Theorem 1259lem4

Description: Lemma for 1259prm . Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2 ^ 3 0 6 = ( 2 ^ 7 6 ) ^ 4 x. 4 == 5 ^ 4 x. 4 = 2 N - 1 8 , 2 ^ 6 1 2 = ( 2 ^ 3 0 6 ) ^ 2 == 1 8 ^ 2 = 3 2 4 , 2 ^ 6 2 9 = 2 ^ 6 1 2 x. 2 ^ 1 7 == 3 2 4 x. 1 3 6 = 3 5 N - 1 and finally 2 ^ ( N - 1 ) = ( 2 ^ 6 2 9 ) ^ 2 == 1 ^ 2 = 1 . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021)

	Ref	Expression
Hypothesis	1259prm.1	|- N = ; ; ; 1 2 5 9
Assertion	1259lem4	|- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	|- N = ; ; ; 1 2 5 9
2		2nn	|- 2 e. NN
3		6nn0	|- 6 e. NN0
4		2nn0	|- 2 e. NN0
5	3 4	deccl	|- ; 6 2 e. NN0
6		9nn0	|- 9 e. NN0
7	5 6	deccl	|- ; ; 6 2 9 e. NN0
8		0z	|- 0 e. ZZ
9		1nn	|- 1 e. NN
10		1nn0	|- 1 e. NN0
11	10 4	deccl	|- ; 1 2 e. NN0
12		5nn0	|- 5 e. NN0
13	11 12	deccl	|- ; ; 1 2 5 e. NN0
14		8nn0	|- 8 e. NN0
15	13 14	deccl	|- ; ; ; 1 2 5 8 e. NN0
16	15	nn0cni	|- ; ; ; 1 2 5 8 e. CC
17		ax-1cn	|- 1 e. CC
18		8p1e9	|- ( 8 + 1 ) = 9
19		eqid	|- ; ; ; 1 2 5 8 = ; ; ; 1 2 5 8
20	13 14 18 19	decsuc	|- ( ; ; ; 1 2 5 8 + 1 ) = ; ; ; 1 2 5 9
21	1 20	eqtr4i	|- N = ( ; ; ; 1 2 5 8 + 1 )
22	16 17 21	mvrraddi	|- ( N - 1 ) = ; ; ; 1 2 5 8
23	22 15	eqeltri	|- ( N - 1 ) e. NN0
24		9nn	|- 9 e. NN
25	13 24	decnncl	|- ; ; ; 1 2 5 9 e. NN
26	1 25	eqeltri	|- N e. NN
27	3 10	deccl	|- ; 6 1 e. NN0
28	27 4	deccl	|- ; ; 6 1 2 e. NN0
29		3nn0	|- 3 e. NN0
30		4nn0	|- 4 e. NN0
31	29 30	deccl	|- ; 3 4 e. NN0
32	31	nn0zi	|- ; 3 4 e. ZZ
33	29 4	deccl	|- ; 3 2 e. NN0
34	33 30	deccl	|- ; ; 3 2 4 e. NN0
35		7nn0	|- 7 e. NN0
36	10 35	deccl	|- ; 1 7 e. NN0
37	10 29	deccl	|- ; 1 3 e. NN0
38	37 3	deccl	|- ; ; 1 3 6 e. NN0
39		0nn0	|- 0 e. NN0
40	29 39	deccl	|- ; 3 0 e. NN0
41	40 3	deccl	|- ; ; 3 0 6 e. NN0
42		8nn	|- 8 e. NN
43	10 42	decnncl	|- ; 1 8 e. NN
44	11 30	deccl	|- ; ; 1 2 4 e. NN0
45	44 10	deccl	|- ; ; ; 1 2 4 1 e. NN0
46	10 12	deccl	|- ; 1 5 e. NN0
47	46 29	deccl	|- ; ; 1 5 3 e. NN0
48		1z	|- 1 e. ZZ
49	12 39	deccl	|- ; 5 0 e. NN0
50	46 4	deccl	|- ; ; 1 5 2 e. NN0
51	4 12	deccl	|- ; 2 5 e. NN0
52	35 3	deccl	|- ; 7 6 e. NN0
53	1	1259lem3	|- ( ( 2 ^ ; 7 6 ) mod N ) = ( 5 mod N )
