157	. . . . . . . . . 10
43		peano1 6719	. . . . . . . . . . 11
44		oen0 7254	. . . . . . . . . . 11
45	43, 44	mpan2 671	. . . . . . . . . 10
46	4, 42, 45	mp2an 672	. . . . . . . . 9
47		eqid 2457	. . . . . . . . . 10
48	47	fveqf1o 6205	. . . . . . . . 9
49	46, 43, 48	mp3an23 1316	. . . . . . . 8
50	49	ad2antll 728	. . . . . . 7
51	50	simpld 459	. . . . . 6
52	50	simprd 463	. . . . . 6
53	21, 37, 41, 51, 52	infxpenc2lem3OLD 8423	. . . . 5
54	53	ex 434	. . . 4
55	54	exlimdvv 1725	. . 3
56	20, 55	syl5bir 218	. 2
57	1, 19, 56	mp2and 679	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  {cpr 4031  <.cop 4035   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cid 4795  con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  rancrn 5005  |`cres 5006  o.ccom 5008  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  com 6700  c1o 7142  c2o 7143  comu 7147  coe 7148  cen 7533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100  df-card 8341