Theorem isfin4-3 8716

Description: Alternate definition of IV-finite sets: they are strictly dominated by their successors. (Thus, the proper subset referred to in isfin4 8698 can be assumed to be only a singleton smaller than the original.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin4-3

Proof of Theorem isfin4-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7156	. . . 4
2		cdadom3 8589	. . . 4
3	1, 2	mpan2 671	. . 3
4		ssun1 3666	. . . . . . . 8
5		relen 7541	. . . . . . . . . 10
6	5	brrelexi 5045	. . . . . . . . 9
7		cdaval 8571	. . . . . . . . 9
8	6, 1, 7	sylancl 662	. . . . . . . 8
9	4, 8	syl5sseqr 3552	. . . . . . 7
10		0lt1o 7173	. . . . . . . . . 10
11	1	elexi 3119	. . . . . . . . . . 11
12	11	snid 4057	. . . . . . . . . 10
13		opelxpi 5036	. . . . . . . . . 10
14	10, 12, 13	mp2an 672	. . . . . . . . 9
15		elun2 3671	. . . . . . . . 9
16	14, 15	mp1i 12	. . . . . . . 8
17	16, 8	eleqtrrd 2548	. . . . . . 7
18		1n0 7164	. . . . . . . 8
19		opelxp2 5038	. . . . . . . . . 10
20		elsni 4054	. . . . . . . . . 10
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . 9
22	21	necon3ai 2685	. . . . . . . 8
23	18, 22	mp1i 12	. . . . . . 7
24	9, 17, 23	ssnelpssd 3891	. . . . . 6
25		0ex 4582	. . . . . . . 8
26		xpsneng 7622	. . . . . . . 8
27	6, 25, 26	sylancl 662	. . . . . . 7
28		entr 7587	. . . . . . 7
29	27, 28	mpancom 669	. . . . . 6
30		fin4i 8699	. . . . . 6
31	24, 29, 30	syl2anc 661	. . . . 5
32		fin4en1 8710	. . . . 5
33	31, 32	mtod 177	. . . 4
34	33	con2i 120	. . 3
35		brsdom 7558	. . 3
36	3, 34, 35	sylanbrc 664	. 2
37		sdomnen 7564	. . . 4
38		infcda1 8594	. . . . 5
39	38	ensymd 7586	. . . 4
40	37, 39	nsyl 121	. . 3
41		relsdom 7543	. . . . 5
42	41	brrelexi 5045	. . . 4
43		isfin4-2 8715	. . . 4
44	42, 43	syl 16	. . 3
45	40, 44	mpbird 232	. 2
46	36, 45	impbii 188	1

Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  u.cun 3473  C.wpss 3476  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  con0 4883  X.cxp 5002  (class class class)co 6296  com 6700  c1o 7142  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  ccda 8568  cfin4 8681

This theorem is referenced by:  fin45  8793  finngch  9054  gchinf  9056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-cda 8569  df-fin4 8688