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Theorem ixpiunwdom 7943
Description: Describe an onto function from the indexed cartesian product to the indexed union. Together with ixpssmapg 7427 this shows that and have closely linked cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiunwdom
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ixpiunwdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3084 . . . . . . . . . 10
21elixp 7404 . . . . . . . . 9
32simprbi 464 . . . . . . . 8
4 ssiun2 4330 . . . . . . . . . 10
54sseld 3469 . . . . . . . . 9
65ralimia 2818 . . . . . . . 8
73, 6syl 16 . . . . . . 7
8 nfv 1674 . . . . . . . 8
9 nfiu1 4317 . . . . . . . . 9
109nfel2 2634 . . . . . . . 8
11 fveq2 5813 . . . . . . . . 9
1211eleq1d 2523 . . . . . . . 8
138, 10, 12cbvral 3052 . . . . . . 7
147, 13sylib 196 . . . . . 6
1514adantl 466 . . . . 5
1615ralrimiva 2831 . . . 4
17 eqid 2454 . . . . 5
1817fmpt2 6774 . . . 4
1916, 18sylib 196 . . 3
20 ixpssmap2g 7426 . . . . . 6
21203ad2ant2 1010 . . . . 5
22 ovex 6247 . . . . . 6
2322ssex 4553 . . . . 5
2421, 23syl 16 . . . 4
25 simp1 988 . . . 4
26 xpexg 6640 . . . 4
2724, 25, 26syl2anc 661 . . 3
28 simp2 989 . . 3
29 fex2 6665 . . 3
3019, 27, 28, 29syl3anc 1219 . 2
31 ffn 5679 . . . . 5
3219, 31syl 16 . . . 4
33 dffn4 5748 . . . 4
3432, 33sylib 196 . . 3
35 n0 3760 . . . . . . . . . 10
36 eliun 4292 . . . . . . . . . . . 12
37 nfixp1 7417 . . . . . . . . . . . . . 14
3837nfel2 2634 . . . . . . . . . . . . 13
39 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . 14
4037, 39nfrex 2891 . . . . . . . . . . . . 13
41 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42 iftrue 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43 csbeq1a 3410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4443equcoms 1735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4642, 45eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4741, 46syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4948elixp 7404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5049simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53 nfcsb1v 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5453nfel2 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5655, 43eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5752, 54, 56cbvral 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5851, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958r19.21bi 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 iffalse 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6259, 61syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6347, 62pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463ralrimiva 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 ixpfn 7403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 fndm 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6948dmex 6644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7068, 69syl6eqelr 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71 mptelixpg 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7364, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574, 53, 43cbvixp 7414 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7673, 75syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8042, 78, 79fvmpt 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 fveq1 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8784, 86rspc2ev 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15
8876, 77, 82, 87syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14
8988exp32 605 . . . . . . . . . . . . 13
9038, 40, 89rexlimd 2947 . . . . . . . . . . . 12
9136, 90syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
9291exlimiv 1689 . . . . . . . . . 10
9335, 92sylbi 195 . . . . . . . . 9
94933ad2ant3 1011 . . . . . . . 8
9594alrimiv 1686 . . . . . . 7
96 ssab 3536 . . . . . . 7
9795, 96sylibr 212 . . . . . 6
9817rnmpt2 6333 . . . . . 6
9997, 98syl6sseqr 3517 . . . . 5
100 frn 5685 . . . . . 6
10119, 100syl 16 . . . . 5
10299, 101eqssd 3487 . . . 4
103 foeq3 5740 . . . 4
104102, 103syl 16 . . 3
10534, 104mpbird 232 . 2
106 fowdom 7923 . 2
10730, 105, 106syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  A.wal 1368  =wceq 1370  E.wex 1587  e.wcel 1758  {cab 2439  =/=wne 2648  A.wral 2800  E.wrex 2801   cvv 3081  [_csb 3401  C_wss 3442   c0 3751  ifcif 3905  U_ciun 4288   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  X.cxp 4955  domcdm 4957  rancrn 4958  Fnwfn 5532  -->wf 5533  -onto->wfo 5535  `cfv 5537  (class class class)co 6222  e.cmpt2 6224   cmap 7348  X_cixp 7397   cwdom 7909
This theorem is referenced by:  ptcmplem2  20024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-map 7350  df-ixp 7398  df-wdom 7911
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