Theorem 1259lem4

Description: Lemma for 1259prm . Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2 ^ 3 0 6 = ( 2 ^ 7 6 ) ^ 4 x. 4 == 5 ^ 4 x. 4 = 2 N - 1 8 , 2 ^ 6 1 2 = ( 2 ^ 3 0 6 ) ^ 2 == 1 8 ^ 2 = 3 2 4 , 2 ^ 6 2 9 = 2 ^ 6 1 2 x. 2 ^ 1 7 == 3 2 4 x. 1 3 6 = 3 5 N - 1 and finally 2 ^ ( N - 1 ) = ( 2 ^ 6 2 9 ) ^ 2 == 1 ^ 2 = 1 . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021)

	Ref	Expression
Hypothesis	1259prm.1	|- N = ; ; ; 1 2 5 9
Assertion	1259lem4	|- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	|- N = ; ; ; 1 2 5 9
2		2nn	|- 2 e. NN
3		6nn0	|- 6 e. NN0
4		2nn0	|- 2 e. NN0
5	3 4	deccl	|- ; 6 2 e. NN0
6		9nn0	|- 9 e. NN0
7	5 6	deccl	|- ; ; 6 2 9 e. NN0
8		0z	|- 0 e. ZZ
9		1nn	|- 1 e. NN
10		1nn0	|- 1 e. NN0
11	10 4	deccl	|- ; 1 2 e. NN0
12		5nn0	|- 5 e. NN0
13	11 12	deccl	|- ; ; 1 2 5 e. NN0
14		8nn0	|- 8 e. NN0
15	13 14	deccl	|- ; ; ; 1 2 5 8 e. NN0
16	15	nn0cni	|- ; ; ; 1 2 5 8 e. CC
17		ax-1cn	|- 1 e. CC
18		8p1e9	|- ( 8 + 1 ) = 9
19		eqid	|- ; ; ; 1 2 5 8 = ; ; ; 1 2 5 8
20	13 14 18 19	decsuc	|- ( ; ; ; 1 2 5 8 + 1 ) = ; ; ; 1 2 5 9
21	1 20	eqtr4i	|- N = ( ; ; ; 1 2 5 8 + 1 )
22	16 17 21	mvrraddi	|- ( N - 1 ) = ; ; ; 1 2 5 8
23	22 15	eqeltri	|- ( N - 1 ) e. NN0
24		9nn	|- 9 e. NN
25	13 24	decnncl	|- ; ; ; 1 2 5 9 e. NN
26	1 25	eqeltri	|- N e. NN
27	3 10	deccl	|- ; 6 1 e. NN0
28	27 4	deccl	|- ; ; 6 1 2 e. NN0
29		3nn0	|- 3 e. NN0
30		4nn0	|- 4 e. NN0
31	29 30	deccl	|- ; 3 4 e. NN0
32	31	nn0zi	|- ; 3 4 e. ZZ
33	29 4	deccl	|- ; 3 2 e. NN0
34	33 30	deccl	|- ; ; 3 2 4 e. NN0
35		7nn0	|- 7 e. NN0
36	10 35	deccl	|- ; 1 7 e. NN0
37	10 29	deccl	|- ; 1 3 e. NN0
38	37 3	deccl	|- ; ; 1 3 6 e. NN0
39		0nn0	|- 0 e. NN0
40	29 39	deccl	|- ; 3 0 e. NN0
41	40 3	deccl	|- ; ; 3 0 6 e. NN0
42		8nn	|- 8 e. NN
43	10 42	decnncl	|- ; 1 8 e. NN
44	11 30	deccl	|- ; ; 1 2 4 e. NN0
45	44 10	deccl	|- ; ; ; 1 2 4 1 e. NN0
46	10 12	deccl	|- ; 1 5 e. NN0
47	46 29	deccl	|- ; ; 1 5 3 e. NN0
48		1z	|- 1 e. ZZ
49	12 39	deccl	|- ; 5 0 e. NN0
50	46 4	deccl	|- ; ; 1 5 2 e. NN0
51	4 12	deccl	|- ; 2 5 e. NN0
52	35 3	deccl	|- ; 7 6 e. NN0
53	1	1259lem3	|- ( ( 2 ^ ; 7 6 ) mod N ) = ( 5 mod N )
