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Theorem archiabl

Description: Archimedean left- and right- ordered groups are Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018)

Ref Expression
Assertion archiabl
|- ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) -> W e. Abel )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eqid
 |-  ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2 eqid
 |-  ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
3 eqid
 |-  ( le ` W ) = ( le ` W )
4 eqid
 |-  ( lt ` W ) = ( lt ` W )
5 eqid
 |-  ( .g ` W ) = ( .g ` W )
6 simpll1
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. oGrp )
7 simpll3
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Archi )
8 simplr
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> v e. ( Base ` W ) )
9 simprl
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v )
10 simp2
 |-  ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> y e. ( Base ` W ) )
11 simp1rr
 |-  ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) )
12 simp3
 |-  ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y )
13 breq2
 |-  ( x = y -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x <-> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) )
14 breq2
 |-  ( x = y -> ( v ( le ` W ) x <-> v ( le ` W ) y ) )
15 13 14 imbi12d
 |-  ( x = y -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y -> v ( le ` W ) y ) ) )
16 15 rspcv
 |-  ( y e. ( Base ` W ) -> ( A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y -> v ( le ` W ) y ) ) )
17 10 11 12 16 syl3c
 |-  ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y ) -> v ( le ` W ) y )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 archiabllem1
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
19 18 adantllr
 |-  ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
20 simpr
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
21 breq2
 |-  ( u = v -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u <-> ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) )
22 breq1
 |-  ( u = v -> ( u ( le ` W ) x <-> v ( le ` W ) x ) )
23 22 imbi2d
 |-  ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
24 23 ralbidv
 |-  ( u = v -> ( A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) <-> A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
25 21 24 anbi12d
 |-  ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) ) )
26 25 cbvrexvw
 |-  ( E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> E. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
27 20 26 sylib
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> E. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> v ( le ` W ) x ) ) )
28 19 27 r19.29a
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
29 simpl1
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. oGrp )
30 simpl3
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Archi )
31 eqid
 |-  ( +g ` W ) = ( +g ` W )
32 simpl2
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> ( oppG ` W ) e. oGrp )
33 simpr
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
34 ralnex
 |-  ( A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
35 33 34 sylibr
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
36 rexanali
 |-  ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) )
37 36 imbi2i
 |-  ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
38 imnan
 |-  ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> -. A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) <-> -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
39 37 38 bitri
 |-  ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
40 39 ralbii
 |-  ( A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> A. u e. ( Base ` W ) -. ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) )
41 35 40 sylibr
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) )
42 22 notbid
 |-  ( u = v -> ( -. u ( le ` W ) x <-> -. v ( le ` W ) x ) )
43 42 anbi2d
 |-  ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
44 43 rexbidv
 |-  ( u = v -> ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) <-> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
45 21 44 imbi12d
 |-  ( u = v -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) ) )
46 45 cbvralvw
 |-  ( A. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. u ( le ` W ) x ) ) <-> A. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
47 41 46 sylib
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> A. v e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
48 47 r19.21bi
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) ) )
49 14 notbid
 |-  ( x = y -> ( -. v ( le ` W ) x <-> -. v ( le ` W ) y ) )
50 13 49 anbi12d
 |-  ( x = y -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) ) )
51 50 cbvrexvw
 |-  ( E. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x /\ -. v ( le ` W ) x ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) )
52 48 51 syl6ib
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) ) )
53 52 3impia
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) )
54 simp1l1
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> W e. oGrp )
55 isogrp
 |-  ( W e. oGrp <-> ( W e. Grp /\ W e. oMnd ) )
56 55 simprbi
 |-  ( W e. oGrp -> W e. oMnd )
57 omndtos
 |-  ( W e. oMnd -> W e. Toset )
58 54 56 57 3syl
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> W e. Toset )
59 simp2
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> v e. ( Base ` W ) )
60 1 3 4 tltnle
 |-  ( ( W e. Toset /\ y e. ( Base ` W ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( y ( lt ` W ) v <-> -. v ( le ` W ) y ) )
61 60 bicomd
 |-  ( ( W e. Toset /\ y e. ( Base ` W ) /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) )
62 61 3com23
 |-  ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) )
63 62 3expa
 |-  ( ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( -. v ( le ` W ) y <-> y ( lt ` W ) v ) )
64 63 anbi2d
 |-  ( ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) )
65 64 rexbidva
 |-  ( ( W e. Toset /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) )
66 58 59 65 syl2anc
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> ( E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ -. v ( le ` W ) y ) <-> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) ) )
67 53 66 mpbid
 |-  ( ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) /\ v e. ( Base ` W ) /\ ( 0g ` W ) ( lt ` W ) v ) -> E. y e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) y /\ y ( lt ` W ) v ) )
68 1 2 3 4 5 29 30 31 32 67 archiabllem2
 |-  ( ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ -. E. u e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) u /\ A. x e. ( Base ` W ) ( ( 0g ` W ) ( lt ` W ) x -> u ( le ` W ) x ) ) ) -> W e. Abel )
69 28 68 pm2.61dan
 |-  ( ( W e. oGrp /\ ( oppG ` W ) e. oGrp /\ W e. Archi ) -> W e. Abel )