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Theorem ixpiunwdom 7753
Description: Describe an onto function from the indexed cartesian product to the indexed union. Together with ixpssmapg 7252 this shows that and have closely linked cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiunwdom
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ixpiunwdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2954 . . . . . . . . . 10
21elixp 7229 . . . . . . . . 9
32simprbi 454 . . . . . . . 8
4 ssiun2 4188 . . . . . . . . . 10
54sseld 3332 . . . . . . . . 9
65ralimia 2768 . . . . . . . 8
73, 6syl 16 . . . . . . 7
8 nfv 1664 . . . . . . . 8
9 nfiu1 4175 . . . . . . . . 9
109nfel2 2570 . . . . . . . 8
11 fveq2 5661 . . . . . . . . 9
1211eleq1d 2488 . . . . . . . 8
138, 10, 12cbvral 2922 . . . . . . 7
147, 13sylib 190 . . . . . 6
1514adantl 456 . . . . 5
1615ralrimiva 2778 . . . 4
17 eqid 2422 . . . . 5
1817fmpt2 6610 . . . 4
1916, 18sylib 190 . . 3
20 ixpssmap2g 7251 . . . . . 6
21203ad2ant2 995 . . . . 5
22 ovex 6086 . . . . . 6
2322ssex 4411 . . . . 5
2421, 23syl 16 . . . 4
25 simp1 973 . . . 4
26 xpexg 6477 . . . 4
2724, 25, 26syl2anc 646 . . 3
28 simp2 974 . . 3
29 fex2 6501 . . 3
3019, 27, 28, 29syl3anc 1203 . 2
31 ffn 5529 . . . . 5
3219, 31syl 16 . . . 4
33 dffn4 5596 . . . 4
3432, 33sylib 190 . . 3
35 n0 3623 . . . . . . . . . 10
36 eliun 4150 . . . . . . . . . . . 12
37 nfixp1 7242 . . . . . . . . . . . . . 14
3837nfel2 2570 . . . . . . . . . . . . 13
39 nfv 1664 . . . . . . . . . . . . . 14
4037, 39nfrex 2750 . . . . . . . . . . . . 13
41 simplrr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42 iftrue 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43 csbeq1a 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4443equcoms 1726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544eqcomd 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4642, 45eleq12d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4741, 46syl5ibrcom 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 vex 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4948elixp 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5049simprbi 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5150adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52 nfv 1664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53 nfcsb1v 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5453nfel2 2570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5655, 43eleq12d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5752, 54, 56cbvral 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5851, 57sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958r19.21bi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 iffalse 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160eleq1d 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6259, 61syl5ibrcom 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6347, 62pm2.61d 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463ralrimiva 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 ixpfn 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 fndm 5480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6948dmex 6481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7068, 69syl6eqelr 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71 mptelixpg 7259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7364, 72mpbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 nfcv 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574, 53, 43cbvixp 7239 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7673, 75syl6eleqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 simprl 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79 vex 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8042, 78, 79fvmpt 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180ad2antrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281eqcomd 2427 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 fveq1 5660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483eqeq2d 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685eqeq2d 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8784, 86rspc2ev 3059 . . . . . . . . . . . . . . 15
8876, 77, 82, 87syl3anc 1203 . . . . . . . . . . . . . 14
8988exp32 592 . . . . . . . . . . . . 13
9038, 40, 89rexlimd 2817 . . . . . . . . . . . 12
9136, 90syl5bi 211 . . . . . . . . . . 11
9291exlimiv 1679 . . . . . . . . . 10
9335, 92sylbi 189 . . . . . . . . 9
94933ad2ant3 996 . . . . . . . 8
9594alrimiv 1676 . . . . . . 7
96 ssab 3399 . . . . . . 7
9795, 96sylibr 206 . . . . . 6
9817rnmpt2 6170 . . . . . 6
9997, 98syl6sseqr 3380 . . . . 5
100 frn 5535 . . . . . 6
10119, 100syl 16 . . . . 5
10299, 101eqssd 3350 . . . 4
103 foeq3 5588 . . . 4
104102, 103syl 16 . . 3
10534, 104mpbird 226 . 2
106 fowdom 7733 . 2
10730, 105, 106syl2anc 646 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  A.wal 1580  E.wex 1581  =wceq 1687  e.wcel 1749  {cab 2408  =/=wne 2585  A.wral 2694  E.wrex 2695   cvv 2951  [_csb 3265  C_wss 3305   c0 3614  ifcif 3768  U_ciun 4146   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  X.cxp 4809  domcdm 4811  rancrn 4812  Fnwfn 5385  -->wf 5386  -onto->wfo 5388  `cfv 5390  (class class class)co 6061  e.cmpt2 6063   cmap 7175  X_cixp 7222   cwdom 7719
This theorem is referenced by:  ptcmplem2  19329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-id 4607  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-map 7177  df-ixp 7223  df-wdom 7721
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