54		eqid	|- ; 7 6 = ; 7 6
55		4p1e5	|- ( 4 + 1 ) = 5
56		7cn	|- 7 e. CC
57		2cn	|- 2 e. CC
58		7t2e14	|- ( 7 x. 2 ) = ; 1 4
59	56 57 58	mulcomli	|- ( 2 x. 7 ) = ; 1 4
60	10 30 55 59	decsuc	|- ( ( 2 x. 7 ) + 1 ) = ; 1 5
61		6cn	|- 6 e. CC
62		6t2e12	|- ( 6 x. 2 ) = ; 1 2
63	61 57 62	mulcomli	|- ( 2 x. 6 ) = ; 1 2
64	4 35 3 54 4 10 60 63	decmul2c	|- ( 2 x. ; 7 6 ) = ; ; 1 5 2
65	51	nn0cni	|- ; 2 5 e. CC
66	65	addlidi	|- ( 0 + ; 2 5 ) = ; 2 5
67	26	nncni	|- N e. CC
68	67	mul02i	|- ( 0 x. N ) = 0
69	68	oveq1i	|- ( ( 0 x. N ) + ; 2 5 ) = ( 0 + ; 2 5 )
70		5t5e25	|- ( 5 x. 5 ) = ; 2 5
71	66 69 70	3eqtr4i	|- ( ( 0 x. N ) + ; 2 5 ) = ( 5 x. 5 )
72	26 2 52 8 12 51 53 64 71	mod2xi	|- ( ( 2 ^ ; ; 1 5 2 ) mod N ) = ( ; 2 5 mod N )
73		2p1e3	|- ( 2 + 1 ) = 3
74		eqid	|- ; ; 1 5 2 = ; ; 1 5 2
75	46 4 73 74	decsuc	|- ( ; ; 1 5 2 + 1 ) = ; ; 1 5 3
76	49	nn0cni	|- ; 5 0 e. CC
77	76	addlidi	|- ( 0 + ; 5 0 ) = ; 5 0
78	68	oveq1i	|- ( ( 0 x. N ) + ; 5 0 ) = ( 0 + ; 5 0 )
79		eqid	|- ; 2 5 = ; 2 5
80		2t2e4	|- ( 2 x. 2 ) = 4
81	80	oveq1i	|- ( ( 2 x. 2 ) + 1 ) = ( 4 + 1 )
82	81 55	eqtri	|- ( ( 2 x. 2 ) + 1 ) = 5
83		5t2e10	|- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
84	4 4 12 79 39 10 82 83	decmul1c	|- ( ; 2 5 x. 2 ) = ; 5 0
85	77 78 84	3eqtr4i	|- ( ( 0 x. N ) + ; 5 0 ) = ( ; 2 5 x. 2 )
86	26 2 50 8 51 49 72 75 85	modxp1i	|- ( ( 2 ^ ; ; 1 5 3 ) mod N ) = ( ; 5 0 mod N )
87		eqid	|- ; ; 1 5 3 = ; ; 1 5 3
88		eqid	|- ; 1 5 = ; 1 5
89	57	mulridi	|- ( 2 x. 1 ) = 2
90	89	oveq1i	|- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
91	90 73	eqtri	|- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = 3
92		5cn	|- 5 e. CC
93	92 57 83	mulcomli	|- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
94	4 10 12 88 39 10 91 93	decmul2c	|- ( 2 x. ; 1 5 ) = ; 3 0
95	94	oveq1i	|- ( ( 2 x. ; 1 5 ) + 0 ) = ( ; 3 0 + 0 )
96	40	nn0cni	|- ; 3 0 e. CC
97	96	addridi	|- ( ; 3 0 + 0 ) = ; 3 0
98	95 97	eqtri	|- ( ( 2 x. ; 1 5 ) + 0 ) = ; 3 0
99		2t3e6	|- ( 2 x. 3 ) = 6
100	3	dec0h	|- 6 = ; 0 6
101	99 100	eqtri	|- ( 2 x. 3 ) = ; 0 6
102	4 46 29 87 3 39 98 101	decmul2c	|- ( 2 x. ; ; 1 5 3 ) = ; ; 3 0 6
