Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin4-3 Unicode version

Theorem isfin4-3 8716
 Description: Alternate definition of IV-finite sets: they are strictly dominated by their successors. (Thus, the proper subset referred to in isfin4 8698 can be assumed to be only a singleton smaller than the original.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin4-3

Proof of Theorem isfin4-3
StepHypRef Expression
1 1on 7156 . . . 4
2 cdadom3 8589 . . . 4
31, 2mpan2 671 . . 3
4 ssun1 3666 . . . . . . . 8
5 relen 7541 . . . . . . . . . 10
65brrelexi 5045 . . . . . . . . 9
7 cdaval 8571 . . . . . . . . 9
86, 1, 7sylancl 662 . . . . . . . 8
94, 8syl5sseqr 3552 . . . . . . 7
10 0lt1o 7173 . . . . . . . . . 10
111elexi 3119 . . . . . . . . . . 11
1211snid 4057 . . . . . . . . . 10
13 opelxpi 5036 . . . . . . . . . 10
1410, 12, 13mp2an 672 . . . . . . . . 9
15 elun2 3671 . . . . . . . . 9
1614, 15mp1i 12 . . . . . . . 8
1716, 8eleqtrrd 2548 . . . . . . 7
18 1n0 7164 . . . . . . . 8
19 opelxp2 5038 . . . . . . . . . 10
20 elsni 4054 . . . . . . . . . 10
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9
2221necon3ai 2685 . . . . . . . 8
2318, 22mp1i 12 . . . . . . 7
249, 17, 23ssnelpssd 3891 . . . . . 6
25 0ex 4582 . . . . . . . 8
26 xpsneng 7622 . . . . . . . 8
276, 25, 26sylancl 662 . . . . . . 7
28 entr 7587 . . . . . . 7
2927, 28mpancom 669 . . . . . 6
30 fin4i 8699 . . . . . 6
3124, 29, 30syl2anc 661 . . . . 5
32 fin4en1 8710 . . . . 5
3331, 32mtod 177 . . . 4
3433con2i 120 . . 3
35 brsdom 7558 . . 3
363, 34, 35sylanbrc 664 . 2
37 sdomnen 7564 . . . 4
38 infcda1 8594 . . . . 5
3938ensymd 7586 . . . 4
4037, 39nsyl 121 . . 3
41 relsdom 7543 . . . . 5
4241brrelexi 5045 . . . 4
43 isfin4-2 8715 . . . 4
4442, 43syl 16 . . 3
4540, 44mpbird 232 . 2
4636, 45impbii 188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  u.cun 3473  C.wpss 3476   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccda 8568   cfin4 8681 This theorem is referenced by:  fin45  8793  finngch  9054  gchinf  9056 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-cda 8569  df-fin4 8688
 Copyright terms: Public domain W3C validator