54		eqid	|- ; 7 6 = ; 7 6
55		4p1e5	|- ( 4 + 1 ) = 5
56		7cn	|- 7 e. CC
57		2cn	|- 2 e. CC
58		7t2e14	|- ( 7 x. 2 ) = ; 1 4
59	56 57 58	mulcomli	|- ( 2 x. 7 ) = ; 1 4
60	10 30 55 59	decsuc	|- ( ( 2 x. 7 ) + 1 ) = ; 1 5
61		6cn	|- 6 e. CC
62		6t2e12	|- ( 6 x. 2 ) = ; 1 2
63	61 57 62	mulcomli	|- ( 2 x. 6 ) = ; 1 2
64	4 35 3 54 4 10 60 63	decmul2c	|- ( 2 x. ; 7 6 ) = ; ; 1 5 2
65	51	nn0cni	|- ; 2 5 e. CC
66	65	addlidi	|- ( 0 + ; 2 5 ) = ; 2 5
67	26	nncni	|- N e. CC
68	67	mul02i	|- ( 0 x. N ) = 0
69	68	oveq1i	|- ( ( 0 x. N ) + ; 2 5 ) = ( 0 + ; 2 5 )
70		5t5e25	|- ( 5 x. 5 ) = ; 2 5
71	66 69 70	3eqtr4i	|- ( ( 0 x. N ) + ; 2 5 ) = ( 5 x. 5 )
72	26 2 52 8 12 51 53 64 71	mod2xi	|- ( ( 2 ^ ; ; 1 5 2 ) mod N ) = ( ; 2 5 mod N )
73		2p1e3	|- ( 2 + 1 ) = 3
74		eqid	|- ; ; 1 5 2 = ; ; 1 5 2
75	46 4 73 74	decsuc	|- ( ; ; 1 5 2 + 1 ) = ; ; 1 5 3
76	49	nn0cni	|- ; 5 0 e. CC
77	76	addlidi	|- ( 0 + ; 5 0 ) = ; 5 0
78	68	oveq1i	|- ( ( 0 x. N ) + ; 5 0 ) = ( 0 + ; 5 0 )
79		eqid	|- ; 2 5 = ; 2 5
80		2t2e4	|- ( 2 x. 2 ) = 4
81	80	oveq1i	|- ( ( 2 x. 2 ) + 1 ) = ( 4 + 1 )
82	81 55	eqtri	|- ( ( 2 x. 2 ) + 1 ) = 5
83		5t2e10	|- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
84	4 4 12 79 39 10 82 83	decmul1c	|- ( ; 2 5 x. 2 ) = ; 5 0
85	77 78 84	3eqtr4i	|- ( ( 0 x. N ) + ; 5 0 ) = ( ; 2 5 x. 2 )
86	26 2 50 8 51 49 72 75 85	modxp1i	|- ( ( 2 ^ ; ; 1 5 3 ) mod N ) = ( ; 5 0 mod N )
87		eqid	|- ; ; 1 5 3 = ; ; 1 5 3
88		eqid	|- ; 1 5 = ; 1 5
89	57	mulridi	|- ( 2 x. 1 ) = 2
90	89	oveq1i	|- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
91	90 73	eqtri	|- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = 3
92		5cn	|- 5 e. CC
93	92 57 83	mulcomli	|- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
94	4 10 12 88 39 10 91 93	decmul2c	|- ( 2 x. ; 1 5 ) = ; 3 0
95	94	oveq1i	|- ( ( 2 x. ; 1 5 ) + 0 ) = ( ; 3 0 + 0 )
96	40	nn0cni	|- ; 3 0 e. CC
97	96	addridi	|- ( ; 3 0 + 0 ) = ; 3 0
98	95 97	eqtri	|- ( ( 2 x. ; 1 5 ) + 0 ) = ; 3 0
99		3cn	|- 3 e. CC
100		3t2e6	|- ( 3 x. 2 ) = 6
101	99 57 100	mulcomli	|- ( 2 x. 3 ) = 6
102	3	dec0h	|- 6 = ; 0 6
103	101 102	eqtri	|- ( 2 x. 3 ) = ; 0 6