103	67	mullidi	|- ( 1 x. N ) = N
104	103 1	eqtri	|- ( 1 x. N ) = ; ; ; 1 2 5 9
105		eqid	|- ; ; ; 1 2 4 1 = ; ; ; 1 2 4 1
106	4 30	deccl	|- ; 2 4 e. NN0
107		eqid	|- ; 2 4 = ; 2 4
108	4 30 55 107	decsuc	|- ( ; 2 4 + 1 ) = ; 2 5
109		eqid	|- ; ; 1 2 5 = ; ; 1 2 5
110		eqid	|- ; ; 1 2 4 = ; ; 1 2 4
111		eqid	|- ; 1 2 = ; 1 2
112		1p1e2	|- ( 1 + 1 ) = 2
113		2p2e4	|- ( 2 + 2 ) = 4
114	10 4 10 4 111 111 112 113	decadd	|- ( ; 1 2 + ; 1 2 ) = ; 2 4
115		5p4e9	|- ( 5 + 4 ) = 9
116	11 12 11 30 109 110 114 115	decadd	|- ( ; ; 1 2 5 + ; ; 1 2 4 ) = ; ; 2 4 9
117	106 108 116	decsucc	|- ( ( ; ; 1 2 5 + ; ; 1 2 4 ) + 1 ) = ; ; 2 5 0
118		9p1e10	|- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
119	13 6 44 10 104 105 117 118	decaddc2	|- ( ( 1 x. N ) + ; ; ; 1 2 4 1 ) = ; ; ; 2 5 0 0
120		eqid	|- ; 5 0 = ; 5 0
121	92	mul02i	|- ( 0 x. 5 ) = 0
122	12 12 39 120 70 121	decmul1	|- ( ; 5 0 x. 5 ) = ; ; 2 5 0
123	122	oveq1i	|- ( ( ; 5 0 x. 5 ) + 0 ) = ( ; ; 2 5 0 + 0 )
124	51 39	deccl	|- ; ; 2 5 0 e. NN0
125	124	nn0cni	|- ; ; 2 5 0 e. CC
126	125	addridi	|- ( ; ; 2 5 0 + 0 ) = ; ; 2 5 0
127	123 126	eqtri	|- ( ( ; 5 0 x. 5 ) + 0 ) = ; ; 2 5 0
128	76	mul01i	|- ( ; 5 0 x. 0 ) = 0
129	39	dec0h	|- 0 = ; 0 0
130	128 129	eqtri	|- ( ; 5 0 x. 0 ) = ; 0 0
131	49 12 39 120 39 39 127 130	decmul2c	|- ( ; 5 0 x. ; 5 0 ) = ; ; ; 2 5 0 0
132	119 131	eqtr4i	|- ( ( 1 x. N ) + ; ; ; 1 2 4 1 ) = ( ; 5 0 x. ; 5 0 )
133	26 2 47 48 49 45 86 102 132	mod2xi	|- ( ( 2 ^ ; ; 3 0 6 ) mod N ) = ( ; ; ; 1 2 4 1 mod N )
134		eqid	|- ; ; 3 0 6 = ; ; 3 0 6
135		eqid	|- ; 3 0 = ; 3 0
136	10	dec0h	|- 1 = ; 0 1
137		00id	|- ( 0 + 0 ) = 0
138	99 137	oveq12i	|- ( ( 2 x. 3 ) + ( 0 + 0 ) ) = ( 6 + 0 )
139	61	addridi	|- ( 6 + 0 ) = 6
140	138 139	eqtri	|- ( ( 2 x. 3 ) + ( 0 + 0 ) ) = 6
141	57	mul01i	|- ( 2 x. 0 ) = 0
142	141	oveq1i	|- ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
143		0p1e1	|- ( 0 + 1 ) = 1
144	142 143 136	3eqtri	|- ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) = ; 0 1
145	29 39 39 10 135 136 4 10 39 140 144	decma2c	|- ( ( 2 x. ; 3 0 ) + 1 ) = ; 6 1
