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Theorem ixpiunwdom 8038
 Description: Describe an onto function from the indexed cartesian product to the indexed union. Together with ixpssmapg 7519 this shows that and have closely linked cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiunwdom
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ixpiunwdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . . . . . . 10
21elixp 7496 . . . . . . . . 9
32simprbi 464 . . . . . . . 8
4 ssiun2 4373 . . . . . . . . . 10
54sseld 3502 . . . . . . . . 9
65ralimia 2848 . . . . . . . 8
73, 6syl 16 . . . . . . 7
8 nfv 1707 . . . . . . . 8
9 nfiu1 4360 . . . . . . . . 9
109nfel2 2637 . . . . . . . 8
11 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
1211eleq1d 2526 . . . . . . . 8
138, 10, 12cbvral 3080 . . . . . . 7
147, 13sylib 196 . . . . . 6
1514adantl 466 . . . . 5
1615ralrimiva 2871 . . . 4
17 eqid 2457 . . . . 5
1817fmpt2 6867 . . . 4
1916, 18sylib 196 . . 3
20 ixpssmap2g 7518 . . . . . 6
21203ad2ant2 1018 . . . . 5
22 ovex 6324 . . . . . 6
2322ssex 4596 . . . . 5
2421, 23syl 16 . . . 4
25 simp1 996 . . . 4
26 xpexg 6602 . . . 4
2724, 25, 26syl2anc 661 . . 3
28 simp2 997 . . 3
29 fex2 6755 . . 3
3019, 27, 28, 29syl3anc 1228 . 2
31 ffn 5736 . . . . 5
3219, 31syl 16 . . . 4
33 dffn4 5806 . . . 4
3432, 33sylib 196 . . 3
35 n0 3794 . . . . . . . . . 10
36 eliun 4335 . . . . . . . . . . . 12
37 nfixp1 7509 . . . . . . . . . . . . . 14
3837nfel2 2637 . . . . . . . . . . . . 13
39 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . 14
4037, 39nfrex 2920 . . . . . . . . . . . . 13
41 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4443equcoms 1795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4642, 45eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4741, 46syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4948elixp 7496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5049simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5453nfel2 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5655, 43eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5752, 54, 56cbvral 3080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5851, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 iffalse 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6259, 61syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6347, 62pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 ixpfn 7495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6948dmex 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7068, 69syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71 mptelixpg 7526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7364, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574, 53, 43cbvixp 7506 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7673, 75syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8042, 78, 79fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8784, 86rspc2ev 3221 . . . . . . . . . . . . . . 15
8876, 77, 82, 87syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
8988exp32 605 . . . . . . . . . . . . 13
9038, 40, 89rexlimd 2941 . . . . . . . . . . . 12
9136, 90syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
9291exlimiv 1722 . . . . . . . . . 10
9335, 92sylbi 195 . . . . . . . . 9
94933ad2ant3 1019 . . . . . . . 8
9594alrimiv 1719 . . . . . . 7
96 ssab 3569 . . . . . . 7
9795, 96sylibr 212 . . . . . 6
9817rnmpt2 6412 . . . . . 6
9997, 98syl6sseqr 3550 . . . . 5
100 frn 5742 . . . . . 6
10119, 100syl 16 . . . . 5
10299, 101eqssd 3520 . . . 4
103 foeq3 5798 . . . 4
104102, 103syl 16 . . 3
10534, 104mpbird 232 . 2
106 fowdom 8018 . 2
10730, 105, 106syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   cmap 7439  X_`cixp 7489   cwdom 8004 This theorem is referenced by:  ptcmplem2  20553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-ixp 7490  df-wdom 8006
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