104	4 46 29 87 3 39 98 103	decmul2c	|- ( 2 x. ; ; 1 5 3 ) = ; ; 3 0 6
105	67	mullidi	|- ( 1 x. N ) = N
106	105 1	eqtri	|- ( 1 x. N ) = ; ; ; 1 2 5 9
107		eqid	|- ; ; ; 1 2 4 1 = ; ; ; 1 2 4 1
108	4 30	deccl	|- ; 2 4 e. NN0
109		eqid	|- ; 2 4 = ; 2 4
110	4 30 55 109	decsuc	|- ( ; 2 4 + 1 ) = ; 2 5
111		eqid	|- ; ; 1 2 5 = ; ; 1 2 5
112		eqid	|- ; ; 1 2 4 = ; ; 1 2 4
113		eqid	|- ; 1 2 = ; 1 2
114		1p1e2	|- ( 1 + 1 ) = 2
115		2p2e4	|- ( 2 + 2 ) = 4
116	10 4 10 4 113 113 114 115	decadd	|- ( ; 1 2 + ; 1 2 ) = ; 2 4
117		5p4e9	|- ( 5 + 4 ) = 9
118	11 12 11 30 111 112 116 117	decadd	|- ( ; ; 1 2 5 + ; ; 1 2 4 ) = ; ; 2 4 9
119	108 110 118	decsucc	|- ( ( ; ; 1 2 5 + ; ; 1 2 4 ) + 1 ) = ; ; 2 5 0
120		9p1e10	|- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
121	13 6 44 10 106 107 119 120	decaddc2	|- ( ( 1 x. N ) + ; ; ; 1 2 4 1 ) = ; ; ; 2 5 0 0
122		eqid	|- ; 5 0 = ; 5 0
123	92	mul02i	|- ( 0 x. 5 ) = 0
124	12 12 39 122 70 123	decmul1	|- ( ; 5 0 x. 5 ) = ; ; 2 5 0
125	124	oveq1i	|- ( ( ; 5 0 x. 5 ) + 0 ) = ( ; ; 2 5 0 + 0 )
126	51 39	deccl	|- ; ; 2 5 0 e. NN0
127	126	nn0cni	|- ; ; 2 5 0 e. CC
128	127	addridi	|- ( ; ; 2 5 0 + 0 ) = ; ; 2 5 0
129	125 128	eqtri	|- ( ( ; 5 0 x. 5 ) + 0 ) = ; ; 2 5 0
130	76	mul01i	|- ( ; 5 0 x. 0 ) = 0
131	39	dec0h	|- 0 = ; 0 0
132	130 131	eqtri	|- ( ; 5 0 x. 0 ) = ; 0 0
133	49 12 39 122 39 39 129 132	decmul2c	|- ( ; 5 0 x. ; 5 0 ) = ; ; ; 2 5 0 0
134	121 133	eqtr4i	|- ( ( 1 x. N ) + ; ; ; 1 2 4 1 ) = ( ; 5 0 x. ; 5 0 )
135	26 2 47 48 49 45 86 104 134	mod2xi	|- ( ( 2 ^ ; ; 3 0 6 ) mod N ) = ( ; ; ; 1 2 4 1 mod N )
136		eqid	|- ; ; 3 0 6 = ; ; 3 0 6
137		eqid	|- ; 3 0 = ; 3 0
138	10	dec0h	|- 1 = ; 0 1
139		00id	|- ( 0 + 0 ) = 0
140	101 139	oveq12i	|- ( ( 2 x. 3 ) + ( 0 + 0 ) ) = ( 6 + 0 )
141	61	addridi	|- ( 6 + 0 ) = 6
142	140 141	eqtri	|- ( ( 2 x. 3 ) + ( 0 + 0 ) ) = 6
143	57	mul01i	|- ( 2 x. 0 ) = 0
144	143	oveq1i	|- ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
145		0p1e1	|- ( 0 + 1 ) = 1
146	144 145 138	3eqtri	|- ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) = ; 0 1
147	29 39 39 10 137 138 4 10 39 142 146	decma2c	|- ( ( 2 x. ; 3 0 ) + 1 ) = ; 6 1
148	4 40 3 136 4 10 147 63	decmul2c	|- ( 2 x. ; ; 3 0 6 ) = ; ; 6 1 2
149		eqid	|- ; 1 8 = ; 1 8
150	11 30 55 112	decsuc	|- ( ; ; 1 2 4 + 1 ) = ; ; 1 2 5
151		8cn	|- 8 e. CC
152	151 17 18	addcomli	|- ( 1 + 8 ) = 9
153	44 10 10 14 107 149 150 152	decadd	|- ( ; ; ; 1 2 4 1 + ; 1 8 ) = ; ; ; 1 2 5 9
154	153 1	eqtr4i	|- ( ; ; ; 1 2 4 1 + ; 1 8 ) = N
155	34	nn0cni	|- ; ; 3 2 4 e. CC
156	155	addlidi	|- ( 0 + ; ; 3 2 4 ) = ; ; 3 2 4
157	68	oveq1i	|- ( ( 0 x. N ) + ; ; 3 2 4 ) = ( 0 + ; ; 3 2 4 )
158	10 14	deccl	|- ; 1 8 e. NN0
159	10 30	deccl	|- ; 1 4 e. NN0
160		eqid	|- ; 1 4 = ; 1 4
161	17	mulridi	|- ( 1 x. 1 ) = 1
162	161 114	oveq12i	|- ( ( 1 x. 1 ) + ( 1 + 1 ) ) = ( 1 + 2 )
163		1p2e3	|- ( 1 + 2 ) = 3
164	162 163	eqtri	|- ( ( 1 x. 1 ) + ( 1 + 1 ) ) = 3
165	151	mulridi	|- ( 8 x. 1 ) = 8
166	165	oveq1i	|- ( ( 8 x. 1 ) + 4 ) = ( 8 + 4 )
167		8p4e12	|- ( 8 + 4 ) = ; 1 2
168	166 167	eqtri	|- ( ( 8 x. 1 ) + 4 ) = ; 1 2
169	10 14 10 30 149 160 10 4 10 164 168	decmac	|- ( ( ; 1 8 x. 1 ) + ; 1 4 ) = ; 3 2
170	151	mullidi	|- ( 1 x. 8 ) = 8
171	170	oveq1i	|- ( ( 1 x. 8 ) + 6 ) = ( 8 + 6 )
172		8p6e14	|- ( 8 + 6 ) = ; 1 4
173	171 172	eqtri	|- ( ( 1 x. 8 ) + 6 ) = ; 1 4
174		8t8e64	|- ( 8 x. 8 ) = ; 6 4
175	14 10 14 149 30 3 173 174	decmul1c	|- ( ; 1 8 x. 8 ) = ; ; 1 4 4
176	158 10 14 149 30 159 169 175	decmul2c	|- ( ; 1 8 x. ; 1 8 ) = ; ; 3 2 4
177	156 157 176	3eqtr4i	|- ( ( 0 x. N ) + ; ; 3 2 4 ) = ( ; 1 8 x. ; 1 8 )
178	2 41 8 43 34 45 135 148 154 177	mod2xnegi	|- ( ( 2 ^ ; ; 6 1 2 ) mod N ) = ( ; ; 3 2 4 mod N )
179	1	1259lem1	|- ( ( 2 ^ ; 1 7 ) mod N ) = ( ; ; 1 3 6 mod N )
180		eqid	|- ; ; 6 1 2 = ; ; 6 1 2
181		eqid	|- ; 1 7 = ; 1 7
182		eqid	|- ; 6 1 = ; 6 1
183	3 10 114 182	decsuc	|- ( ; 6 1 + 1 ) = ; 6 2
184		7p2e9	|- ( 7 + 2 ) = 9
185	56 57 184	addcomli	|- ( 2 + 7 ) = 9
186	27 4 10 35 180 181 183 185	decadd	|- ( ; ; 6 1 2 + ; 1 7 ) = ; ; 6 2 9
187	29 10	deccl	|- ; 3 1 e. NN0
188		eqid	|- ; 3 1 = ; 3 1
189		3p2e5	|- ( 3 + 2 ) = 5
190	99 57 189	addcomli	|- ( 2 + 3 ) = 5
191	10 4 29 113 190	decaddi	|- ( ; 1 2 + 3 ) = ; 1 5
192		5p1e6	|- ( 5 + 1 ) = 6
193	11 12 29 10 111 188 191 192	decadd	|- ( ; ; 1 2 5 + ; 3 1 ) = ; ; 1 5 6
194	114	oveq1i	|- ( ( 1 + 1 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
195	194 73	eqtri	|- ( ( 1 + 1 ) + 1 ) = 3
196		7p5e12	|- ( 7 + 5 ) = ; 1 2
197	56 92 196	addcomli	|- ( 5 + 7 ) = ; 1 2
198	10 12 10 35 88 181 195 4 197	decaddc	|- ( ; 1 5 + ; 1 7 ) = ; 3 2
199		eqid	|- ; 3 4 = ; 3 4
200		7p3e10	|- ( 7 + 3 ) = ; 1 0
201	56 99 200	addcomli	|- ( 3 + 7 ) = ; 1 0
202	99	mulridi	|- ( 3 x. 1 ) = 3
203	17	addridi	|- ( 1 + 0 ) = 1
204	202 203	oveq12i	|- ( ( 3 x. 1 ) + ( 1 + 0 ) ) = ( 3 + 1 )
205		3p1e4	|- ( 3 + 1 ) = 4
206	204 205	eqtri	|- ( ( 3 x. 1 ) + ( 1 + 0 ) ) = 4
207		4cn	|- 4 e. CC
208	207	mulridi	|- ( 4 x. 1 ) = 4
209	208	oveq1i	|- ( ( 4 x. 1 ) + 0 ) = ( 4 + 0 )
210	207	addridi	|- ( 4 + 0 ) = 4
211	30	dec0h	|- 4 = ; 0 4
212	209 210 211	3eqtri	|- ( ( 4 x. 1 ) + 0 ) = ; 0 4
213	29 30 10 39 199 201 10 30 39 206 212	decmac	|- ( ( ; 3 4 x. 1 ) + ( 3 + 7 ) ) = ; 4 4
214	4	dec0h	|- 2 = ; 0 2
215	100 145	oveq12i	|- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 6 + 1 )
216		6p1e7	|- ( 6 + 1 ) = 7
217	215 216	eqtri	|- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 1 ) ) = 7
218		4t2e8	|- ( 4 x. 2 ) = 8
219	218	oveq1i	|- ( ( 4 x. 2 ) + 2 ) = ( 8 + 2 )
220		8p2e10	|- ( 8 + 2 ) = ; 1 0
221	219 220	eqtri	|- ( ( 4 x. 2 ) + 2 ) = ; 1 0
222	29 30 39 4 199 214 4 39 10 217 221	decmac	|- ( ( ; 3 4 x. 2 ) + 2 ) = ; 7 0
223	10 4 29 4 113 198 31 39 35 213 222	decma2c	|- ( ( ; 3 4 x. ; 1 2 ) + ( ; 1 5 + ; 1 7 ) ) = ; ; 4 4 0
224		5t3e15	|- ( 5 x. 3 ) = ; 1 5
225	92 99 224	mulcomli	|- ( 3 x. 5 ) = ; 1 5
226		5p2e7	|- ( 5 + 2 ) = 7
227	10 12 4 225 226	decaddi	|- ( ( 3 x. 5 ) + 2 ) = ; 1 7
228		5t4e20	|- ( 5 x. 4 ) = ; 2 0
229	92 207 228	mulcomli	|- ( 4 x. 5 ) = ; 2 0
230	61	addlidi	|- ( 0 + 6 ) = 6
231	4 39 3 229 230	decaddi	|- ( ( 4 x. 5 ) + 6 ) = ; 2 6
232	29 30 3 199 12 3 4 227 231	decrmac	|- ( ( ; 3 4 x. 5 ) + 6 ) = ; ; 1 7 6
233	11 12 46 3 111 193 31 3 36 223 232	decma2c	|- ( ( ; 3 4 x. ; ; 1 2 5 ) + ( ; ; 1 2 5 + ; 3 1 ) ) = ; ; ; 4 4 0 6
234		9cn	|- 9 e. CC
235		9t3e27	|- ( 9 x. 3 ) = ; 2 7
236	234 99 235	mulcomli	|- ( 3 x. 9 ) = ; 2 7
237		7p4e11	|- ( 7 + 4 ) = ; 1 1
238	4 35 30 236 73 10 237	decaddci	|- ( ( 3 x. 9 ) + 4 ) = ; 3 1
239		9t4e36	|- ( 9 x. 4 ) = ; 3 6
240	234 207 239	mulcomli	|- ( 4 x. 9 ) = ; 3 6
241	151 61 172	addcomli	|- ( 6 + 8 ) = ; 1 4
242	29 3 14 240 205 30 241	decaddci	|- ( ( 4 x. 9 ) + 8 ) = ; 4 4
243	29 30 14 199 6 30 30 238 242	decrmac	|- ( ( ; 3 4 x. 9 ) + 8 ) = ; ; 3 1 4
244	13 6 13 14 1 22 31 30 187 233 243	decma2c	|- ( ( ; 3 4 x. N ) + ( N - 1 ) ) = ; ; ; ; 4 4 0 6 4
245		eqid	|- ; ; 1 3 6 = ; ; 1 3 6
246	10 6	deccl	|- ; 1 9 e. NN0
247	246 30	deccl	|- ; ; 1 9 4 e. NN0
248		eqid	|- ; 1 3 = ; 1 3
249		eqid	|- ; ; 1 9 4 = ; ; 1 9 4
250	6 35	deccl	|- ; 9 7 e. NN0
251	10 10	deccl	|- ; 1 1 e. NN0
252		eqid	|- ; ; 3 2 4 = ; ; 3 2 4
253		eqid	|- ; 1 9 = ; 1 9
254		eqid	|- ; 9 7 = ; 9 7
255	234 17 120	addcomli	|- ( 1 + 9 ) = ; 1 0
256	10 39 145 255	decsuc	|- ( ( 1 + 9 ) + 1 ) = ; 1 1
257		9p7e16	|- ( 9 + 7 ) = ; 1 6
258	10 6 6 35 253 254 256 3 257	decaddc	|- ( ; 1 9 + ; 9 7 ) = ; ; 1 1 6
259		eqid	|- ; 3 2 = ; 3 2
260		eqid	|- ; 1 1 = ; 1 1
261	10 10 114 260	decsuc	|- ( ; 1 1 + 1 ) = ; 1 2
262	89	oveq1i	|- ( ( 2 x. 1 ) + 2 ) = ( 2 + 2 )
263	262 115 211	3eqtri	|- ( ( 2 x. 1 ) + 2 ) = ; 0 4
264	29 4 10 4 259 261 10 30 39 206 263	decmac	|- ( ( ; 3 2 x. 1 ) + ( ; 1 1 + 1 ) ) = ; 4 4
265	208	oveq1i	|- ( ( 4 x. 1 ) + 6 ) = ( 4 + 6 )
266		6p4e10	|- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
267	61 207 266	addcomli	|- ( 4 + 6 ) = ; 1 0
268	265 267	eqtri	|- ( ( 4 x. 1 ) + 6 ) = ; 1 0
269	33 30 251 3 252 258 10 39 10 264 268	decmac	|- ( ( ; ; 3 2 4 x. 1 ) + ( ; 1 9 + ; 9 7 ) ) = ; ; 4 4 0
270	145 138	eqtri	|- ( 0 + 1 ) = ; 0 1
271		3t3e9	|- ( 3 x. 3 ) = 9
272	271 139	oveq12i	|- ( ( 3 x. 3 ) + ( 0 + 0 ) ) = ( 9 + 0 )
273	234	addridi	|- ( 9 + 0 ) = 9
274	272 273	eqtri	|- ( ( 3 x. 3 ) + ( 0 + 0 ) ) = 9
275	101	oveq1i	|- ( ( 2 x. 3 ) + 1 ) = ( 6 + 1 )
276	35	dec0h	|- 7 = ; 0 7
277	275 216 276	3eqtri	|- ( ( 2 x. 3 ) + 1 ) = ; 0 7
278	29 4 39 10 259 270 29 35 39 274 277	decmac	|- ( ( ; 3 2 x. 3 ) + ( 0 + 1 ) ) = ; 9 7
279		4t3e12	|- ( 4 x. 3 ) = ; 1 2
280		4p2e6	|- ( 4 + 2 ) = 6
281	207 57 280	addcomli	|- ( 2 + 4 ) = 6
282	10 4 30 279 281	decaddi	|- ( ( 4 x. 3 ) + 4 ) = ; 1 6
283	33 30 39 30 252 211 29 3 10 278 282	decmac	|- ( ( ; ; 3 2 4 x. 3 ) + 4 ) = ; ; 9 7 6
284	10 29 246 30 248 249 34 3 250 269 283	decma2c	|- ( ( ; ; 3 2 4 x. ; 1 3 ) + ; ; 1 9 4 ) = ; ; ; 4 4 0 6
285		6t3e18	|- ( 6 x. 3 ) = ; 1 8
286	61 99 285	mulcomli	|- ( 3 x. 6 ) = ; 1 8
287	10 14 18 286	decsuc	|- ( ( 3 x. 6 ) + 1 ) = ; 1 9
288	10 4 4 63 115	decaddi	|- ( ( 2 x. 6 ) + 2 ) = ; 1 4
289	29 4 4 259 3 30 10 287 288	decrmac	|- ( ( ; 3 2 x. 6 ) + 2 ) = ; ; 1 9 4
290		6t4e24	|- ( 6 x. 4 ) = ; 2 4
291	61 207 290	mulcomli	|- ( 4 x. 6 ) = ; 2 4
292	3 33 30 252 30 4 289 291	decmul1c	|- ( ; ; 3 2 4 x. 6 ) = ; ; ; 1 9 4 4
293	34 37 3 245 30 247 284 292	decmul2c	|- ( ; ; 3 2 4 x. ; ; 1 3 6 ) = ; ; ; ; 4 4 0 6 4
294	244 293	eqtr4i	|- ( ( ; 3 4 x. N ) + ( N - 1 ) ) = ( ; ; 3 2 4 x. ; ; 1 3 6 )
295	26 2 28 32 34 23 36 38 178 179 186 294	modxai	|- ( ( 2 ^ ; ; 6 2 9 ) mod N ) = ( ( N - 1 ) mod N )
296		eqid	|- ; ; 6 2 9 = ; ; 6 2 9
297		eqid	|- ; 6 2 = ; 6 2
298	139	oveq2i	|- ( ( 2 x. 6 ) + ( 0 + 0 ) ) = ( ( 2 x. 6 ) + 0 )
299	63	oveq1i	|- ( ( 2 x. 6 ) + 0 ) = ( ; 1 2 + 0 )
300	11	nn0cni	|- ; 1 2 e. CC
301	300	addridi	|- ( ; 1 2 + 0 ) = ; 1 2
302	298 299 301	3eqtri	|- ( ( 2 x. 6 ) + ( 0 + 0 ) ) = ; 1 2
303	12	dec0h	|- 5 = ; 0 5
304	81 55 303	3eqtri	|- ( ( 2 x. 2 ) + 1 ) = ; 0 5
305	3 4 39 10 297 138 4 12 39 302 304	decma2c	|- ( ( 2 x. ; 6 2 ) + 1 ) = ; ; 1 2 5
306		9t2e18	|- ( 9 x. 2 ) = ; 1 8
307	234 57 306	mulcomli	|- ( 2 x. 9 ) = ; 1 8
308	4 5 6 296 14 10 305 307	decmul2c	|- ( 2 x. ; ; 6 2 9 ) = ; ; ; 1 2 5 8
309	308 22	eqtr4i	|- ( 2 x. ; ; 6 2 9 ) = ( N - 1 )
310		npcan	|- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
311	67 17 310	mp2an	|- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
312	68	oveq1i	|- ( ( 0 x. N ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
313	145 312 161	3eqtr4i	|- ( ( 0 x. N ) + 1 ) = ( 1 x. 1 )
314	2 7 8 9 10 23 295 309 311 313	mod2xnegi	|- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )