Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- ( Base ` W ) = ( Base ` W ) |
2 |
|
eqid |
|- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W ) |
3 |
|
eqid |
|- ( le ` W ) = ( le ` W ) |
4 |
|
eqid |
|- ( lt ` W ) = ( lt ` W ) |
5 |
|
eqid |
|- ( .g ` W ) = ( .g ` W ) |
6 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. oGrp ) |
7 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Archi ) |
8 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> v e. ( Base ` W ) ) |
9 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) |
10 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> y e. ( Base ` W ) ) |
11 |
|
simp1rr |
|- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) |
12 |
|
simp3 |
|- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) |
13 |
|
breq2 |
|- ( x = y -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x <-> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) ) |
14 |
|
breq2 |
|- ( x = y -> ( v ( le ` W ) x <-> v ( le ` W ) y ) ) |
15 |
13 14
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y -> v ( le ` W ) y ) ) ) |
16 |
15
|
rspcv |
|- ( y e. ( Base ` W ) -> ( A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y -> v ( le ` W ) y ) ) ) |
17 |
10 11 12 16
|
syl3c |
|- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> v ( le ` W ) y ) |
18 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 17
|
archiabllem1 |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel ) |
19 |
18
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel ) |
20 |
|
simpr |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) |
21 |
|
breq2 |
|- ( u = v -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u <-> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) ) |
22 |
|
breq1 |
|- ( u = v -> ( u ( le ` W ) x <-> v ( le ` W ) x ) ) |
23 |
22
|
imbi2d |
|- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) |
24 |
23
|
ralbidv |
|- ( u = v -> ( A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) <-> A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) |
25 |
21 24
|
anbi12d |
|- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) ) |
26 |
25
|
cbvrexvw |
|- ( E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> E. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) |
27 |
20 26
|
sylib |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> E. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) |
28 |
19 27
|
r19.29a |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel ) |
29 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. oGrp ) |
30 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Archi ) |
31 |
|
eqid |
|- ( +g ` W ) = ( +g ` W ) |
32 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> ( oppG ` W ) e. oGrp ) |
33 |
|
simpr |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) |
34 |
|
ralnex |
|- ( A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) |
35 |
33 34
|
sylibr |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) |
36 |
|
rexanali |
|- ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) |
37 |
36
|
imbi2i |
|- ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) |
38 |
|
imnan |
|- ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) |
39 |
37 38
|
bitri |
|- ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) |
40 |
39
|
ralbii |
|- ( A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) |
41 |
35 40
|
sylibr |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) ) |
42 |
22
|
notbid |
|- ( u = v -> ( -. u ( le ` W ) x <-> -. v ( le ` W ) x ) ) |
43 |
42
|
anbi2d |
|- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) ) |
44 |
43
|
rexbidv |
|- ( u = v -> ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) ) |
45 |
21 44
|
imbi12d |
|- ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) ) ) |
46 |
45
|
cbvralvw |
|- ( A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> A. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) ) |
47 |
41 46
|
sylib |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) ) |
48 |
47
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) ) |
49 |
14
|
notbid |
|- ( x = y -> ( -. v ( le ` W ) x <-> -. v ( le ` W ) y ) ) |
50 |
13 49
|
anbi12d |
|- ( x = y -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) ) ) |
51 |
50
|
cbvrexvw |
|- ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) ) |
52 |
48 51
|
syl6ib |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) ) ) |
53 |
52
|
3impia |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) ) |
54 |
|
simp1l1 |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> W e. oGrp ) |
55 |
|
isogrp |
|- ( W e. oGrp <-> ( W e. Grp /\ W e. oMnd ) ) |
56 |
55
|
simprbi |
|- ( W e. oGrp -> W e. oMnd ) |
57 |
|
omndtos |
|- ( W e. oMnd -> W e. Toset ) |
58 |
54 56 57
|
3syl |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> W e. Toset ) |
59 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> v e. ( Base ` W ) ) |
60 |
1 3 4
|
tltnle |
|- ( ( W e. Toset /\ y e. ( Base ` W ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( y ( lt ` W ) v <-> -. v ( le ` W ) y ) ) |
61 |
60
|
bicomd |
|- ( ( W e. Toset /\ y e. ( Base ` W ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) ) |
62 |
61
|
3com23 |
|- ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) ) |
63 |
62
|
3expa |
|- ( ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) ) |
64 |
63
|
anbi2d |
|- ( ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) ) |
65 |
64
|
rexbidva |
|- ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) ) |
66 |
58 59 65
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> ( E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) ) |
67 |
53 66
|
mpbid |
|- ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) |
68 |
1 2 3 4 5 29 30 31 32 67
|
archiabllem2 |
|- ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel ) |
69 |
28 68
|
pm2.61dan |
|- ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) -> W e. Abel ) |