146	4 40 3 134 4 10 145 63	decmul2c	|- ( 2 x. ; ; 3 0 6 ) = ; ; 6 1 2
147		eqid	|- ; 1 8 = ; 1 8
148	11 30 55 110	decsuc	|- ( ; ; 1 2 4 + 1 ) = ; ; 1 2 5
149		8cn	|- 8 e. CC
150	149 17 18	addcomli	|- ( 1 + 8 ) = 9
151	44 10 10 14 105 147 148 150	decadd	|- ( ; ; ; 1 2 4 1 + ; 1 8 ) = ; ; ; 1 2 5 9
152	151 1	eqtr4i	|- ( ; ; ; 1 2 4 1 + ; 1 8 ) = N
153	34	nn0cni	|- ; ; 3 2 4 e. CC
154	153	addlidi	|- ( 0 + ; ; 3 2 4 ) = ; ; 3 2 4
155	68	oveq1i	|- ( ( 0 x. N ) + ; ; 3 2 4 ) = ( 0 + ; ; 3 2 4 )
156	10 14	deccl	|- ; 1 8 e. NN0
157	10 30	deccl	|- ; 1 4 e. NN0
158		eqid	|- ; 1 4 = ; 1 4
159	17	mulridi	|- ( 1 x. 1 ) = 1
160	159 112	oveq12i	|- ( ( 1 x. 1 ) + ( 1 + 1 ) ) = ( 1 + 2 )
161		1p2e3	|- ( 1 + 2 ) = 3
162	160 161	eqtri	|- ( ( 1 x. 1 ) + ( 1 + 1 ) ) = 3
163	149	mulridi	|- ( 8 x. 1 ) = 8
164	163	oveq1i	|- ( ( 8 x. 1 ) + 4 ) = ( 8 + 4 )
165		8p4e12	|- ( 8 + 4 ) = ; 1 2
166	164 165	eqtri	|- ( ( 8 x. 1 ) + 4 ) = ; 1 2
167	10 14 10 30 147 158 10 4 10 162 166	decmac	|- ( ( ; 1 8 x. 1 ) + ; 1 4 ) = ; 3 2
168	149	mullidi	|- ( 1 x. 8 ) = 8
169	168	oveq1i	|- ( ( 1 x. 8 ) + 6 ) = ( 8 + 6 )
170		8p6e14	|- ( 8 + 6 ) = ; 1 4
171	169 170	eqtri	|- ( ( 1 x. 8 ) + 6 ) = ; 1 4
172		8t8e64	|- ( 8 x. 8 ) = ; 6 4
173	14 10 14 147 30 3 171 172	decmul1c	|- ( ; 1 8 x. 8 ) = ; ; 1 4 4
174	156 10 14 147 30 157 167 173	decmul2c	|- ( ; 1 8 x. ; 1 8 ) = ; ; 3 2 4
175	154 155 174	3eqtr4i	|- ( ( 0 x. N ) + ; ; 3 2 4 ) = ( ; 1 8 x. ; 1 8 )
176	2 41 8 43 34 45 133 146 152 175	mod2xnegi	|- ( ( 2 ^ ; ; 6 1 2 ) mod N ) = ( ; ; 3 2 4 mod N )
177	1	1259lem1	|- ( ( 2 ^ ; 1 7 ) mod N ) = ( ; ; 1 3 6 mod N )
178		eqid	|- ; ; 6 1 2 = ; ; 6 1 2
179		eqid	|- ; 1 7 = ; 1 7
180		eqid	|- ; 6 1 = ; 6 1
181	3 10 112 180	decsuc	|- ( ; 6 1 + 1 ) = ; 6 2
182		7p2e9	|- ( 7 + 2 ) = 9
183	56 57 182	addcomli	|- ( 2 + 7 ) = 9
184	27 4 10 35 178 179 181 183	decadd	|- ( ; ; 6 1 2 + ; 1 7 ) = ; ; 6 2 9
185	29 10	deccl	|- ; 3 1 e. NN0
186		eqid	|- ; 3 1 = ; 3 1
187		3cn	|- 3 e. CC
188		3p2e5	|- ( 3 + 2 ) = 5
189	187 57 188	addcomli	|- ( 2 + 3 ) = 5
190	10 4 29 111 189	decaddi	|- ( ; 1 2 + 3 ) = ; 1 5
191		5p1e6	|- ( 5 + 1 ) = 6
192	11 12 29 10 109 186 190 191	decadd	|- ( ; ; 1 2 5 + ; 3 1 ) = ; ; 1 5 6
193	112	oveq1i	|- ( ( 1 + 1 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
194	193 73	eqtri	|- ( ( 1 + 1 ) + 1 ) = 3
195		7p5e12	|- ( 7 + 5 ) = ; 1 2
196	56 92 195	addcomli	|- ( 5 + 7 ) = ; 1 2
197	10 12 10 35 88 179 194 4 196	decaddc	|- ( ; 1 5 + ; 1 7 ) = ; 3 2
198		eqid	|- ; 3 4 = ; 3 4
199		7p3e10	|- ( 7 + 3 ) = ; 1 0
200	56 187 199	addcomli	|- ( 3 + 7 ) = ; 1 0
201	187	mulridi	|- ( 3 x. 1 ) = 3
202	17	addridi	|- ( 1 + 0 ) = 1
203	201 202	oveq12i	|- ( ( 3 x. 1 ) + ( 1 + 0 ) ) = ( 3 + 1 )
204		3p1e4	|- ( 3 + 1 ) = 4
205	203 204	eqtri	|- ( ( 3 x. 1 ) + ( 1 + 0 ) ) = 4
206		4cn	|- 4 e. CC
207	206	mulridi	|- ( 4 x. 1 ) = 4
208	207	oveq1i	|- ( ( 4 x. 1 ) + 0 ) = ( 4 + 0 )
209	206	addridi	|- ( 4 + 0 ) = 4
210	30	dec0h	|- 4 = ; 0 4
211	208 209 210	3eqtri	|- ( ( 4 x. 1 ) + 0 ) = ; 0 4
212	29 30 10 39 198 200 10 30 39 205 211	decmac	|- ( ( ; 3 4 x. 1 ) + ( 3 + 7 ) ) = ; 4 4
213	4	dec0h	|- 2 = ; 0 2
214		3t2e6	|- ( 3 x. 2 ) = 6
215	214 143	oveq12i	|- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 6 + 1 )
216		6p1e7	|- ( 6 + 1 ) = 7
217	215 216	eqtri	|- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 1 ) ) = 7
218		4t2e8	|- ( 4 x. 2 ) = 8
219	218	oveq1i	|- ( ( 4 x. 2 ) + 2 ) = ( 8 + 2 )
220		8p2e10	|- ( 8 + 2 ) = ; 1 0
221	219 220	eqtri	|- ( ( 4 x. 2 ) + 2 ) = ; 1 0
222	29 30 39 4 198 213 4 39 10 217 221	decmac	|- ( ( ; 3 4 x. 2 ) + 2 ) = ; 7 0
223	10 4 29 4 111 197 31 39 35 212 222	decma2c	|- ( ( ; 3 4 x. ; 1 2 ) + ( ; 1 5 + ; 1 7 ) ) = ; ; 4 4 0
224		5t3e15	|- ( 5 x. 3 ) = ; 1 5
225	92 187 224	mulcomli	|- ( 3 x. 5 ) = ; 1 5
226		5p2e7	|- ( 5 + 2 ) = 7
227	10 12 4 225 226	decaddi	|- ( ( 3 x. 5 ) + 2 ) = ; 1 7
228		5t4e20	|- ( 5 x. 4 ) = ; 2 0
229	92 206 228	mulcomli	|- ( 4 x. 5 ) = ; 2 0
230	61	addlidi	|- ( 0 + 6 ) = 6
231	4 39 3 229 230	decaddi	|- ( ( 4 x. 5 ) + 6 ) = ; 2 6
232	29 30 3 198 12 3 4 227 231	decrmac	|- ( ( ; 3 4 x. 5 ) + 6 ) = ; ; 1 7 6
233	11 12 46 3 109 192 31 3 36 223 232	decma2c	|- ( ( ; 3 4 x. ; ; 1 2 5 ) + ( ; ; 1 2 5 + ; 3 1 ) ) = ; ; ; 4 4 0 6
234		9cn	|- 9 e. CC
235		9t3e27	|- ( 9 x. 3 ) = ; 2 7
236	234 187 235	mulcomli	|- ( 3 x. 9 ) = ; 2 7
237		7p4e11	|- ( 7 + 4 ) = ; 1 1
238	4 35 30 236 73 10 237	decaddci	|- ( ( 3 x. 9 ) + 4 ) = ; 3 1
239		9t4e36	|- ( 9 x. 4 ) = ; 3 6
240	234 206 239	mulcomli	|- ( 4 x. 9 ) = ; 3 6
241	149 61 170	addcomli	|- ( 6 + 8 ) = ; 1 4
242	29 3 14 240 204 30 241	decaddci	|- ( ( 4 x. 9 ) + 8 ) = ; 4 4
243	29 30 14 198 6 30 30 238 242	decrmac	|- ( ( ; 3 4 x. 9 ) + 8 ) = ; ; 3 1 4
244	13 6 13 14 1 22 31 30 185 233 243	decma2c	|- ( ( ; 3 4 x. N ) + ( N - 1 ) ) = ; ; ; ; 4 4 0 6 4
245		eqid	|- ; ; 1 3 6 = ; ; 1 3 6
246	10 6	deccl	|- ; 1 9 e. NN0
247	246 30	deccl	|- ; ; 1 9 4 e. NN0
248		eqid	|- ; 1 3 = ; 1 3
249		eqid	|- ; ; 1 9 4 = ; ; 1 9 4
250	6 35	deccl	|- ; 9 7 e. NN0
251	10 10	deccl	|- ; 1 1 e. NN0
252		eqid	|- ; ; 3 2 4 = ; ; 3 2 4
253		eqid	|- ; 1 9 = ; 1 9
254		eqid	|- ; 9 7 = ; 9 7
255	234 17 118	addcomli	|- ( 1 + 9 ) = ; 1 0
256	10 39 143 255	decsuc	|- ( ( 1 + 9 ) + 1 ) = ; 1 1
257		9p7e16	|- ( 9 + 7 ) = ; 1 6
258	10 6 6 35 253 254 256 3 257	decaddc	|- ( ; 1 9 + ; 9 7 ) = ; ; 1 1 6
259		eqid	|- ; 3 2 = ; 3 2
260		eqid	|- ; 1 1 = ; 1 1
261	10 10 112 260	decsuc	|- ( ; 1 1 + 1 ) = ; 1 2
262	89	oveq1i	|- ( ( 2 x. 1 ) + 2 ) = ( 2 + 2 )
263	262 113 210	3eqtri	|- ( ( 2 x. 1 ) + 2 ) = ; 0 4
264	29 4 10 4 259 261 10 30 39 205 263	decmac	|- ( ( ; 3 2 x. 1 ) + ( ; 1 1 + 1 ) ) = ; 4 4
265	207	oveq1i	|- ( ( 4 x. 1 ) + 6 ) = ( 4 + 6 )
266		6p4e10	|- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
267	61 206 266	addcomli	|- ( 4 + 6 ) = ; 1 0
268	265 267	eqtri	|- ( ( 4 x. 1 ) + 6 ) = ; 1 0
269	33 30 251 3 252 258 10 39 10 264 268	decmac	|- ( ( ; ; 3 2 4 x. 1 ) + ( ; 1 9 + ; 9 7 ) ) = ; ; 4 4 0
270	143 136	eqtri	|- ( 0 + 1 ) = ; 0 1
271		3t3e9	|- ( 3 x. 3 ) = 9
272	271 137	oveq12i	|- ( ( 3 x. 3 ) + ( 0 + 0 ) ) = ( 9 + 0 )
273	234	addridi	|- ( 9 + 0 ) = 9
274	272 273	eqtri	|- ( ( 3 x. 3 ) + ( 0 + 0 ) ) = 9
275	99	oveq1i	|- ( ( 2 x. 3 ) + 1 ) = ( 6 + 1 )
276	35	dec0h	|- 7 = ; 0 7
277	275 216 276	3eqtri	|- ( ( 2 x. 3 ) + 1 ) = ; 0 7
278	29 4 39 10 259 270 29 35 39 274 277	decmac	|- ( ( ; 3 2 x. 3 ) + ( 0 + 1 ) ) = ; 9 7
279		4t3e12	|- ( 4 x. 3 ) = ; 1 2
280		4p2e6	|- ( 4 + 2 ) = 6
281	206 57 280	addcomli	|- ( 2 + 4 ) = 6
282	10 4 30 279 281	decaddi	|- ( ( 4 x. 3 ) + 4 ) = ; 1 6
283	33 30 39 30 252 210 29 3 10 278 282	decmac	|- ( ( ; ; 3 2 4 x. 3 ) + 4 ) = ; ; 9 7 6
284	10 29 246 30 248 249 34 3 250 269 283	decma2c	|- ( ( ; ; 3 2 4 x. ; 1 3 ) + ; ; 1 9 4 ) = ; ; ; 4 4 0 6
285		6t3e18	|- ( 6 x. 3 ) = ; 1 8
286	61 187 285	mulcomli	|- ( 3 x. 6 ) = ; 1 8
287	10 14 18 286	decsuc	|- ( ( 3 x. 6 ) + 1 ) = ; 1 9
288	10 4 4 63 113	decaddi	|- ( ( 2 x. 6 ) + 2 ) = ; 1 4
289	29 4 4 259 3 30 10 287 288	decrmac	|- ( ( ; 3 2 x. 6 ) + 2 ) = ; ; 1 9 4
290		6t4e24	|- ( 6 x. 4 ) = ; 2 4
291	61 206 290	mulcomli	|- ( 4 x. 6 ) = ; 2 4
292	3 33 30 252 30 4 289 291	decmul1c	|- ( ; ; 3 2 4 x. 6 ) = ; ; ; 1 9 4 4
293	34 37 3 245 30 247 284 292	decmul2c	|- ( ; ; 3 2 4 x. ; ; 1 3 6 ) = ; ; ; ; 4 4 0 6 4
294	244 293	eqtr4i	|- ( ( ; 3 4 x. N ) + ( N - 1 ) ) = ( ; ; 3 2 4 x. ; ; 1 3 6 )
295	26 2 28 32 34 23 36 38 176 177 184 294	modxai	|- ( ( 2 ^ ; ; 6 2 9 ) mod N ) = ( ( N - 1 ) mod N )
296		eqid	|- ; ; 6 2 9 = ; ; 6 2 9
297		eqid	|- ; 6 2 = ; 6 2
298	137	oveq2i	|- ( ( 2 x. 6 ) + ( 0 + 0 ) ) = ( ( 2 x. 6 ) + 0 )
299	63	oveq1i	|- ( ( 2 x. 6 ) + 0 ) = ( ; 1 2 + 0 )
300	11	nn0cni	|- ; 1 2 e. CC
301	300	addridi	|- ( ; 1 2 + 0 ) = ; 1 2
302	298 299 301	3eqtri	|- ( ( 2 x. 6 ) + ( 0 + 0 ) ) = ; 1 2
303	12	dec0h	|- 5 = ; 0 5
304	81 55 303	3eqtri	|- ( ( 2 x. 2 ) + 1 ) = ; 0 5
305	3 4 39 10 297 136 4 12 39 302 304	decma2c	|- ( ( 2 x. ; 6 2 ) + 1 ) = ; ; 1 2 5
306		9t2e18	|- ( 9 x. 2 ) = ; 1 8
307	234 57 306	mulcomli	|- ( 2 x. 9 ) = ; 1 8
308	4 5 6 296 14 10 305 307	decmul2c	|- ( 2 x. ; ; 6 2 9 ) = ; ; ; 1 2 5 8
309	308 22	eqtr4i	|- ( 2 x. ; ; 6 2 9 ) = ( N - 1 )
310		npcan	|- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
311	67 17 310	mp2an	|- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
312	68	oveq1i	|- ( ( 0 x. N ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
313	143 312 159	3eqtr4i	|- ( ( 0 x. N ) + 1 ) = ( 1 x. 1 )
314	2 7 8 9 10 23 295 309 311 313	mod2xnegi	|- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )